2025年中考数学专题训练：四边形综合（含解析）

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2025年中考数学专题训练：四边形综合
一、单选题
1．下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A．B．
C． D．
2．如图，在中，，连接并延长交的延长线于点，交对角线于点，若，则的长为（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
3．图1是扳手和六角螺母的实物图，图2是它们的示意图，，，，，六边形为正六边形，若，则螺母对角线的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，记为外心，为内心，连接，以为直径作圆，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，对角线，相交于点，点是的中点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．在平行四边形中，点E为边上的中点，过点D作于点G，若点F为的中点，，，则的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
7．如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，于点，连接交于点，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，矩形周长为8，且．连接，作点C关于的对称点E，连接，连接交于点P，作交于点G，下列说法中正确的有（ ）个．
①；②三角形的周长为定值4
③当变大时，四边形的面积先变大后变小；④当变大时，反而变小
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．如图，一张长方形纸片的长，宽．点E在边上，点F在边上，将四边形沿直线翻折后，点B落在边的三等分点G处，则的长为 ．
10．如图，中，，，，点是上一点，把沿折叠，点对应点，连接，若为直角三角形，则 ．
11．如图，已知是线段上的动点（不与点A，重合），，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点A运动到点时，则的最小值是 ．
12．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是 ．
13．如图，在中，点D在的延长线上，且，点F在线段上，以，为邻边作，连接、、，若与的面积和为5，则的面积为 ．
14．在2025年春晚上，舞蹈节目《秧》由16台人形机器人与16名新疆艺术学院的舞蹈演员共同表演，大放异彩．如图所示，机器人小数在平面直角坐标系中从A点开始，按顺序沿循环舞动跳8字舞，它舞动的路径由两个全等菱形拼接而成，已知菱形的边长为1米，，点B的坐标为．若机器人小数从点出发，舞动了100米时所在位置的坐标是 ．
15．已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，．
（1）如图2，当点与点重合时，线段 ．
（2）点运动过程中，线段的最小值是 ．
三、解答题
16．如图，在中，点E，F分别在，上，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，当的长为 时，四边形是菱形．
17．如图，这是一辆自卸式货车的平面示意图，矩形货厢的宽，．卸货时，货厢绕点处的转轴旋转．点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为，货厢对角线，的交点可视为货厢的重心，卸货时发现，当，两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．
(1)求的长．
(2)若．请通过计算判断该货车是否会发生车辆倾覆事故．（参考数据：，，）
18．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，．
(1)发现
①线段与线段之间的数量关系是________；
②直线与直线之间的位置关系是________．
(2)探究
若已知条件不变，将图1中矩形绕点A顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？请给出证明．
(3)应用
在（2）的情况下，，，当矩形绕点A旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？（直接写出结论）．
19． 如图，矩形中，，E是边上一点，且，点P为边上一动点，连接，过E作的垂线交折线段于点Q．连接．
(1)如图1，当点Q与点D重合时，求的长；
(2)如图2，当点Q在上时，是否变化？若不变，请求出的值，若变化，请说明理由；
(3)点M是的中点．
①如图3，当Q在线段上时，的最小值为______．
②当点P从图1的位置运动到点A时，点M的运动路程长为______．
20．综合与实践
如图，正方形和正方形有公共顶点，将正方形绕点按顺时针方向旋转，记旋转角，其中，连接，．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)请你画出除图1外，满足的其它图形，并写出的度数；
(3)旋转过程中，________时，最大，________时，最小；
(4)旋转过程中，判断与的大小关系，并写出对应的的范围．
21．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接．
【观察猜想】
（1）如图1，当时，_____．
【类比探究】
（2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度．
《2025年中考数学专题训练：四边形综合》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A A C B B B
1．C
【分析】本题考查了边形的内角和公式，根据边形的内角和公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设该多边形为边形，
∵内角和等于，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二元一次方程组的应用．设，，，证明和，得到①，②，据此求解即可．
【详解】解：设，，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，①，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴②，
解①②得，，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，平行四边形、矩形的性质和判定方法是正确解答的关键．
根据平行四边形的性质和判定方法可得四边形是平行四边形，在根据平行线的性质以及矩形的判定和性质得到，由正六边形的性质得到是含有的直角三角形，根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】解：连接，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∵，即，
∴．
故选：A．
4．A
【分析】设分别与相切于点D，E，F，连接，根据切线长性质得，设，得，得，∴得，判定是直角三角形，，得四边形是正方形，得，根据，得，即得以为直径的圆的面积为．
【详解】解：设分别与相切于点D，E，F，连接，
则，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴是直角三角形，，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴以为直径的圆的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的内心和外心．熟练掌握三角形内切圆和外接圆的性质，切线长定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，正方形的判定和性质，圆面积公式，是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到．由平行四边形的性质推出，得到是的中位线，推出，即可求解 ．
