2025年中考数学专题训练：锐角三角函数（含解析）

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2025年中考数学专题训练：锐角三角函数
一、单选题
1．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，扇形的半径为，菱形的顶点、、分别在、、上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．如图，在中，，，M为的中点，O为的外心，将绕点O顺时针旋转，点A，B，C，M的对应点分别为，，，．交于点D，交于点E．在旋转过程中，给出下面三个结论：
①对于任意的，点O到，距离相等；
②存在唯一的，使得；
③有最大值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边上的一个动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，，动点从点出发，沿折线运动到点，同时动点从点出发沿折线运动到点，当点和在正方形边上运动时，速度是每秒1个单位长度，当点和在正方形对角线上运动时速度是每秒个单位长度，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与点A重合），过点D作交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，交于点H，连接，则下列结论：①；②当点恰好落在的延长线上时，；③当点在边上运动时，为定值；④当点在边上运动时，长度的最大值为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点E恰好落在边上，若，则的长是 ．
10．如图，四边形是的内接四边形，和相交于点E．若，，且，则的长为 ．
11．光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
12．如图，中，，，，点F，G分别在边和上，且，作的垂直平分线交于点E，则的最小值 ．
13．如图，在锐角中，，，平分，M，N分别是和上的动点，则的最小值为 ．

14．如图，在中，是高，E是上一点，交于点F，且，则的值是 ．
15．长尾夹一般用来夹书或夹文件，因此也称书夹．长尾夹的侧面可近似的看作等腰三角形，如图1是一个长尾夹的侧平面示意图，已知．按压该长尾夹的手柄，撑开后可得如图2所示的侧平面示意图．测量得．求这时这个长尾夹可夹纸厚度为 （参考数据：）
三、解答题
16．计算：．
17．某社区老年活动中心为方便居民休息，安装遮阳蓬．如图，在侧面示意图中，遮阳棚长为6米，与墙面的夹角为，当太阳光线与地面的夹角为时，凉荫处的长为2.76米，求墙面的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
18．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．
(1)请在如图所示的网格中，找一点（点在格点上），画出四边形，使四边形是凸四边形且；
(2)请在（1）的基础上，画出以为直角边的等腰直角三角形，且．若在直线上存在动点，请直接写出的最小值．
19．如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点．
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求证：．
20．漆扇属于国家级非物质文化遗产，它利用了漆不溶于水的特点制作而成，淇淇把自己制作的圆形漆扇放在支架上，如图14-1所示．图14-2是其平面示意图，为圆形漆扇的直径，点O为圆心，扇柄，且A，O，C，B在同一直线上，为支架，与相切于点C，，点A到桌面的距离为，且与相交于点Q，点B与H的距离．
(1)求的度数；
(2)求的长度；
(3)不改变现有漆扇的大小和位置，直接写出支架点D到圆形漆扇的最大距离．
21．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，抛物线的顶点坐标为，点是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；
(3)如图2，点是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
《2025年中考数学专题训练：锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C C A B B D
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．连接，先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出．
【详解】解：连接，如图，
∵菱形中，与互相垂直平分，
又∵点O是的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义．根据正切的定义解答即可．
【详解】解：如图，，，，
,
故选：C.
3．C
【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，相交于点，根据菱形的性质，结合三角函数关系得出，进而得到，推出是等边三角形，得到，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，相交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，等弧对等角，解三角形及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，利用平行线分线段成比例得出，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可．
【详解】解：过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了正多边形与圆，作的外接圆，设半径为r，根据题意可得分别是圆内接正六边形的一条边，根据正六边形的性质即可判断①，进而证明当时，则，即可判断②，根据题意可得当有最大值时，点在的延长线上，进而得到此时旋转角为，即可判断③，即可求解．
【详解】解：如图所示，作的外接圆，设半径为r，
∵，，
∴是分别是圆内接正六边形的一条边，
当将绕点O顺时针旋转，是圆内接正六边形的一条边，
∴点O到，距离相等，故①正确；
如图，连接，，
∵是分别是圆内接正六边形的一条边，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
同理四边形是菱形，
当时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴存在唯一的，使得，故②正确；
如图，
∵点M是的中点，四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴点M在以点O为圆心，为半径的圆上运动，且与其相切，
∴，
当有最大值时，点在的延长线上，此时，，
∴，
∴，
∴，
∴点与点C重合，此时旋转角为，
∴当旋转角为时，没有最大值，故③错误．
故选：A
6．B
【分析】本题考查了轴对称——路径最短问题，勾股定理，解直角三角形．作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，则此时的值最小，求出，进而得到，求出、，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，过作于，则此时的值最小，
，
，
顶点B的坐标为，
，，
则，，
，，
由三角形的面积公式得：，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
点坐标为，
，
在中，由勾股定理得：，
即的最小值为，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，分类讨论思想的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
分两种情况讨论：点在上，点在上；点在上，点在上；分别求出函数解析式；，即可得到答案．
【详解】解：在正方形中，，
，，
，
，
如图1，点在上，点在上，作于点，
，
，
当点与点重合时，，则，
，，
，
；
如图2，点在上，点在上，作于点，
，
，，
，
，
；
故选：B．
8．D
【分析】证出，根据相似三角形的性质即可判断①正确；先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，由此即可判断②正确；过点作于点，设，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，然后根据正切的定义即可判断③正确；先求出，，再证出，根据相似三角形的性质可得，利用二次函数的性质即可判断④正确．
【详解】解：∵四边形和都是矩形，，
∴，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，则结论①正确；
如图，点恰好落在的延长线上，
∵四边形和都是矩形，
∴，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴当点恰好落在的延长线上时，，则结论②正确；
如图，过点作于点，
∵四边形和都是矩形，，
∴，，
设，
由上已证：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即当点在边上运动时，为定值，则结论③正确；
设，则，
由上可知，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为，
即当点在边上运动时，长度的最大值为，则结论④正确；
综上，正确结论的个数是4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的应用、正切等知识点，综合性强，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
9．2
【分析】过点E作，交于点F，证明即可求解．
【详解】提示：如图，过点E作，交于点F．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
是等腰直角三角形，
，，
．
，，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的外角定理，平行线的性质等，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．
10．3
【分析】此题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，过点B作于点F．根据等腰直角三角形的性质得到，，，则．得到．则．由即可得到的长．
【详解】解：如图，过点B作于点F．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
故答案为：
11．
【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论．
【详解】解：，
，
在中，
，
故答案为：．
12．5
【分析】本题考查了解直角三角形，垂直平分线的性质，勾股定理等知识点，掌握相关性质是解题的关键．
过点作，交于点，勾股定理算出，设，则，表示出，根据是的垂直平分线，得出，从而得出，再根据勾股定理得出，即可求解．
【详解】解：过点作，交于点，如图，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，，
，
时，最小．
故答案为：5．
13．/
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线段最短等等，在上截取，连接，易证明，得到，则，故当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，解直角三角形求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，在上截取，连接，

∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，
∴此时，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．
过点C作于点H，过点F作于点G，设，则，，，易得，，，通过有证明，得出，通过证明，得出，再证明，得出，最后根据即可解答．
【详解】解：如图，过点C作于点H，过点F作于点G，
设，则，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，．
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
15．
【分析】如图1，在，求得．如答图2，在中，利用余弦函数求得，据此即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
【详解】解：图1，作于点．
∵，
∴，．
在，，
∵，，
∴．
由题意可知：，．
如答图2，作于点，于点．
在中，．
∵，
∴．
同理可证：，
∴．
∵四边形为矩形，
∴．
答案：这时这个长尾夹可夹纸厚度为．
故答案为：
16．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值和负整数指数幂的运算法则计算，最后相加减即可求解．
【详解】解：
．
17．墙面的高度约为米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．过作于，过作于，在中，根据正弦定义求出，根据余弦定义求出；证明四边形是矩形，得到，再求出，在中，根据等腰直角三角形的性质求出，即可解答．
【详解】解：过作于，过作于，
在中，米，，
∴（米），
∴（米），
，
四边形是矩形，
米，
∵米，
∴（米），
在中，
，
米，
米，
（米），
墙面的高度约为米．
18．(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）选取格点D，构造即可得；
（2）如图，在右侧取格点E，使，；作点关于的对称点，连接交于点，此时的最小值为的长，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所作；
（2）解：如图，点E即为所作；
作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
由“两点之间，线段最短”可知的最小值为的长，
由勾股定理得，
所以，的最小值为．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由正方形的性质，结合特殊角的三角函数值求解即可得到答案；
（2）由正方形性质得到，再结合角平分线定义、垂直定义得到，利用两个三角形相似的判定定理即可得证；
（3）过点作交延长线于点，如图所示，由中位线判定与性质得到，再由正方形性质及已知条件，根据两个三角形全等的判定与性质得到即可得证．
【详解】（1）解∵正方形的对角线相交于点，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过点作交延长线于点，如图所示：
，
，
∴，，
由（2）可得，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、特殊角的三角函数值、角平分线定义、垂直定义、相似三角形的判定、三角形中位线的性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键．
20．(1)；
(2)的长度为；
(3)支架点D到圆形漆扇的最大距离为．
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，弧长公式．
（1）根据切线的性质求得，在中，利用三角函数的定义求解即可；
（2）连接，在中，求得，，再求得圆的半径，利用弧长公式求解即可；
（3）连接并延长交于点，作于点，在和中，先后求得、和的长，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵与相切于点C，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵为圆的直径，，
∴，
∴的长度；
（3）解：连接并延长交于点，作于点，此时为支架点D到圆形漆扇的最大距离，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴支架点D到圆形漆扇的最大距离为．
21．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，二次函数图象的性质，一次函数的表达式，一次函数图象的性质，三角形面积最值问题，判定平行四边形求动点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质并灵活应用．
（1）根据顶点坐标假设抛物线顶点式表达式，将点坐标代入即可求出抛物线表达式；
（2）求出二次函数图象与坐标轴的交点坐标，求出一次函数图象的表达式，根据一次函数图象的性质判断出等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质，斜边最大时面积最大，假设出相关点的坐标，表示出斜边长度，从而得出最长斜边，即可求出最大面积；
（3）根据平行四边形的判定定理，分别以为平行四边形的边和对角线来进行分类讨论，对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，假设出点的坐标，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴假设抛物线的表达式为，
将代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令,则，
令，则，
解得，
∴，，，
假设直线的表达式为，
将代入得，，
解得，
∴直线的表达式为，
∵，
是等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，
当斜边最大时，的面积最大，
假设，，
求顶点横坐标为，，顶点纵坐标为的最大值，
，
是等腰直角三角形，
，
∴的面积为；
（3）解：分两种情况讨论，
①当为平行四边形的边时，则有，且，
如图，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点，
则，
在和中，，
，
，
点到对称轴的距离为3，
又，
抛物线对称轴为直线，
设点，则，
解得：或，
当时，代入，得：，
当时，代入，，
点坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
如图，设的中点为，
，，
，
点在对称轴上，
点的横坐标为，设点的横坐标为，
根据中点公式得：，
，此时，
；
综上所述，点的坐标为或或．
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