第七章 随机变量及其分布 章末综合巩固试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 第七章 随机变量及其分布 章末综合巩固试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 724.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-06 10:10:25 | ||
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文档简介
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第七章 随机变量及其分布 章末综合巩固试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则
A． B． C． D．
5．已知随机变量的分布列如下：
1 2
则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
7．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
二、多选题
9．已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
三、填空题
12．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量 次（若，则）．
13．袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， .
14．有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
四、解答题
15．为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
16．为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
(1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
(2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
17．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．
(1)求和；
(2)已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若，则：
，，
，．
18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
19．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
参考答案
1．A
根据条件概率的计算公式计算得解.
设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，
，，，
，
，
.
故选：A.
2．B
设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.
设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
故选：B.
3．D
根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.
因为随机变量满足，
所以，
也即，又因为是公差为的等差数列，
所以，则有，，，
所以，则，
，，
因为，所以，解得，
故选：.
4．A
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.
5．A
利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
由题意可知，
若，则，得，
故充分性满足；
若，则，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
则或，故必要性不满足.
故选：A.
6．A
根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.
解：设得分为，根据题意可以取，，.
则，，
，
则分布列为：
4 3 2
所以得分期望为.
故选：.
7．A
根据正态分布的对称性，以及即可求得净重在179g与186.5g之间的概率.
由题意可知，，可得
净重在179g与186.5g之间的概率为
由正态分布的对称性可知，
；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为.
故选：A.
8．C
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
9．BD
对于A，由题意可得，从而即可判断；
对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；
对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可；
对于D，判断是否成立即可.
解：对于A，因为，，，
所以，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以，故错误；
对于D，因为，即，所以，
又因为，所以，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
10．ABD
A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.
A.恰有一个白球的概率，故A正确；
B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．
故选：ABD.
11．ACD
直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.
对于A，由题意，故A正确；
对于B，由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，
设，
，
解得，，
由，
解得，即，
所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确.
故选：ACD.
12．32
因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故答案为：32.
本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息.
13． 1
根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．
，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
14．
记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，根据题设有，，，再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率.
记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，
所以，，
故，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，根据相互独立事件的概率公式求出、，再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据全概率公式计算可得.
（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得.
16．(1)分布列见解析，
(2)
（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，
（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.
（1）
，，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
17．(1)，
(2)这台设备需要进一步调试，理由见解析
（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；
（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论.
（1）,
，
故；
（2）由题意得：，
，即，
所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，
又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，
所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试.
18．（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为．
，当且仅当，即可得所求．
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；
方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解．
19．(1)
(2)分布列见解析
(3)
(1)由古典概率模型进行求解；
(2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可；
(3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解.
（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
1 2 3
P
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解.
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第七章 随机变量及其分布 章末综合巩固试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则
A． B． C． D．
5．已知随机变量的分布列如下：
1 2
则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（ ）
A． B． C． D．
7．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
二、多选题
9．已知事件A，B满足，，则（ ）
A．若，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立
10．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）
A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
三、填空题
12．对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量 次（若，则）．
13．袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， .
14．有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为，被标记为垃圾邮件的有的概率是正常邮件，被标记为正常邮件的有的概率是垃圾邮件，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率为 .
四、解答题
15．为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．
16．为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动．竞赛共有和两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道类试题得10分；每答对1道类试题得20分，答错都不得分．每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）．已知某同学类试题中有7道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
(1)若该同学只抽取3道类试题作答，设表示该同学答这3道试题的总得分，求的分布和期望；
(2)若该同学在类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率．
17．某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．
(1)求和；
(2)已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若，则：
，，
，．
18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
19．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
参考答案
1．A
根据条件概率的计算公式计算得解.
设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，
，，，
，
，
.
故选：A.
2．B
设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案.
设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，
由题意可知：，
则，
，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是.
故选：B.
3．D
根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.
因为随机变量满足，
所以，
也即，又因为是公差为的等差数列，
所以，则有，，，
所以，则，
，，
因为，所以，解得，
故选：.
4．A
先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.
的可能取值为.
表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.
表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.
表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.
所以.故选A.
求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.
5．A
利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
由题意可知，
若，则，得，
故充分性满足；
若，则，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
则或，故必要性不满足.
故选：A.
6．A
根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.
解：设得分为，根据题意可以取，，.
则，，
，
则分布列为：
4 3 2
所以得分期望为.
故选：.
7．A
根据正态分布的对称性，以及即可求得净重在179g与186.5g之间的概率.
由题意可知，，可得
净重在179g与186.5g之间的概率为
由正态分布的对称性可知，
；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为.
故选：A.
8．C
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
9．BD
对于A，由题意可得，从而即可判断；
对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；
对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可；
对于D，判断是否成立即可.
解：对于A，因为，，，
所以，故错误；
对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；
对于C，因为，所以，所以，故错误；
对于D，因为，即，所以，
又因为，所以，
所以A与B相互独立，故正确.
故选：BD
10．ABD
A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.
A.恰有一个白球的概率，故A正确；
B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；
C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；
D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．
故选：ABD.
11．ACD
直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.
对于A，由题意，故A正确；
对于B，由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，
设，
，
解得，，
由，
解得，即，
所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确.
故选：ACD.
12．32
因为，得到，，要使误差在的概率不小于0.9545，
则，得到不等式计算即可.
根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于0.9545，
则且，，
所以.
故答案为：32.
本题是对正态分布的考查，关键点在于能从读出所需信息.
13． 1
根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．
，所以，
, 所以, 则．
由于
．
故答案为：1；．
14．
记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，根据题设有，，，再应用对立事件、条件概率、全概率及贝叶斯公式求垃圾邮件被该系统成功过滤的概率.
记“正常邮件”，“标记为正常邮件”，则，，，
所以，，
故，
所以.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，根据相互独立事件的概率公式求出、，再根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据全概率公式计算可得.
（1）设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以规定三名同学都需要回答这个问题，
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，记事件B为“这道题被答对”，
则，，，
且，，，
由全概率公式可得.
16．(1)分布列见解析，
(2)
（1）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，利用期望公式即可求解，
（2）根据相互独立事件的概率，即可求解.
（1）
，，
，
所以X的分布为
X 0 10 20 30
P
所以
（2）记“该同学仅答对1道题”为事件M.
这次竞赛中该同学仅答对1道题得概率为.
17．(1)，
(2)这台设备需要进一步调试，理由见解析
（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；
（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论.
（1）,
，
故；
（2）由题意得：，
，即，
所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，
又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，
所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试.
18．（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.
（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；
（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.
（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值
件产品中恰有件不合格品的概率为.
因此.
令，得.当时，；当时，.
所以的最大值点为；
［方法二］：【最优解】均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为．
，当且仅当，即可得所求．
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；
方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解．
19．(1)
(2)分布列见解析
(3)
(1)由古典概率模型进行求解；
(2) 可取，求出对应的概率，再列出分布列即可；
(3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，即可求解.
（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
1 2 3
P
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
关键点点睛：记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，即可求解.
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