【详解】解：∵，对角线，相交于点，
∴，
∵E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点，连接，则，而，所以，因为为的中点，所以，则，求得，即可得解；
【详解】解：取的中点，连接，则，
∵点为的中点，，
，
，
∵为的中点，为的中点，
，
，
，
，
，
故选：B．
7．B
【分析】如图所示，延长交于点G，勾股定理求出，得到，求出，，然后证明出，得到，代数求出，，然后证明出，得出即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点G，

∵四边形是矩形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
8．B
【分析】根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得则的周长，进而判断②正确，再证四边形是菱形，则，，，得，可知四边形的面积，进而可知当时，四边形的面积随着增大而增大，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④错误．
【详解】解：在矩形中，，，，
∵矩形周长为8，
∴，则，，
∵，
∴，则，
∴，故①正确；
连接，令与交于点，
由折叠可知，，
∵
∴，则
∴，
则的周长，故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
当时，四边形的面积随着增大而增大，故③错误；
∵，，
则在中，，
整理得：，
∴当变大时，也变大，故④错误，
综上，正确的有①②，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，菱形的判定及性质，全等三角形的判定等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
9．或
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理．因为点为的三等分点，所以或4，由折叠的性质可得，，，设，则或，再由勾股定理分别计算即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，
∵点为的三等分点，
∴或4，
当时，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
当时，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴，
故答案为：或．
10．或
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定及性质，合理分类讨论是解题的关键．
分类讨论直角的情况，利用折叠的性质分析求解即可．
【详解】解：当时，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴；
当时，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，，，
∴，，三点共线，
∵在中，，
∴，
设，则，
∴在中，，
∴，
解得：；
故答案为：或．
11．
【分析】分别延长、交于点H，易证四边形为平行四边形，得出G为中点，则G的运行轨迹的中位线，得出，从而求得且大于等于与间垂线段的长
【详解】解：如图，分别延长、交于点H，
∵，分别是等边三角形，
∴，
∴，是等边三角形，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分．
∵G为的中点，
∴G正好为中点，即在P的运动过程中，G始终为的中点，所以G的运行轨迹为的中位线，
∴，，
当P在中点时，，的值最小，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∴的最小值时，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强．
12．
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形性质，解二元一次方程组等知识，先由菱形性质得到四个直角三角形全等，再由图2列出方程组，求出值后，由菱形面积与三角形面积关系，求出三角形面积即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
在菱形中，对角线交于点，则，，，，
四个直角三角形全等，
设，，且，
由图2左图可知，，
由图2右图可知，，
联立，解得，
，
故答案为：．
13．20
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是关键．
连接，过C作交的延长线于点M，可证四边形是平行四边形，由边上的高和边上的高相同知，所以，设的边上的高为h，则，又，即可求得的面积．
【详解】解：如图，连接，过C作交的延长线于点M，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由边上的高和边上的高相同知，
，
∴，
设的边上的高为h，则，
又∵，
∴
∴
的面积为．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，点坐标规律探究，数形结合是解答本题的关键．作于点H，求出舞动了100米时所在位置是点E．求出米，米，进而可求出点E的坐标．
【详解】解：作于点H，
∵，
∴舞动了100米时所在位置是点E．
∵菱形的边长为1米，，
∴米， ，
∴米，米，
∴点E的横坐标为，纵坐标为，
∴点E的坐标为，
∴舞动了100米时所在位置的坐标是．
故答案为：．
15． /
【分析】（1）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解；
（2）先确定点在过点且垂直的直线上运动，由矩形的性质可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合，
∴，，
∴，
∴点在线段上，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）如图，过点作于，过点作，交于，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵线段绕点逆时针旋转至，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点在过点且垂直的直线上运动，
∴当时，有最小值，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴线段的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质和等式的性质得到，再利用一组对边互相平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理解答即可；
（2）过点B作，交的延长线于点H，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求得，AH，设的长为x，则，利用勾股定理和菱形的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
．
又∵，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：过点B作，交的延长线于点H，如图，
设的长为x，则，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴当的长为时，四边形是菱形．
故答案为：．
17．(1)；
(2)该货车不会发生车辆倾覆事故，理由见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由四边形为矩形，则，，通过所对直角边是斜边是斜边的一半可得，从而求解；
（）过点作，垂足为，则可求得，然后通过即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
