6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
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| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 355.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-06 10:10:25 | ||
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文档简介
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6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．6种 B．10种 C．4种 D．60种
2．有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A．13 B．40 C．72 D．60
3．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48 B．18 C．24 D．36
4．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
5．据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵 横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8.
现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．24个 B．30个 C．36个 D．42个
7．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
8．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
二、多选题
9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
11．已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A．表示不同的正数的个数是6
B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6
D．（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6
三、填空题
12．有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 .
13．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 .
14．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法
四、解答题
15．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？
16．有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）.
(1)可以排成多少个三位数？
(2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）.
（i）左起第二、四位数是偶数的奇数.
（ii）比大的偶数.
17．如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
18．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.
(1)求是这个数列的第几项；
(2)求这个数列的所有项和.
19．用这七个数字，完成下面三个小题．
(1)用以上七个数字能组成多少个三位数偶数（允许有重复数字）？
(2)用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？
(3)已知椭圆方程，其中，则满足焦距不小于的不同椭圆方程有多少个？
参考答案
1．B
根据分类加法计数原理求解即可.
根据分类加法计数原理，6+4=10.
故选：B.
2．B
利用分步乘法计数原理计算即可.
由分步乘法计数原理得不同的配法种数为.
故选：B.
3．D
根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.
正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，
所以正方体中“正交线面对”共有（个）.
故选：D
4．A
利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．
先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，
① 当,颜色相同时涂色方法数是：，
② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，
满足题意的涂色方法总数是：．
故选：A．
5．D
列出能构成等比数列的数组，然后可得答案.
正整数1~9中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9.
其中只有6，8，9的纵式计数形式中各有1横，所以共有4横
故选：D
6．B
根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答.
计算偶数个数有两类办法：
个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有种结果，
个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，
再从余下3个数字中选一个作十位，共有种结果，
由分类加法计数原理得，偶数共有种结果.
故选：B
7．C
先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.
将区域标号，如下图所示：
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
8．B
利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
9．ABD
利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.
解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
10．BCD
利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.
所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故答案为：BCD
11．BC
对于四个选项中的计数问题，分别用分类、分步计数法表示，并排除重复情况即得解
对于选项A，若a，b均为正，共有2×2=4个，若a，b均为负，共有1×2=2个，但，所以共有5个，所以选项A错误；
对于选项B，若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2+1×2=6个，所以选项B正确；
对于选项C，要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3=6个，所以选项C正确；
对于选项D，要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4=8个，所以选项D错误．
故选：BC
12．
利用分步乘法计数原理即可求解.
每位学生可以有种参加重点院校的自主招生考试，由分步乘法计数原理可得，不同的考试方法种数为种.
故答案为：.
13．12
讨论百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果.
当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600；
当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510；
当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402；
当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312；
当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222；
当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132；
综上，共有12个“吉祥数”.
故答案为：12
14．12
正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况.
从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况，
所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次，
综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种.
故答案为：12
15．(1)14
(2)90
(3)63
（1）根据分类加法计数原理求解即可；
（2）根据分步乘法计数原理求解即可；
（3）分三种情况讨论求解即可；
（1）由于书架上有本书，
则从中任取一本，共有14种不同的取法.
（2）由题意分步完成，
第一步：取任取一本数学书，有3种取法；
第二步：取任取一本语文书，有5种取法；
第三步：取任取一本英语书，有6种取法；
由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.
（3）取两本不同科目的数，可以分三种情况：
①一本数学书和一本语文书，有种情况；
②一本数学书和一本英语书，有种情况；
③一本语文书和一本英语书，有种情况；
根据分类加法计数原理，共有种情况.
16．(1)个
(2)（i）20个；（ii）41个
（1）先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）（i）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算；（ii）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（1）首先排百位数字有种选法，
再排十位数字有种选法，
最后排个位数字有种选法，
所以一共有三位数（个）.
（2）（i）首先从、两数中选一个数排在个位，有种；
①最高位排、中剩下的数，将三个偶数排到左起第二、三、四位，有种；
②最高位为从、两数中选一个，有种，再将剩下的两个偶数排到左起第二、四位，有种，最后将、中剩下的数排到第三位；
综上可得符合条件的数字一共有（个）；
（ii）比大的偶数可分为六类：
万位数字为的偶数，有个；
万位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有，共个；
综上可得比大的偶数一共有个.
