整册书综合试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册

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整册书综合试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（ ）

A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
2．某校为庆祝中国共产党成立100周年举办“学党史颂党恩”主题演讲比赛，来自于高三年级的两名同学和高一、二年级各1名同学进入决赛，则来自于高三年级的两名同学不相邻出场的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A．0.25 B．0.37 C．0.33 D．0.47
4．一排有6个插座，只有三个通电，那么恰有两个不通电的相邻的情况有（ ）
A．10种 B．12种 C．72种 D．144种
5．某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有（ ）
A．56种 B．64种 C．72种 D．86种
6．2022年12月份，齐齐哈尔出现新冠疫情，各个社区马上进入应急状态，其中甲乙丙三个社区疫情最为严重，急需支援．学校迅速组织6位教师去支援，其中甲社区需要3位教师，乙社区需要2位教师，丙社区需要1位教师，则学校的不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
7．已知甲、乙、丙等5人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．24 B．26 C．32 D．40
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列问题是排列问题的为（　　）
A．高二（1）班选名班干部去学校礼堂听团课
B．某班名同学在假期互发微信
C．从1，2，3，4，5中任取两个数字相除
D．10个车站，站与站间的车票
10．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在某市中小学中随机抽取了10所学校，这10所学校中了解这个项目的人数如图所示.若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．X的取值范围为 B．
C． D．
三、填空题
12．已知，则 .
13．编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号盒子中，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有 种．
14．已知x与y的一组数据，
x 1 3 5
y 2 4 6
则有以下结论：
①x与y正相关；②x与y负相关；③其回归方程为；④其相关系数．
其中正确的是 ．（填序号）
四、解答题
15．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由.
(1)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？
(2)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同的集合？
16．（1）求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
17．已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且.
(1)若从公司销售的牛肉干中随机选取3包，求这3包中恰有2包质量不小于的概率；
(2)若从公司销售的牛肉干中随机选取（为正整数）包，记质量在内的包数为，且，求的最小值.
18．“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望.
19．一名学生每天骑车上学，从家到学校的途中经过6个路口.假设他在各个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)用X表示这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布；
(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D B C B D A BCD BD
题号 11
答案 BC
1．A
根据给定信息得成绩服从正态分布，再利用和的含义逐项判断作答.
依题意，不妨设成绩服从正态分布，由正态曲线的性质知，
曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，
为正态曲线的对称轴，且为平均数，
由所给图像知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大，
甲、乙、丙总体的平均数相同，BCD错误，A正确.
故选：A
2．B
直接利用古典概型概率公式求解即可.
四名同学全排列共有种方法，
自于高三年级的两名同学不相邻共有种方法，
所以来自于高三年级的两名同学不相邻出场的概率，
故选：B.
3．D
由全概率公式即可求解；
由，可得
所以：．
故选：D
4．B
采用捆绑法和插空法进行求解.
三个通电的放好，有四个空，两个相邻的不通电的捆绑在一起算一个元素，
另一个不通电算一个元素，插入两个空，有顺序，所以种.
故选：B
5．C
分类讨论数学课代表的人选：若乙担任数学课代表，再安排甲担任语文或英语课代表，最后再安排剩余的四人；若丙担任数学课代表，再安排甲担任语文或英语课代表，接着安排乙，最后再安排剩余的三人，将两种所有安排方式相加即可.
若乙担任数学课代表，则不同的安排方式共有种，
若丙担任数学课代表，则不同的安排方式共有种，
所以不同的安排方式共有48+24=72种．
故选:C．
6．B
利用分步乘法计数原理和组合可得.
由题意：第一步从6位教师中选3位去甲社区有种选法，
第二步从剩余3位教师中选2位去乙社区有种选法，
第三步剩下1位教师去丙社区有1中选法，
共有种选法，
故选：B
7．D
按照甲排第一，第二，第三位分类求解．
按甲的安排进行分类讨论.①甲排第一，则乙，丙等四人有（种）；②甲排第二，则乙、丙排后3位中的两位，有（种）；
③甲第三，则乙，丙排最后2位；有（种）.故共有（种）.