在中，，
∴
∵，
∴该货车不会发生车辆倾覆事故．
18．(1)①；②
(2)成立，证明见解析
(3)，或
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出两个相似三角形是解题关键．
（1）①先根据矩形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得；
②根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此即可得；
（2）参照（1）的方法，先证出，再根据相似三角形的性质可得，，由此即可得；
（3）分两种情况：①当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，②当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，先利用勾股定理求出的长，再求出的长，由此即可得．
【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
②如图，延长，交于点，
∵，
∴，
由（1）①已证：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：（1）中结论还成立，证明如下：
四边形与四边形都为矩形，
，
∴，即，
，，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
如图，延长，交于点，交于点，
，
∴
，
∴．
（3）解：①如图，当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（2）已证：，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②如图，当点，，在同一条直线上，且点在线段上时，
同理可得：，，
∴，，
综上，，或．
19．(1)；
(2)不变，；
(3)①；②
【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）过点Q作于点H，同（1）可证，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解；
（3）①连接，过M作于，于F，交于G，证明，得出，可证明，利用平行线分线段成比例可求出，根据勾股定理可得出，则，故当最小时，最小，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则转化为求的最小值，当与重合时，取最小值为3，即可求解；
②由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交于N，可得四边形是矩形，则，同理①可证，根据三角形中位线定理可求出，证明，可求出，同理证明四边形是矩形，得出，然后根据线段的和差求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点Q作于点H，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形均为矩形，
∴，
同（1）得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①连接，过M作于，于F，交于G，
则四边形是矩形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∵M是中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴当最小时，最小，
∵，M是中点，
∴，
∵当与重合时，取最小值为3，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：；
②解：由①可知M在直线上运动，当时，M运动到最低点，当P运动到A和Q在D处时，M运动到最高点，即最高点为，最低点为，则M运动的路程长为，如图，延长交于N，
则四边形是矩形，
∴，
同理可证，
由（1）知，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），
同理四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴点M的运动路程长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形判定与性质，点的轨迹的探究等知识，明确题意，添加合适辅助线，探究处点M的运动轨迹是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)画图见解析，
(3)，
(4)当或时，，当时，，当时，
【分析】（1）连接，根据题意，当时，重合，重合，由正方形的性质可得，则重合，根据正方形的性质可得垂直平分，即可得到；
（2）由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，可得除图1外，当点F在延长线上时，满足，根据正方形的性质即可求出；
（3）根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，结合图形可得当三点共线时，由最大值，同理可得当三点共线时，有最小值；由此即可解答；
（4）由（1）（2）知，或时，；画出示意图，结合图形根据三角形大角对大边，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
当时，则重合，重合，
∵四边形与四边形都是正方形，
∴，
∴重合，
∵垂直平分，
∴；
（2）解：由（1）知，当点F在垂直平分线上时，则，
∴当点F在延长线上时，满足，
如图：
则，即三点共线，点在延长线上，
∴；
（3）解：根据题意可得点F在以点A为圆心，正方形对角线的长为半径的圆上运动，
如图，当三点共线时，由最大值，
此时，；
同理，如图，当三点共线时，有最小值，
此时，；
（4）解：如图，由（1）（2）知，或时，，，连接，
∵，
∴，
∴，
当点在下方时，即时，
∴，
∴，
如图：在中，，
∴，
∴，
同理得：；
当点在上方时，即时，
同理得：，
∴，
综上：当或时，，当时，，当时，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质，点与圆的位置关系，三角形三边关系，线段垂直平分线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练运用正方形的性质．
21．（1）45（2），（3）或
【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ．
（2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ．
（3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论：
当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度．
当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ．
【详解】在正方形中，．
∵，
由折叠性质可知，且．
∴，
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
因为，，，
∴．
∴，
故答案为：45；
（2）由折叠可知，，
．
四边形为正方形，
．
又，
，
．
又，
．
由折叠的性质可得，
．
点为的中点，
，
在正方形中，，
，
．
（3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图：
此时，因为，所以．
已知，在中，，解得．
情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时：
此时，则．
在中，，
解得．
综上所述：段的长度为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算．
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