河南省南阳市六校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷(含详解)

河南省南阳市六校2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列实际问题不适合用独立性检验解决的是（ ）
A．不良的饮食习惯是否会导致肠胃疾病
B．某公司的营业额在过去5年逐年变化的情况
C．参加课外辅导能否提高学习成绩
D．男性和女性在职业选择偏好上是否有差异
2．已知函数的导函数为，若，则（ ）
A．6 B． C． D．
3．已知在等差数列中，，则（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
4．对于变量，其部分成对的观测值如下表所示：
1 2 3 4 5
2 6 7 8 12
已知具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.2
5．函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．小明每年末存入银行1000元，年利率为，按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为（ ）（参考数据：）
A．5000元 B．5526元 C．5856元 D．6000元
7．四川舰是我国自主研制建造的型两栖攻击舰首舰，是全球首次采用电磁弹射技术的两栖攻击舰.某电磁弹射装置竖直向上弹出一个物体，由于自带动力装置，该物体上升的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，则该物体在竖直方向上的瞬时速度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，且，则（ ）
A．182 B．173 C．164 D．155
二、多选题（本大题共3小题）
9．2025年，我国大力推进新能源汽车行业发展.某研究机构对10个城市的“公共充电桩密度”（单位：个）和“新能源汽车通勤效率提升率”进行统计分析，计算得到线性回归方程为，样本相关系数.则下列说法正确的是（ ）
A．公共充电桩密度每增加1，新能源汽车通勤效率提升率大约增加
B．公共充电桩密度与新能源汽车通勤效率提升率呈高度正线性相关关系
C．若某区域的公共充电桩密度为5个，可预测其新能源汽车通勤效率提升率为
D．因为，所以可认为新能源汽车通勤效率提升率由公共充电桩密度决定
10．下列求导正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．设和是两个不同的无穷数列，且均不是常数列.记集合，则下列结论中正确的是（ ）
A．若和均为等比数列且公比相同，则为空集
B．若和均为等差数列且公差不同，则中可能有无穷多个元素
C．若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素
D．若为递增数列，为递减数列，则中最少有1个元素
三、填空题（本大题共3小题）
12．2024年，杭州某科技公司研发的智能扫地机器人销量持续增长.已知该产品2024年前七个月的月销量（单位：万台）与月份的函数关系为，则1月到3月月销量的平均增长率为 万台/月.
13．已知数列满足，且，则 .
14．已知数列的通项公式为，函数在处的导数为，则使得的正整数的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记是等差数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）：
学校 企业 自由开发者
有需求 170
无需求 120
已知调查了400个学校和150个自由开发者.
(1)求和的值；
(2)估计目标用户对该设备有需求的概率；
(3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？
附：.
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
17．某健身俱乐部为了研究会员每周锻炼时间（单位：）与体重减少量（单位：）的关系，随机选取了5名会员进行跟踪调查，得到以下数据：
(1)求每周锻炼时间与体重减少量的样本相关系数；（保留两位小数）
(2)求体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程，并估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量.
参考公式：相关系数；在线性回归方程中，.
18．已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．在数列中，已知，且当为奇数时，；当为偶数时，.
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和；
(3)设，若集合中恰好有3个元素，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】独立性检验是通过统计学方法来检验两个分类变量之间是否存在关联性，
ACD满足独立性检验的基本思想，B选项只是公司的营业额这一个变量在过去5年的变化情况，不满足独立性检验的基本思想.
故选B.
2．【答案】A
【详解】
故选A.
3．【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
.
故选D.
4．【答案】B
【详解】由条件可知，，，
线性回归方程必过点，所以，所以.
故选B.
5．【答案】C
【详解】由函数，可得，则，且，
即切线的斜率为，切点坐标为
所以的图象在处的切线方程为，即.
故选C.
6．【答案】B
【详解】由题可得按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为
元.
故选B.
7．【答案】C
【详解】因为，则，
易知，当时，，当时，，
所以该物体在竖直方向上的瞬时速度的最大值为，
故选C.
8．【答案】D
【详解】因为，则，
，
，…，，
将这个式子相加，可得，
化简得，又，
，则.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，回归方程中，斜率表示公共充电桩密度每增加1，新能源汽车通勤效率提升率大约增加，故A选项正确；
对于B，样本相关系数，绝对值接近且为正，
说明两者呈高度正线性相关关系，故B选项正确；
对于C，将代入回归方程，得，
即可预测其新能源汽车通勤效率提升率为，故C选项正确；
对于D，相关系数高说明相关性强，但不能直接推断因果关系，
即不能推断新能源汽车通勤效率提升率由公共充电桩密度决定，故D选项错误.
故选ABC.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，，故C正确；
对于D，若，，故D正确.
故选BCD.
11．【答案】AC
【详解】对于A，和均为等比数列且公比相同，设公比为，且，则，，显然，所以为空集，故A正确；
对于B，和均为等差数列且公差不同，设，，且，若，则，因为,所以中最多只有一个元素，故B错误；
对于C，设，，若，则，
若且时，分布在图象上，分布在图象上，根据和图象，可得关于的方程至多有2个不同的解，
若且时，分布在图象上，分布在图象上，根据与图象，可得关于的方程至多有3个不同的解，所以可得C正确；
对于D，为递增数列，为递减数列，则两数列的图象至多有一个交点，则中最多有1个元素，故D错误.
故选AC.
12．【答案】11
【详解】由题意可得1月到3月月销量的平均增长率为.
13．【答案】
【详解】因为，，
所以，，，，，
即，，
所以，
所以，又因为，
所以，，
所以，
所以数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，故.
14．【答案】7
【详解】由，
则，
因为，
所以
，
，即，
化简整理得，解得或，又，
，则的最小值为7.
15．【答案】(1).
(2).
【详解】（1）因为数列为等差数列，设其首项为，公差为，
由可得，解得，
则.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，，设，
则
由等差数列与等比数列的前n项和公式可得.
16．【答案】(1)
(2)；
(3)有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.
【详解】（1）由题得；
（2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为；
（3）列出列联表：
学校用户 非学校用户 总计
有需求 300 270 570
无需求 100 170 270
总计 400 440 840
零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异.
由表格得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异.
17．【答案】(1)
(2)，.
【详解】（1）由题，，，
，
，
，
所以相关系数.
（2）由（1），可得，，
所以体重减少量关于每周锻炼时间的线性回归方程为，
当时，.
估计当某会员每周锻炼时间为时的体重减少量为.
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为数列的前项和满足，
所以当时，，
当时，，
所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），
所以数列的前项和，
所以，
所以，
所以.
（3）由（2）若对任意恒成立，
则对任意恒成立，即对任意恒成立，
因为为上的减函数，所以，
所以.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由条件可知，，
当为偶数时，，所以数列的奇数项成公比为2的等比数列，
所以，所以为奇数时，，
当为偶数时，，
所以；
（2）当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
；
，
所以；
（3），
所以当为奇数时，数列单调递减，当为偶数时，数列单调递减，
，，，，
若集合中恰好有3个元素，则.