2025年中考数学专题训练：不等式与不等式组（含解析）

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2025年中考数学专题训练：不等式与不等式组
一、单选题
1．若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知三个实数，满足，，，则（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知实数满足，，，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．对一个实数按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入一个实数”到“判
断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么的取值范围是（）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，下列结论错误的是（ ）
A．
B．点关于轴的对称点的坐标为
C．点到两坐标轴的距离之和等于
D．点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点 的坐标为
7．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．不等式的非负整数解是 ．
10．已知不等式组的解集为，则的值为 ．
11．若关于的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
12．新定义：对于任意实数a，符号表示不大于a的最大整数．若，则满足．例如：，，．如果，那么x的取值范围是 ．
13．已知关于、的方程组其中．
当 时，、的值互为相反数；
若，则的取值范围是 ．
14．李明去医院体检，看到甲、乙两窗口前面排队办理登记的人一样多（设为人，），就站在甲窗口队伍的后面，过了2分钟，他发现甲窗口每分钟有4人登记完离开队伍，乙窗口每分钟有8人登记完离开队伍，且乙窗口队伍后面每分钟增加6人．李明迅速从甲窗口队伍转移到乙窗口队伍后面重新排队．则：
（1）此时李明到达乙窗口所需时间为 （用含的式子表示）；
（2）若李明到达乙窗口所花的时间比继续在甲窗口排队到达甲窗口所花的时间少，不考虑其他因素，则的最小值为 ．
三、解答题
15．解下列方程组和不等式：
(1)
(2)
16．若关于，的方程组的解满足，，试求的取值范围．
17．解下列不等式（组），并将它们的解集在数轴上表示出来
(1)
(2)
18．在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)若，求的值．
(2)若对于，都有，求的取值范围．
19．中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位．
(1)求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数；
(2)学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？
20．如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量（单位：mg）和时间（单位：h）之间的函数图象，其中在服用后前9h，图象是抛物线的一部分，后图象为直线的一部分．
(1)若某个成年人在服药后浓度最高可达到．
求，的值；
求药物在服用期间浓度不低于持续的时间；
(2)若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于，且不得超过，求的取值范围．
21．某文体书店销售A，B两种跳绳，购买2条A种跳绳和3条B种跳绳共计35元，购买6条A种跳绳和4条B种跳绳共计80元．
(1)求A种跳绳和B种跳绳每条的价钱．
(2)现该文体书店对A，B两种跳绳开展促销活动，活动方案如表（两种促销方案不能同时使用）：
方案 内容
促销方案一 买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳
促销方案二 买A种或B种跳绳都打八折
某校为了准备跳绳比赛，计划购买A，B两种跳绳，且B种跳绳比A种跳绳多买20条．请根据购买A种跳绳的条数x的不同范围，说明该校选择哪种促销方案合适．
《2025年中考数学专题训练：不等式与不等式组》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A B D C C
1．D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得情况列出关于a的不等式是解题关键．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于a的不等式即可解答．
【详解】解：解不等式，得：，
∵其正整数解是1、2、3，
∴．
故选D．
2．B
【分析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．根据，可整理得到，，再结合即可得到，．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查整式的加减，根据已知条件求出，消去c，得，从而得，由可得，故可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
消去c，得，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以，选项A、B、D正确，选项C错误，
故选：C．
4．A
【分析】此题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质求出，，进而得出，，然后求出的取值范围．
【详解】解：∵的解集是，
∴
∴，，
解得，，即，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于，运行两次的结果大于，可得出关于的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，
，
解得：，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组是解题的关键．
根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；根据关于轴对称的点的坐标特征即可判断；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断．
【详解】解：、∵点在第二象限，
∴，解得：，原选项正确，不符合题意；
、∵点，
∴点关于轴的对称点的坐标为，原选项正确，不符合题意；
、∵点在第二象限，
∴点到轴的距离等于，点到轴的距离等于，
∴点到两坐标轴的距离之和等于，原选项正确，不符合题意；
、∵点，
∴点向上平移个单位，再向左平移个单位后所得点的坐标为，即，原选项错误，符合题意；
故选：．
7．C
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
数轴上表示，如图所示：
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，解一元一次方程，在求出一元一次不等式组的解集以后，还应根据题目中的已知条件求出其整数解．
先根据题意得到，解一元一次方程得到，再由一元一次方程的解为整数，得到或，即可求解．
【详解】解：关于的不等式组有且只有三个整数解，
∴，
解得：，
，
解得：，且解为整数，
∴或，
∴符合条件的所有整数的和为，
故选：C．
9．0，1，2
【分析】本题考查求不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出非负整数解即可．
【详解】
解得．
∴不等式的非负整数解是0，1，2．
故答案为：0，1，2．
10．
【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
11．21
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组有解且至多有4个整数解可得，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数可得非负整数，且，，由此即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，
∴，
解得，
，
方程两边同乘以得：，
解得，
∵关于的分式方程的解是非负整数，
∴非负整数，且，，
即非负整数，且，，
∴所有满足条件的整数的值为，
∴所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：21．
12．
【分析】本题考查一元一次不等式组．根据新定义的概念将问题转化一元一次不等式组，最后求解即可．
【详解】解：由题意，可得，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
将两方程相加可得，再结合可得关于的方程，解之即可；
由题意知，据此，再根据，知，解之即可得出答案．
【详解】解：（1），
得：，
，
、的值互为相反数，
，
；
（2）由题意得，
解得：，
，，
，
解得：．
故答案为：.