故选：D.
8．A
根据二项式系数的性质可得出，结合此性质可求得的值.
的展开式通项为，
所以，，
所以，，
所以，，且，
所以，
.
故选：A.
9．BCD
根据排列的定义判断即可.
对于A：不存在顺序问题，不是排列问题；
对于B：存在顺序问题，是排列问题；
对于C：两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
对于D：车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．
故选：BCD
10．BD
利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.
对选项A， ，
令，得，令，得，
所以，故A错误.
对选B，因为，
所以表示的各项系数之和，
令，则，故B正确.
对选项C，，所以，故C错误.
对选项D，因为，，
令，则，
则，故D正确.
故选：BD
11．BC
根据题意可知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，故可确定X的取值范围为，判断A;求出X的每个取值的概率，判断B,C;求得X的期望，判断D.
由题意知10所学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数为4个，
故X的取值范围为，故A错误；
由此可得 ,故B，C正确；
又，
故，故D不正确，
故选：BC
12．5
利用均值的性质求解.
已知，则.
故答案为：5
13．30
根据A球所在位置分三种情况，利用排列知识进行求解，相加后得到答案.
根据A球所在位置分三类：
若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，有种不同的放法，
则根据分步计数原理，此时有种不同的放法；
若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，有种不同的放法，则根据分步计数原理，此时有种不同的放法；
若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有种不同的放法，
根据分步计数原理，此时有种不同的放法．
综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
故答案为：30
14．①③④
根据数据的变化规律可判断x与y的相关性，判断①②，根据最小二乘法求得回归直线方程，判断③，计算相关系数，判断④.
从表中数据看，随着x的增加，y增加，所以x与y正相关，①正确，②错误．
根据表中数据得，
则，
故回归方程为，③正确；
相关系数为，④正确，
故答案为：①③④
15．(1)是排列问题，理由见解析
(2)不是排列问题，理由见解析
（1）由排列的定义判断结论；
（2）由组合的定义判断结论.
（1）取出的两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，
这与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题.
（2）取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素具有无序性，
即集合不受所选两个数的排列顺序的影响，所以这不是排列问题.
16．（1）第6项的二项式系数为6，第6项的系数为；（2）
（1）写出二项展开式的通项，根据二项式系数与项的系数的定义计算可得结果；
（2）由二项展开式的通项可知第4项含，其系数为.
（1）由已知得二项展开式的通项为
可得，
可得第6项的二项式系数为，第6项的系数为.
（2）展开式的通项为，
令，得，
则展开式中第4项含，其系数为.
17．(1)
(2)2001
（1）根据正态分布的性质求出的值，再结合二项分布的概率计算，即可得答案；
（2）根据正态分布的对称性求出的值，确定，结合正态分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.
（1）由题意知每包牛肉干的质量（单位：g）服从正态分布，且，
所以，
则这3包中恰有2包质量不小于248g的概率为.
（2）因为，所以，
依题意可得，所以，
因为，所以，
又为正整数，所以的最小值为2001.
18．分布列见解析，
求出的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列，再由期望公式求解即可得出答案.
由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以．
19．(1)答案见解析
(2)
（1）写出随机变量X的所有可能取值，利用二项分布求出对应的概率即可列出对应的分布列；
（2）利用对立事件求出学生在途中没有遇到一次红灯的概率为，即可求得结果.
（1）根据题意可知，途中遇到红灯的次数服从二项分布，
易知X的所有可能取值为，
可知，
,
,
,
,
,
；
所以X的分布为
0 1 2 3 4 5 6
（2）由（1）可知，这名学生在途中没有遇到一次红灯的概率为，
所以途中至少遇到一次红灯的概率为.
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