河北省邢台市名校协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题(含详解)

河北省邢台市名校协作体2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
2．下列说法中，错误的命题是（ ）
A．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好
B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱
C．设随机变量服从正态分布，则
D．对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小
3．某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则为（ ）
A．180 B．150 C．120 D．200
5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
6．已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（ ）
X 1 2 3
P a b 2b—a
A． B．3
C．6 D．5
7．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中
（1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；
（2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在某次数学测试中，学生的成绩，则（ ）
A． B．若越大，则越大
C． D．
10．下列选项中正确的有（ ）.
A．随机变量，则
B．将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率
C．口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量.则的数学期望
D．已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为
11．已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．第5次取出的球是红球的概率为 D．前3次取球恰有2次取到红球的概率是
三、填空题（本大题共3小题）
12．若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 ．
13．某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为 .
14．某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是 名.
附：若随机变量服从正态分布，则，
四、解答题（本大题共5小题）
15．用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）
(1)无重复数字的四位偶数；
(2)无重复数字且为5的倍数的四位数；
(3)无重复数字且比1230大的四位数．
16．已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：
(1)展开式中二项式系数最大项的项；
(2)展开式中系数最大的项；
(3)展开式中所有有理项.
17．某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引进就业人数数据（单位：万），统计如下（年份代码1-10分别代表2011-2020年）其中，，,.
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
引进人数 3.4 5.7 7.3 8.5 9.6 10.2 10.8 11.3 11.6 11.8
(1)根据数据画出散点图，并判断，，，哪一个适合作为该市人才引进就业人数y关于年份 代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
5.5 9.02 2.14 1.51 82.5
4.84 72.2 9.67 18.41
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（所有过程保留两位小数）
(3)试预测该市2022年的人才引进就业人数.
参考公式：，.
18．2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关；
项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计
捐款超过500元 60
捐款不超过500元 10
总计 100
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望和方差．
附：，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19．某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中，每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响.
(1)求甲前3次答题的得分之和为70分的概率．
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为．
（ⅰ）求，，，并猜想当时，与之间的关系式；
（ⅱ）若，求n的最小值．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选D.
2．【答案】B
【详解】对于A：在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好，正确；
对于B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，错误；
对于C：由正太密度曲线的对称性可知：，正确；
对于D：对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小，正确.
故选B.
3．【答案】B
【详解】由题意可得，
事件男生甲与两名女生被选中，则，
因此，.
故选B.
4．【答案】A
【详解】因，
其通项公式为：，
令，可得：.
故选A.
5．【答案】B
【详解】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，
再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60种.
故选B．
6．【答案】C
【详解】因为分布列中概率和为，故可得，解得，
又，
则，
又，故可得，
则当时，的最大值为，
又，故的最大值为.
故选C.
7．【答案】B
【详解】由表格数据知：，，
代入，得，
，即，
，时，，
故选B．
8．【答案】A
【详解】从乙盒中取1个球时，甲盒红球个数记为，则的所有可能取值为2，3，
则
从乙盒中随机抽取1个篮球放入甲盒中的概率是,乙盒中随机抽取1个红球放入甲盒中的概率是,
从乙盒中取2个球时，甲盒红球数记为，则的可能取值为，
,
．
故选A．
9．【答案】AC
【详解】因为，所以，A正确；
当时，，当时，，B不正确；
因为，所以，C正确；
根据正态曲线的对称性，D不正确.
故选AC.
10．【答案】AC
【详解】
对于A，随机变量服从二项分布，．
则，故A正确；
对于B，根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，
即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，
“至少出现一个6点”的情况数目为，
“两个点数都不相同”则只有一个6点，共种，
故，故B错误；
对于C，的所有可能取值为0，1，2，
，
可得，，．
的分布列
0 1 2
，故C正确；
对于D，某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为，故D错误．
故选AC．
11．【答案】AC
【详解】依题意，
设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，
对于第次，取出红球有两种情况．
①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，
对应，即，故B错误；
所以，
令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，
故，所以，故选项A，C正确；
第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，
第3次取出球是红球的概率为，
前3次取球恰有2次取到红球的概率是，
故D错误；
故选AC．
12．【答案】15
【详解】试题分析：在二项展开式中二项式系数和为，故，，展开式通项为，要求常数项，则令，，因此常数项为.
13．【答案】
【详解】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，
设学生答对试题为事件，则，，，
，，，
所以，
所以.
14．【答案】1587
【详解】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，
由题意可得．
，而
即，解得．
甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，
又，即．
学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．
15．【答案】(1)个
(2)个
(3)个
【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为两类．
第一类，0在个位时有个；
第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）．
（2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个；
第二类：5在个位时有个．
故满足条件的四位数共有（个）．
（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有个．
由分类加法计数原理知，
无重复数字且比1230大的四位数共有（个）．
16．【答案】(1)
(2)和
(3)和
【详解】（1）因为展开式的通项公式为，，
所以
依题意得，即，由已知,
所以，
所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，
所以.
（2）由（1）知，，
设展开式中系数最大的项为第项，则，
即，即，
解得，所以或，
所以展开式中系数最大的项为和.
（3）由为有理项知，为整数，得，，
所以展开式中所有有理项为和.
17．【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）图像
适合作为该市人才引进就业人数y关于年份 代码x的回归方程类型
（2）（2）
（3）（3）将x=12代入得．
18．【答案】(1)表格数据见解析，能
(2)分布列见解析，，
【详解】（1）由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，补全表格数据如下：
项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计
捐款超过500元 60 20 80
捐款不超过500元 10 10 20
总计 70 30 100
零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关；
（2）由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知的可能取值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
从而ξ的分布列为：
0 1 2 3
P
，.
19．【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）解：由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为.
（2）解：（ⅰ）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为，
则，
甲第3次答题得分80分，40分，20，10嗯分的概率分别为，
则，
当时，因为甲第次答题所得分数的数学期望为，
所以第次答对题所得分数为，答错题所的分数为分，其概率为，
所以，
可猜想：.
（ⅱ）由（i）知数列是以15为首项，5为公差的等差数列，
根据等差数列的求和公式，可得，
当时，，当时，，
所以实数的最小值为.
1、理解随机变量的意义，写出可能取得得全部数值；
2、根据题意，求得随机变量的每一个值对应的概率；
3、列出随机变量的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差；
4、注意期望与方差的性质的应用；