14． 13
【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，正确列出代数式与一元一次不等式是解此题的关键．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解．
【详解】解：（1）由题意可得：，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：，
∵为正整数，
的最小值为13，
故答案为：13．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握求解是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）去分母，去括号，移项合并，系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
代入①中，
解得：，
，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得，．
16．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组是解题关键．先利用加减消元法求得二元一次方程组的解，由条件得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：
由①-②，得：，解得：，
将代入①，得：，
解得：，
，，
，
解得：，
不等式组的解集为．
的取值范围是．
17．(1)，在数轴上表示解集见详解
(2)，在数轴上表示解集见详解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示解集，解题的关键是熟练准确掌握解不等式的步骤．
（1）利用解一元一次不等式的步骤进行求解即可，在数轴上表示出解集；
（2）利用解一元一次不等式组的步骤进行求解即可，在数轴上表示出解集．
【详解】（1）解：
在数轴上表示不等式的解集如下，
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴该不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集如下，
18．(1)1
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的性质和解不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）把代入，求解即可；
（2）分别把A，B坐标代入解析式，再根据得出不等式，进而求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得
；
（2）解：把代入，得
；
把代入，得
；
∵，
∴，
整理得，
当时，，解得，
∵，
∴，
解得；
当时，，解得或，
∵，
∴，
解得；
综上，的取值范围为或．
19．(1)每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个
(2)共有4种租车方案，最低租车费用为15750元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是：
（1）设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个，根据“如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位”列方程组求解即可；
（2）设租用A型巴士x辆，则租用B型巴士辆，以此可列出一元一次不等式，求得m的范围，设租车的总费用为w（元），因此，根据一次函数的性质，结合m的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个，
根据题意，得，
解得，
答：每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个；
（2）解：设租用A型巴士x辆，租用B型巴士辆，
根据题意，得，
解得，
∵x为整数，
∴x的取值为12、13、14、15，
∴共有4种租车方案，
设租车总费用为w元，
则，
∵，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取最小值，最小值为，
答：共有4种租车方案，最低租车费用为15750元．
20．(1)，；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的性质及应用、方程求解及不等式的应用．
（1）根据抛物线顶点纵坐标公式求出a的值，再将代入抛物线求出此时的y值，把该点代入直线方程求出b的值；
分别在抛物线和直线部分求出时对应的x值，进而求出浓度不低于持续的时间；
（2）先求出抛物线与x轴正半轴交点，再根据直线与x轴交点的取值范围列出关于a的不等式组求解．
【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为4，
∴，解得．
此时抛物线解析式为：．
当时，代入抛物线解析式．
把代入，解得．
∴，．
②将代入，解得，（舍去）；
将代入，解得，
故持续时间为：．
（2）由题意可知，当时，，
代入中，即，解得；
当时，．
代入中，即，解得；
综上，得，
当时，，此时，
∴．
解得．
21．(1)A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元
(2)促销方案见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式来求解．
（1）设种跳绳每条元，种跳绳每条元，根据已知条件列出方程组求出两种跳绳的单价；
（2）分别计算两种促销方案的花费，通过比较花费来确定合适的方案．
【详解】（1）解：设种跳绳每条元，种跳绳每条元，
根据题意得：，
解得：．
种跳绳每条10元，种跳绳每条5元．
（2）解：促销方案一的花费：（元）
促销方案二的花费：（元）
当，解得：，
当，解得：．
当，解得：，
所以当时，该校选择促销方案一和二同样合适，
当时，该校选择促销方案二更合适，
当时，该校选择促销方案一更合适．
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