7.5 正态分布 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.5 正态分布 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 624.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-06 10:10:25 | ||
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文档简介
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7.5 正态分布 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．已知随机变量，则（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7
4．设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
5．某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236 B．246 C．270 D．275
6．某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查，调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.8186 B．0.6827 C．0.47725 D．0.34135
7．设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ）
附：，，，
A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987
二、多选题
9．关于正态密度曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线的峰值为
C．越大，曲线越“矮胖”
D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1
10．某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
11．若随机变量，，其中，下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知且，，则 ．
13．为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，．
14．记（k，b为实常数），若，，则 .
15．某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ．
16．已知随机变量，，且，则 .
四、解答题
17．大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）
参考数据：若，则，，．
18．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，）
(1)随机抽取1罐，其净重超过的概率；
(2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率.
19．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量 柔 度 力量 速度 耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量 柔 度 力量 速度 而力等多项指标出现好转，但肥胖 近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.
(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）.
附参考数据：，随机变量服从正态分布，则.
参考答案
1．D
根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小
因为，，两曲线分别关于对称，
所以由图可知，，所以A错误，
因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”，
所以 ，所以B错误，
所以，，
所以C错误，D正确，
故选：D
2．B
结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.
根据正态分布密度函数中参数的意义，
结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；
且都在的右侧，即，
比较和图像可得，其形状相同，即，
又的离散程度比和大，所以可得；
故选：B
3．C
由正态分布的性质计算即可得.
由，，则，
故.
故选：C.
4．B
根据正态分布概率密度函数的对称性即可求解.
由题意，根据正态分布的对称性，
得，
解得，
故选：B．
5．B
根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解.
由题可知，，，.
所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．
故选：B．
6．A
根据已知求得，.则，然后结合正态分布的对称性，求解即可.
由已知可得，.
所以
.
故选：A
7．C
根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可.
由、分布曲线关于轴对称，
则，
∵越大，正态分布曲线越扁平，
∴.
故选：C
8．C
根据原则求得正确答案.
依题意，，
.
故选：C
9．ACD
根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解.
对于A，根据正态密度曲线可知，，
，故，所以曲线关于直线对称正确；
对于B，当时，的峰值为，故不正确；
对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确；
对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确.
故选：ACD
10．AC
根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.
X，Y均服从正态分布，，
结合正态密度函数的图象可知，可得，，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
故选：AC
11．ACD
利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误.
对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知，
所以，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
12．0.1/
利用正态曲线的性质求解．
由知，正态曲线关于直线对称．
因为，所以．
又，
所以．
故答案为：0.1．
13．13
先计算出，利用正态分布曲线的对称性得到，由，对照参数得到，从而计算出进入集训队的人数.
正态分布，可知，
分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：，得，
所以，则，
则分及以上的人数为人.
故答案为：.
14．-3或3
随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可.
由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.
故答案为-3或3.
15．
求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
因为服从正态分布，且，，
则，
所以，.
故答案为：.
16．/0.5
根据二项分布及正态分布的期望求解即可.
，，
，，，
，解得，
故答案为：
17．(1)0.048；众数是，分位数是
(2)分
（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，再结合众数和百分位数的求解方法，即可求解；
（2）求得，得到，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
（1）根据频率分布直方图，可得：
，解得，
这组数据的众数为，
由，
则这100份样本试卷成绩的75%分位数是.
（2）由，
所以，
因为，
所以，
所以测试前预估的平均成绩大约为分．
18．(1)0.4207；
(2)0.9544.
（1）（2）将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可.
（1）.
故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207，
（2）
.
故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544.
19．(1)16.16
(2)0.073
（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.
（2）根据，可求得成绩在内的概率，利用二项分布的概率公式求解即可.
（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：
.
（2）由题意知，
则，
故该校女生短跑成绩在内的概率，
由题意可得，
所以，
，
所以.
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7.5 正态分布 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．已知随机变量，则（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7
4．设随机变量服从正态分布，若，则a的值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
5．某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（ ）
（若随机变量，则，，）
A．236 B．246 C．270 D．275
6．某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查，调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（ ）
若随机变量，则，
A．0.8186 B．0.6827 C．0.47725 D．0.34135
7．设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1800的概率为（ ）
附：，，，
A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987
二、多选题
9．关于正态密度曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线的峰值为
C．越大，曲线越“矮胖”
D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1
10．某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
11．若随机变量，，其中，下列等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知且，，则 ．
13．为准备2022年北京一张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9~14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为 ．附：，，．
14．记（k，b为实常数），若，，则 .