17．(1)种
(2)种
(3)种
（1）由全排列公式求出答案；
（2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案；
（3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案.
（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案．
（2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案；
第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案．
所以共有种不同的种植方案．
（3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花．
第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花，
则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案．
第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案．
第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花，
则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花，
故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案．
第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案．
综上，共有种不同的种植方案．
18．(1)第项
(2)3999960
（1）求出所有的五位数个数为，分类求出大于的五位数个数，相减即可得出答案；
（2）先得出各在万位上时都有个五位数，可得所有的五位数万位数字之和为360.同理可求得其他各位，即可得出答案.
（1）间接法：
所有的五位数个数为.
大于的数可分为以下三类：
第一类：以5开头的个数；
第二类：以45开头的个数有；
第三类：以435开头的个数有.
故不大于的五位数的个数有，即是第项.
（2）各在万位上时都有个五位数，
所以万位字的和为.
同理可得，在千位、百位、十位、个位上也有个五位数，
所以，这个数列的所有项和为.
19．(1)
(2)
(3)
对于小问1，采用间接法计算，末尾为偶数字的三位数，减去首位为的三位偶数；对于小问2，采用直接计算，分末尾为或两种情况讨论计算相加；对于小问3，讨论当椭圆焦点在轴上时，由焦距不小于，得到，结合，找到满足条件的共有个，同理讨论当焦点在轴上的情况.
（1）七个数字中，偶数字为，奇数字为，
允许有重复数字的，首位数字是的三位偶数为
所以允许有重复数字的三位偶数为.
（2）无重复数字的能被5整除的四位数,末尾数字只能为或,
当末尾数字为时,有个，
当末尾数字为时,有个，
所以无重复数字的能被5整除的四位数为个.
（3）由椭圆方程，其中，知，
当时，由，得整理得，
所以或，
若时，则，此时满足条件的椭圆有个，
若时，则，此时满足条件的椭圆有个，
所以满足条件的椭圆有个
同理，当，满足条件的椭圆也有个，
综上，焦距不小于的不同椭圆方程有个.
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6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ）
A．6种 B．10种 C．4种 D．60种
2．有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A．13 B．40 C．72 D．60
3．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48 B．18 C．24 D．36
4．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
5．据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵 横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8.
现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．24个 B．30个 C．36个 D．42个
7．用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
8．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
二、多选题
9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
10．现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
11．已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A．表示不同的正数的个数是6
B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6
D．（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6
三、填空题
12．有3位高三学生参加4所重点院校的自主招生考试，每人参加且只能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为 .
13．数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为 .
14．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有 种不同选法
四、解答题
15．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．
(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？
16．有0，1，2，3，4五个数字（每小问均须用数字作答）.
(1)可以排成多少个三位数？
(2)求满足下列条件的五位数个数（无重复数字）.
（i）左起第二、四位数是偶数的奇数.
（ii）比大的偶数.
17．如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
18．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.
(1)求是这个数列的第几项；
(2)求这个数列的所有项和.
19．用这七个数字，完成下面三个小题．
(1)用以上七个数字能组成多少个三位数偶数（允许有重复数字）？
(2)用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？
(3)已知椭圆方程，其中，则满足焦距不小于的不同椭圆方程有多少个？
参考答案
1．B
根据分类加法计数原理求解即可.
根据分类加法计数原理，6+4=10.
故选：B.
2．B
利用分步乘法计数原理计算即可.
由分步乘法计数原理得不同的配法种数为.
故选：B.
3．D
根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算作答.
正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，
对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；
对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，
不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，
所以正方体中“正交线面对”共有（个）.
故选：D
4．A
利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．
先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，
① 当,颜色相同时涂色方法数是：，
② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，
满足题意的涂色方法总数是：．
故选：A．
5．D
列出能构成等比数列的数组，然后可得答案.
正整数1~9中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9.
其中只有6，8，9的纵式计数形式中各有1横，所以共有4横
故选：D
6．B
根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答.
计算偶数个数有两类办法：
个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有种结果，
个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，
再从余下3个数字中选一个作十位，共有种结果，
由分类加法计数原理得，偶数共有种结果.
故选：B
7．C
先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.
将区域标号，如下图所示：
因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；
所以共有种不同的涂色方法.
