天津市第二十五中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题(含详解)

天津市第二十五中学2024 2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共10小题）
1．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B．9 C． D．1
2．函数的极大值点是（ ）
A． B．1 C． D．
3．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）

A． B．
C． D．
4．现有3名同学站成一排，再将甲，乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（ ）
A．12种 B．20种 C．6种 D．8种
5．要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
6．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ）
A． B．90 C．40 D．
7．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A． B．-1 C． D．
8．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．函数的单调递减区间为 ．
12．某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为 .（用数值作答）
13．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是．若已知从中任意取出2粒恰好是同一色，则这2粒都是黑子的概率是 ．
14．若函数有两个零点，则的取值范围是 ．
15．已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共5小题）
16．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)．
17．已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x的方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
18．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.求的分布列.
19．春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.
(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；
(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.
20．已知函数（其中）.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】.
故选B.
2．【答案】B
【详解】由题设，当时，当或时，
所以在、上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值点是1.
故选B.
3．【答案】A
【详解】由导函数图象可知，在上单调递减，在上单调递增，
结合选项，只有A符合；
故选A.
4．【答案】B
【详解】原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，所以甲同学有种不同的排法.
当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人，
这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法.
故完成将甲，乙名同学加入排列这件事，分两步：
第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法，
那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）.
故选B.
5．【答案】C
【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作，
所以不同方法种数为.
故选C.
6．【答案】A
【详解】由题意可知：，∴，
则二项式的展开式通项，
令，即时，，
即展开式的常数项为20.
故选A.
7．【答案】B
【详解】，令得，解得.
故选B.
8．【答案】D.
【详解】由超几何分布的概率公式可得，
他能及格的概率是：．
故选D．
9．【答案】A
【详解】因为，所以，解得.
故选A.
10．【答案】D
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选D.
11．【答案】/
【详解】函数的定义域为，∵，
令得，
∴函数的单调递减区间是．
12．【答案】
【详解】投球4次，恰好投进3个球的概率为.
13．【答案】
【详解】设“从中取出2粒都是黑子”为事件，“从中取出2粒都是白子”为事件，
“任意取出2粒恰好是同一色”为事件，则，且事件与互斥．
所以，
即任意取出2粒恰好是同一色的概率为．
故所求概率为．
14．【答案】
【详解】因为函数有两个零点，
所以方程有两个实根，
所以函数与函数的图象有且仅有两个交点，
函数的定义域为，
函数的导函数为，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又，当时，，
当时，，
画出函数与函数的图象，
观察图象可得实数的取值范围是．
15．【答案】27
【详解】由得：；当时， ，
直线与曲线相切的切点坐标为，
，又为正实数，
,
（当且仅当，即，即时取等号），
的最小值为27.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【详解】（1）
（2）
（3）
（4），则
（5）
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
由函数在及处取得极值，得
解得，此时，，
则得或；得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则和分别为的极大值点和极小值点.
故.
（2）由（1）可知， 在处取得极大值，在处取得极小值．
又有三个不同的实根，所以
解得，所以实数c的取值范围是．
18．【答案】分布列见解析
【详解】依题意，的可能值有.
则，，.
则的分布列为：
19．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）参与者甲未能参与第四关的概率为：
（2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望为
20．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）解：当时，，则，所以，，，
所以，当时，在处的切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数的增区间为，无减区间；
当时，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）解：由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，则，解得，
因此，实数的取值范围是.