广东省惠州市惠州中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题(含详解)

广东省惠州市惠州中学2024 2025学年高二下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．可以表示为( )．
A． B． C． D．
3．复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
4．下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ）
1 2 3 4
P
A． B． C． D．
5．如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．
6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，现已知目标被击中情况下，则甲击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知圆，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．圆关于直线对称
C．若直线被圆截得的弦长为，则
D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则
11．已知在的二项展开式中，第项为常数项，则（ ）
A． B．展开式中系数的绝对值最大的项是第项
C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若样本数据的平均数为2，则数据，，，，的平均数为
13．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．

14．已知，则：被除的余数是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前n项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16．已知函数，其导函数为，且.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
17．如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的大小．
18．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
19．已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)设函数，讨论的单调性；
(3)设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明：
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.
故选C
2．【答案】C
【详解】＝，
故选C﹒
3．【答案】C
【详解】由于是纯虚数，所以，
所以.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由题意可得：，解得，
所以．
故选B.
5．【答案】D
【详解】因为为等腰直角三角形，，，
所以，
所以对应的原平面图形如下，
其中，，
所以这个平面图形的面积,
故选D.
6．【答案】D
【详解】根据题意，设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，
则，
，
则目标是被甲击中的概率为
故选D
7．【答案】B
【详解】学校安排七节课程可看做是用个不同的元素填个空的问题，
要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课的排法可分两类．
体育课排在第四节，则满足了体育课不在第一节，同时满足了数学课不在第四节，排法种数是种；
体育课不排第四节，数学课也不排在第四节，先排第四节，不能是体育和数学，有种，
再排第一节，除了选定的和体育也有种，剩下个全排，种．
所以这天课表的不同排法种数为种．
故选B.
8．【答案】A
【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数，
因为在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
故
故选A
9．【答案】BD
【详解】A. 若，则,故错误；
B. 若，则，所以成立，故正确；
C. 当为零向量时，满足，但是推不出，故错误；
D. 若，则，可得，
整理即可得到，故正确；
故选BD
10．【答案】BD
【详解】圆的方程为，所以，得，故A错误
因为圆的圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确
圆心到直线的距离，又弦长为，可得圆的半径为，得，故C错误
当时，可得圆的方程为，则圆心，半径为，，
所以切线长为，故D正确．
故选BD
11．【答案】ABC
【详解】该二项式展开式的通项为，因为第项为常数项，所以当时，，解得,故A正确，
由，解得，所以展开式中系数的绝对值最大的项是第，故 B正确．
含的项得，即，所求的系数为，故C正确．
根据通项公式，由题意得，令，，则，即，，应为偶数，可取，，，即可取，，，第项，第项与第项为有理项．故D错误．
故选ABC.
12．【答案】7
【详解】因为样本数据的平均数为，
所以数据，，，，的平均数为.
13．【答案】
【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，当时，；当时，；当时，；当时，.
当时，由可得，此时；
当时，由可得，此时.
综上所述，解集为.
14．【答案】
【详解】因为，
所以令时，，
令时，，
所以，
又，
所以除以的余数是
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，符合上式，
∴.
（2）由（1）得，，
∴．
16．【答案】（1）；（2），.
【详解】（1）由题意：，∵，
∴，，
又，，则切线方程为：.
（2）由（1）可知：，
由或；由，又∵；
∴在，上单调递增，在上单调递减.
则的极大值为，的极小值为，且，，故，.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题知分别为的中点，
所以是的中位线，即，
又平面，平面，
所以平面.
（2）平面，而，平面，
所以，，由于四边形是正方形，所以，
所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，又，分别为的中点，
则，
所以，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，取，，，则，
设平面的一个法向量为，
则，取，，则 ，
设平面与平面夹角的大小为，
所以，
又，所以，即平面与平面夹角的大小为.
18．【答案】(1)点的轨迹是椭圆，方程为
(2)或
【详解】（1）点，点，则点，由点是的中点，得，，
因为在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
（2）若直线的斜率不存在，则，
将代入中，解得，则，
将代入中，解得，则，
而，舍去；
若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
则，
联立得，
设，，则，，
，
由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）易知
令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减．
所以的最小值为
由恒成立知，，
故.
（2）由题知，定义域为，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
所以在，上单调递增；
令，得，所以在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
（3）显然，
因为函数的图象与的图象有两个不同的交点．
所以关于的方程，即有两个不同的根．
由题知，，
得，
得，
由÷得，
不妨设，记
令，则，
所以在上单调递增，所以
则，即，
所以
因为，（利用基本不等式时，，故等号取不到），
所以，即
令，则在上单调递增．
又，
所以，
即，所以；
两边同时取对数可得，得证．