河南省部分学校2024-2025学年高二下学期4月质量检测数学试卷(含详解)

河南省部分学校2024 2025学年高二下学期4月质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项
3．已知函数在处可导，且，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
4．已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（ ）
2 4 6 8 10
6 5 4 3 2
A． B． C． D．
5．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A．11 B． C．10 D．5
7．为落实中央一号文件《中共中央、国务院关于进一步深化农村改革、扎实推进乡村全面振兴的意见》，某农村合作社拟引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.4倍再减去4.已知第一年（2024年）合作社该农产品的销售额为100万元，则按照计划合作社从2024年到2033年该农产品的销售总额约为（参考数据：）（ ）
A．6384万元 B．6374万元 C．6284万元 D．6274万元
8．设两个等比数列，的前项和分别为，.若，则（ ）
A．18 B．162 C．54 D．81
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，的最小值为13
11．记数列满足：，，为的前项和，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若为奇数，则 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
13．已知，则 .
14．记为不超过的最大整数，已知各项均为正数的数列满足：，且，为的前项和，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
16．某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验.甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法.学期末，对两个学校的高一年级的学生期末考试成绩进行了分析，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个等级，以下是实验结果的列联表：
学校 成绩 合计
优秀 非优秀
甲校 150
乙校 200
合计 270 400
(1)请根据以上信息，完成列联表；
(2)根据列联表中的数据，使用卡方检验判断是否有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关？
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
，其中，是总样本数.
17．已知曲线.若曲线在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)求过点且与曲线相切的直线方程.
18．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和；
(3)若恒成立，求的值.
19．已知数列的首项为3，且满足，令.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，求的前项和；
(3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在互不相同的3项成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由平均变化率的计算公式，可得平均变化率为.
故选D.
2．【答案】C
【详解】由数列，可得数列的通项公式为，
令，解得，所以是这个数列的第10项.
故选C.
3．【答案】B
【详解】由，
可得，即.
故选B.
4．【答案】D
【详解】由表格中的数据，可得，，
所以样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程，
可得，解得.
故选D.
5．【答案】B
【详解】由题知，
所以，
又，
所以曲线在处的切线方程为，
即.
故选B.
6．【答案】B
【详解】由，可得，整理得，解得，
所以，则，故.
故选B.
7．【答案】A
【详解】设该合作社在2024年，2025年，…，2033年的销售额分别为，
由题意，可得的，则，
又因为，所以数列是首项为90，公比为1.4的等比数列，
则，即，
所以，
故从2024年到2033年该产品的销售总额约为万元.
故选A.
8．【答案】C
【详解】设，的公比分别为，，
若，，则，，
则，即，
所以，可得，得.
所以，，满足.
所以，.
所以.
同理可得，时也可以得到.
当，时，，，则，故舍去.
当，时，，显然不符合题意，综上所述，.
故选C.
9．【答案】AD
【详解】对于A中，由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，所以D错误.
故选AD.
10．【答案】AB
【详解】对于A中，因为数列为等差数列，且，可得，即，故A正确；
对于B中，因为，可得等差数列的公差，所以等差数列为递减数列，即，故B正确；
对于C中，因为，故C错误；
对于D中，当时，；当时，，即，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
所以当时，的最小值为14，故D错误.
故选AB.
11．【答案】ACD
【详解】对于A中，当时，，因为，可得；
当时，，可得，所以A正确；
对于B中，当时，可得，又由，所以B错误；
对于C中，当为奇数时，
，所以C正确；
对于D中，当为奇数，，，
两式作差，可得，
因为，所以，，，，…，所以，，
当时，，所以，
所以，所以D正确.
故选ACD.
12．【答案】甲
【详解】由甲、乙、丙的两个随机变量的线性相关系数分别为，
可得，所以这三人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
13．【答案】/
【详解】由，得，
令，可得，得，
所以，
可得.
14．【答案】18
【详解】由数列满足：，可得，且，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，故，
因为，所以当时，，
即，
所以
，
所以，
综上所述，故.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公差为，则，，
因为，，成等比数列，
所以，即，
所以或0（舍去）.
故；
即的通项公式为；
（2）由（1）可得，
16．【答案】(1)答案见解析
(2)有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关，理由见解析.
【详解】（1）
学校 成绩 合计
优秀 非优秀
甲校 150 50 200
乙校 120 80 200
合计 270 130 400
（2）根据列联表中的数据，得到
，
故有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关.
17．【答案】(1)，
(2)和
【详解】（1）易知，因为，，
所以在处的切线方程为，
即，
所以，，
可得，；
（2）由（1）可知，
设切点坐标为，则，
故切线方程为，
因为切线过，所以，即，
所以或，
当时，切线斜率为3，此时切线方程为；
当时，切线斜率为，此时切线方程为；
故过点且与曲线相切的直线方程为和，
即和.
18．【答案】(1)
(2)
(3)2
【详解】（1）解：由数列满足，
当时，可得；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，所以，
又因为满足上式，所以，即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：，
则
两式相减，可得
，
所以，即数列的前项和.
（3）解：由（1）知：，
则，
当时，可得，即；
当且时，可得，即，
综上可得：恒成立，
因为恒成立，所以.
19．【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：由数列满足，可得，
因为，可得，即，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知；数列的通项公式为，可得，
当且时，，当且时，，
所以当时，
；
当时，
，
所以.
（3）解：由题意，可得，即，解得，
假设在数列中存在不相同的3项（其中成等差数列）成等比数列，
则，即，则，
又因为，可得，整理得，则，
这与互不相等矛盾，
所以在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列.