15．某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸服从正态分布，且，，则 ．
16．已知随机变量，，且，则 .
四、解答题
17．大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．
(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）
参考数据：若，则，，．
18．某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布，求：（参考数据：，）
(1)随机抽取1罐，其净重超过的概率；
(2)随机抽取1罐，其净重在与之间的概率.
19．据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量 柔 度 力量 速度 耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量 柔 度 力量 速度 而力等多项指标出现好转，但肥胖 近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.
(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）
(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩，其中近似为女生短跑平均成绩近似为样本方差，经计算得，若从该校女生中随机抽取10人，记其中短跑成绩在内的人数为，求（结果保留2个有效数字）.
附参考数据：，随机变量服从正态分布，则.
参考答案
1．D
根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小
因为，，两曲线分别关于对称，
所以由图可知，，所以A错误，
因为的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”，
所以 ，所以B错误，
所以，，
所以C错误，D正确，
故选：D
2．B
结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.
根据正态分布密度函数中参数的意义，
结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；
且都在的右侧，即，
比较和图像可得，其形状相同，即，
又的离散程度比和大，所以可得；
故选：B
3．C
由正态分布的性质计算即可得.
由，，则，
故.
故选：C.
4．B
根据正态分布概率密度函数的对称性即可求解.
由题意，根据正态分布的对称性，
得，
解得，
故选：B．
5．B
根据正态分布在特定区间的概率及正态曲线的对称性进行计算即可得解.
由题可知，，，.
所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是天．
故选：B．
6．A
根据已知求得，.则，然后结合正态分布的对称性，求解即可.
由已知可得，.
所以
.
故选：A
7．C
根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可.
由、分布曲线关于轴对称，
则，
∵越大，正态分布曲线越扁平，
∴.
故选：C
8．C
根据原则求得正确答案.
依题意，，
.
故选：C
9．ACD
根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解.
对于A，根据正态密度曲线可知，，
，故，所以曲线关于直线对称正确；
对于B，当时，的峰值为，故不正确；
对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确；
对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确.
故选：ACD
10．AC
根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解.
X，Y均服从正态分布，，
结合正态密度函数的图象可知，可得，，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
故选：AC
11．ACD
利用正态密度曲线的对称性可判断各选项的正误.
对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知，
所以，，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
12．0.1/
利用正态曲线的性质求解．
由知，正态曲线关于直线对称．
因为，所以．
又，
所以．
故答案为：0.1．
13．13
先计算出，利用正态分布曲线的对称性得到，由，对照参数得到，从而计算出进入集训队的人数.
正态分布，可知，
分及以上的人数为人，则，
由正态分布曲线的对称性可得：，得，
所以，则，
则分及以上的人数为人.
故答案为：.
14．-3或3
随机变量 正态分布，则均值为，方差为；若，随机变量服从正态分布，则的均值为，方差为，代入公式计算即可.
由题知，，则随机变量（为实常数），服从的分布为 ，而又因为，所以有，解得或，所以-3或3.
故答案为-3或3.
15．
求得，再利用正态密度曲线的对称性可求得的值.
因为服从正态分布，且，，
则，
所以，.
故答案为：.
16．/0.5
根据二项分布及正态分布的期望求解即可.
，，
，，，
，解得，
故答案为：
17．(1)0.048；众数是，分位数是
(2)分
（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，再结合众数和百分位数的求解方法，即可求解；
（2）求得，得到，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
（1）根据频率分布直方图，可得：
，解得，
这组数据的众数为，
由，
则这100份样本试卷成绩的75%分位数是.
（2）由，
所以，
因为，
所以，
所以测试前预估的平均成绩大约为分．
18．(1)0.4207；
(2)0.9544.
（1）（2）将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可.
（1）.
故随机抽取1罐，其净重超过的概率是0.4207，
（2）
.
故随机抽取1罐，其净重在与之间的概率为0.9544.
19．(1)16.16
(2)0.073
（1）利用频率分布直方图求解平均数即可.
（2）根据，可求得成绩在内的概率，利用二项分布的概率公式求解即可.
（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：
.
（2）由题意知，
则，
故该校女生短跑成绩在内的概率，
由题意可得，
所以，
，
所以.
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