2025年中考数学专题训练：三角形综合（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年中考数学专题训练：三角形综合
一、单选题
1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．如图，在等腰三角形中，，E是边的中点，则的值为（ ）

A． B． C． D．
3．图1是实验室利用过滤法除染的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为的角平分线，且，为延长线上一点，，过作于点，则下列结论：①为的中点；②为等腰三角形；③平分；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，以为直径的圆O分别与相交于点E、F，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
7．如图，在网格中有格点A、B、C，连接、，则 ．
8．如图，正方形与正六边形的中心点重合，顶点在点处重合，与交于点．若，则的值为 ．
9．如图，在中，，，，点在以O为圆心，3为半径的圆上运动，连接、，则的最小值为 ．
10．如图，直角三角形中，，点 P 为平面内一动点，，连接，点Q 是线段的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ．
11．是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转后，连接，如图所示，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的是 （填序号）．
12．如图，点D，E分别在线段，上，连接，相交于点F，若，，，则的度数为 ．
13．如图，在中，，点D在边上，，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，若点E恰好落在边上，则线段的长为 .
14．如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则
三、解答题
15．如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，射线与腰交于点E．
(1)尺规作图：作出射线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长．
16．中医与其他三大国粹（武术、京剧和书法）共同构成了中国文化的瑰宝．这四大国粹不仅代表了中国优秀传统文化的杰出成就，也承载着千年的智慧与民族精神．图1为中医常用碾药工具——药碾，又名惠夷槽，图2是从药碾抽象出来的几何模型，延长长交于点C，D，于点E，连接，．
(1)求证：为的切线．
(2)若，，求的长．
17．综合与实线
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E．
(1)【观察想知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ；
(2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积；
(3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求．
18．如图1，是边长为的等边三角形，，分别为边，的中点，点从出发，以的速度沿向运动，过作，分别交，于点，；同时，点从出发，以的速度沿向A运动，设运动时间为．
(1)为何值时，在的角平分线上？
(2)设四边形的面积为，求与的函数关系式；
(3)如图2，将沿折叠，A的对应点为，是否存在某一时刻，使得落在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．在中，，为边上一点，点与点关于直线对称，过点作的垂线，交线段的延长线于点，连接交直线于，连接，，设．
(1)如图，当时．
①求的大小（用含的式子表示）；
②请用等式表示线段之间的数量关系，并证明；
(2)当时，请直接写出线段之间的数量关系．
20．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，．
(1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离；
(2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到0.1，参考数据）
《2025年中考数学专题训练：三角形综合》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C A B B C
1．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．根据基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解答即可．
【详解】解：根据题意，得是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，过点作交于点，设，则可得求得，即可解答，熟练解直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作交于点，

设，
E是边的中点，
，
，
，
，，，
，
根据勾股定理可得，
，
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出的度数，在依次利用平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
，
∵，
，
故选：A．
4．B
【分析】易证，可得，可得①正确，再根据角平分线的性质可求得，可得②正确，证明，则③不正确，根据③可求得④正确．本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：①∵为的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
不能得出为的中点；
故①不符合题意；
∵为的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，，，
∴，
∴为等腰三角形，
故②符合题意；
过E作于G点，

∵E是的角平分线上的点，且，
∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分；不平分；
故③不符合题意；
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故④符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了直角坐标系，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．先根据求出，，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得，进而求出，根据，即可求解．
【详解】解：令，则，令，则，
解得：，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
故选：B．
6．C
【分析】题目主要考查等腰三角形的性质，等弧对等角，解三角形及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
过点E作，根据等腰三角形的性质得出，确定，利用平行线分线段成比例得出，设，结合图形得出，再由平行线间距离相等及三角形面积求解即可．
【详解】解：过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点A作于点E，过点B作于点D，由题意得：，，，然后利用面积法求出的长，从而在中利用勾股定理求出的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点D，
由题意得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中， ，
∴，
故答案为：．
8．
【分析】过点作，根据正方形与正六边形的性质可得，得出，设，则，，根据，求出，得出，再求出，即可求解．
【详解】解：过点作，
根据正方形与正六边形的性质可得，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】该题考查了正多边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．
9．
【分析】本题考查求最值问题，圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值．解题关键是构造出由性质转换等量关系．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接，

