广东省汕头市潮阳第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题(含详解)

广东省汕头市潮阳第一中学2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
3．在等比数列中，，，则（ ）．
A． B．567 C．451 D．699
4．在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ）
A． B． C． D．
6．中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A． B． C． D．
7．年春节档共有部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探》、《·重启未来》及《蛟龙行动》．为了家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第一场，《·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，则不同的安排方式有（ ）
A．种 B．种 C．10种 D．种
8．已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某校对参加校庆活动的志愿者开展培训活动，培训活动结束后进行考核．为了解培训效果，从中抽取了80名志愿者的考核成绩，规定考核成绩在内的考核等级为优秀，这80名志愿者的考核成绩统计图表如下所示，则下列选项中正确的有（ ）
分组 频数 频率
2 0.050
13 0.325
18 0.450
a m
b 0.075
女志愿者考核成绩频率分布表
A．被抽取的男女志愿者人数均为40
B．，，
C．样本中考核等级为优秀的男女志愿者人数分别为6和7
D．样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为93
10．已知曲线，则以下说法正确的是（ ）
A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是
11．已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A．函数为偶函数
B．8是的一个周期
C．的图象关于点对称
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在的展开式中，的系数为 ，（用数字作答）
13．函数在上的最小值为 ．
14．正方体的棱长为2，平面截正方体内切球所得的截面面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角的对边分别为，若．
(1)求角的大小；
(2)若，点是边上的一点，平分，且，求的面积．
16．已知是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求,的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和，并求证：．
17．在三棱锥中，为等边三角形，，，为的中点，为线段上一点，.
(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围.
19．已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
(1)求曲线T的方程；
(2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，，
所以．
故选A．
2．【答案】B
【详解】因为，所以，所以的虚部为1.
故选B.
3．【答案】B
【详解】因为，所以，
当时，，，舍去，
故，所以，即，
所以.
故选.
4．【答案】C
【详解】

因为点是线段的中点，
所以，
又，
所以，
所以，
故选C.
5．【答案】B
【详解】由题意可得，，因此，，
所以，，，，
所以
故选B.
6．【答案】D
【详解】设小扇形的半径为xcm，则大扇形的半径为，
设圆台的上下底面半径分别为，
则，
所以，
所以，
所以圆台的高为
故选
7．【答案】A
【详解】分三种情况：
第一种：《哪吒之魔童闹海》排最后一场，因为《蛟龙行动》和《·重启未来》
必须连续安排，所以用捆绑法有种可能，并看成一个元素，
剩下元素有种排法，所以共有种排法；
第二种：《哪吒之魔童闹海》排第二场，
因为《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，而且《·重启未来》不排最后一场，
所以《蛟龙行动》和《·重启未来》只能排在第四、第三两场，《唐探 》排第一场，这种情况共种排法；
第三种：《哪吒之魔童闹海》排第三场，
因为《蛟龙行动》和《·重启未来》必须连续安排，而且《·重启未来》不排最后一场，
所以《蛟龙行动》和《·重启未来》排在前两场有种排法，《唐探》排最后一场，这种情况共有种排法.
综上符合条件的电影安排方法总数为种.
故选A.
8．【答案】D
【详解】函数定义域为R，且，
故函数为偶函数，
又在上，即在上单调递增，
因为，且，
所以，即.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，由女志愿者考核成绩频率分布表可知被抽取的女志愿者的人数为，
所以被抽取的男女志愿者人数均为40，故A正确；
对于B，由，得，则，所以，故B正确；
对于C，样本中考核等级为优秀的男志愿者人数为，
样本中考核等级为优秀的女志愿者人数为，故C错误；
对于D，样本中男志愿者考核成绩的第92百分位数为，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BC
【详解】选项A：当时，得，即，
因，故，故或，
因，故点在曲线外部，故A错误；
选项B：将换成，将换成，方程不变，
故曲线关于原点对称，故B正确；
选项C：将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，
设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为，
当时，方程，即，
其圆心坐标为，半径为，如图，
当时，得或，故弦长，
由，知，
则，故，故C正确；
选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，令，得，则，
令，得，函数为偶函数，
则，因此函数为奇函数，A错误；
对于B，令，，
于是，函数周期为4，则8也为函数的一个周期，B正确；
对于C，由选项B知，函数的图象关于对称，
又周期为4，，因此的图象关于点对称，C正确；
对于D，由，得，
所以，D正确.
故选BCD.
12．【答案】-80
【详解】在的展开式中，的系数为.
13．【答案】/
【详解】因为，
又，由，得到，由，得到，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，，所以在上的最小值为.
14．【答案】
【详解】正方体的中心是内切球球心，设为O，O到平面的距离为d，
设A到平面的距离为，因为，所以，
所以，
所以，
正方体内切球半径，正方体内切球被平面截球面所得的截面是一个圆半径为r的圆，
所以，所以圆的面积为．
故答案为．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得：，
整理可得：，
，又，
.
（2）
由正弦定理得：，
，
平分，
，又，
，
，，
.
16．【答案】(1)，
(2)，证明见解析
【详解】（1）因为是等差数列，是等比数列，可设的公差为，的公比为，
由已知条件可得，，，
则有，解得，
故，；
（2）由（1）可知，
则，
因为，所以，故；
又由，得，即数列单调递增，故，
综上，可得，证毕.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，，所以，
所以，
在中，根据正弦定理得，
又，所以，所以，
因为，
所以，所以，所以，
所以为的中点，又为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）
取中点，连接，因为为的中点，
所以，，
因为，即，所以，
因为为等边三角形，且，所以，，
又，所以，所以，
以为原点，分别以为轴的正向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2）令，则，
令，
则，
令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为.
19．【答案】(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）设圆，的交点为M，则，，
因为，所以，
故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线T的方程为
（2）（ⅰ）要证，
只要证明线段的中点与线段的中点重合.
设，，其中，
由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为
因为直线l与圆相切，
所以，即
联立，消去y并整理得，
所以，
从而线段的中点横坐标为
又因为直线与直线和交点的横坐标分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
（ⅰⅰ）由条件，，即，
所以，
由题意知，，
所以
，
即为定值