∵，，，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴最小值为的长度，
∴的最小值等于的长度，
在中，，
∴的最小值．
故答案为：．
10． 2 3
【分析】本题考查了中位线的应用，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，三角形边长关系，取的中点，连接，利用三角形边长关系即可求解，作出正确的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
点Q 是线段的中点，
是的中位线，
，
根据勾股定理可得，
，
根据三角形边长关系可得，
点在线段上时，线段的最小，最小值为，
点在线段的延长线上时，线段的最大，最大值为，
故答案为：2；3．
11．①②
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，对③的判断是比较难，判断出点G的运动路径后问题则迎刃而解．根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质易得，从而易得①②正确；取的中点O，连接，则由直角三角形斜边上中线的性质可得是的一半，即为定值，故可得点G的运动路径是以O为圆心长为半径一段圆弧上运动，从而的长度不是固定的，因此可对③作出判定．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设与交于点M，则，
∴，
∴，
∴，
故①②均正确；
如图，取的中点O，连接，
∵，，
∴分别是、斜边上的中线，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点，
所以的长变化的，不可能是定值，
故③不正确，
故答案为：①②．
12．
【分析】本题考查三角形外角的性质．根据，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．4
【分析】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质及线段长度的计算，通过旋转构造等边三角形，利用角度关系和线段长度关系建立方程求解．
【详解】解：构造旋转后的图形将线段绕点A逆时针旋转得到，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
14．105
【分析】本题主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、三角形内角和、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：设，，则，由如图：设，，则可得、、、；然后根据三角形内角和定理列方程组求解即可．
【详解】解：如图：设，，则，
∴，，，
∵内接于半圆O，
∴，
∴，即①，
，即②，
①②联立：解得：，
∴．
故答案为：105．
15．(1)见解析
(2)
【分析】题目主要考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据题意作的平分线即可；
（2）过点C作，根据等腰三角形的性质及轴对称图形的性质得出，再由三角形外角的性质得出，利用等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数求解即可．
【详解】（1）解：作的平分线，交于点E，射线即为所求；
（2）过点C作，如图所示：
∵等腰中，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形．熟练掌握切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，含的直角三角形是解题的关键．
（1）如图，连接．由，可得．由，可得．则，即，，进而结论得证；
（2）由题意可求，则．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
为的切线．
（2）解：，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
17．(1)
(2)10
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形知识，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）利用“一线三垂直”证即可得证；
（2）先证得、，再证可求长度，然后即可求出的面积；
（3）如图，过N作于点M，即、，易证和，从而建立关于的方程，求出的长度，再证明，利用相似三角形的性质求值，根据即可解答．
【详解】（1）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，
∴，
∴，
，即，解得：，
，
．
（3）解：如图，过N作于点M，即，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴，解得：，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
．
故答案为：．
18．(1)
(2)
(3)存在，为时，点恰好落到上
【分析】（1）如图1，由题意得：，，根据等边三角形的性质和勾股定理可得，，再证明也是等边三角形，则，由面积法可知：，最后由列方程即可解答；
（2）如图2，过点作于，过点作于，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理计算，，的长，利用即可解答；
（3）如图3，由折叠得：，，，证明，可得，，根据列方程即可解答．
【详解】（1）解：如图1，由题意得：，，
是等边三角形，是的中点，且边长为8，
，，，
，
，
，
，，，
也是等边三角形，
，
平分，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点作于，过点作于，
是的中点，
，
在中，，
，
，，
，，
，
在中，，，
，
，，
，
；
（3）解：存在某一时刻，使得落在上，
如图3，由折叠得：，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形相似，等边三角形，三角形折叠的性质，四边形的面积的计算方法，并与方程相结合，解本题的关键是根据时间和速度表示出线段的长，也是难点．
19．(1)①；②，证明见解析；
(2)．
【分析】（1）①连接，，利用等腰直角三角形的性质求得，，再利用四边形内角和来求解；②过点作交于,易得，利用全等三角形的性质得到，再利用对称性来求解；
（2）利用②的方法来求解．
【详解】（1）解：①连接，，如下图
为边上一点，点与点关于直线对称，
，，，
．
在中，，
，，
．
，
，
，
．
②
证明：过点作交于,
∴.
∵
∴,
．
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∴点在以点为圆心，的长为半径的圆上，
∴，
，
∴．
在和中
，
∴，
∴．
∵点与点关于直线对称，
∴，
，
，
，
，
．
（2）
证明：同②的方法．
【点睛】本题考查了对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，四边形内角和度数，理解相关知识，作出辅助线是解答关键．
20．(1)
(2)光线能照射到商户内，方案不可行，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于，根据代入数据求出的值即可；
（2）延长光线交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：作于，
在中，，
．
即的点到墙面的距离为；
（2）解：如图，延长光线交于点，延长交于点，
可得，，，
在中，，，
，
由题意，四边形是矩形，则，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光线能照射到商户内，方案不可行．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)