故选：C.
8．B
利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
9．ABD
利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.
解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
10．BCD
利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.
所有可能的方法有种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
故答案为：BCD
11．BC
对于四个选项中的计数问题，分别用分类、分步计数法表示，并排除重复情况即得解
对于选项A，若a，b均为正，共有2×2=4个，若a，b均为负，共有1×2=2个，但，所以共有5个，所以选项A错误；
对于选项B，若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2+1×2=6个，所以选项B正确；
对于选项C，要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3=6个，所以选项C正确；
对于选项D，要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4=8个，所以选项D错误．
故选：BC
12．
利用分步乘法计数原理即可求解.
每位学生可以有种参加重点院校的自主招生考试，由分步乘法计数原理可得，不同的考试方法种数为种.
故答案为：.
13．12
讨论百位数为6、5、4、3、2、1分别列举出符合要求的“吉祥数”，即可得结果.
当百位为6，符合要求的“吉祥数”有600；
当百位为5，符合要求的“吉祥数”有510；
当百位为4，符合要求的“吉祥数”有420、402；
当百位为3，符合要求的“吉祥数”有330、312；
当百位为2，符合要求的“吉祥数”有240、204、222；
当百位为1，符合要求的“吉祥数”有150、114、132；
综上，共有12个“吉祥数”.
故答案为：12
14．12
正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况.
从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况，
所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次，
综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种.
故答案为：12
15．(1)14
(2)90
(3)63
（1）根据分类加法计数原理求解即可；
（2）根据分步乘法计数原理求解即可；
（3）分三种情况讨论求解即可；
（1）由于书架上有本书，
则从中任取一本，共有14种不同的取法.
（2）由题意分步完成，
第一步：取任取一本数学书，有3种取法；
第二步：取任取一本语文书，有5种取法；
第三步：取任取一本英语书，有6种取法；
由分步乘法计数原理得共有种不同的取法.
（3）取两本不同科目的数，可以分三种情况：
①一本数学书和一本语文书，有种情况；
②一本数学书和一本英语书，有种情况；
③一本语文书和一本英语书，有种情况；
根据分类加法计数原理，共有种情况.
16．(1)个
(2)（i）20个；（ii）41个
（1）先排百位，再排十位、个位，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）（i）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算；（ii）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（1）首先排百位数字有种选法，
再排十位数字有种选法，
最后排个位数字有种选法，
所以一共有三位数（个）.
（2）（i）首先从、两数中选一个数排在个位，有种；
①最高位排、中剩下的数，将三个偶数排到左起第二、三、四位，有种；
②最高位为从、两数中选一个，有种，再将剩下的两个偶数排到左起第二、四位，有种，最后将、中剩下的数排到第三位；
综上可得符合条件的数字一共有（个）；
（ii）比大的偶数可分为六类：
万位数字为的偶数，有个；
万位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有个；
万位数字为，千位数字为的偶数，有，共个；
综上可得比大的偶数一共有个.
17．(1)种
(2)种
(3)种
（1）由全排列公式求出答案；
（2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案；
（3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案.
（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案．
（2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案；
第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案．
所以共有种不同的种植方案．
（3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花．
第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花，
则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案．
第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案．
第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花，
则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花，
故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案．
第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案．
综上，共有种不同的种植方案．
18．(1)第项
(2)3999960
（1）求出所有的五位数个数为，分类求出大于的五位数个数，相减即可得出答案；
（2）先得出各在万位上时都有个五位数，可得所有的五位数万位数字之和为360.同理可求得其他各位，即可得出答案.
（1）间接法：
所有的五位数个数为.
大于的数可分为以下三类：
第一类：以5开头的个数；
第二类：以45开头的个数有；
第三类：以435开头的个数有.
故不大于的五位数的个数有，即是第项.
（2）各在万位上时都有个五位数，
所以万位字的和为.
同理可得，在千位、百位、十位、个位上也有个五位数，
所以，这个数列的所有项和为.
19．(1)
(2)
(3)
对于小问1，采用间接法计算，末尾为偶数字的三位数，减去首位为的三位偶数；对于小问2，采用直接计算，分末尾为或两种情况讨论计算相加；对于小问3，讨论当椭圆焦点在轴上时，由焦距不小于，得到，结合，找到满足条件的共有个，同理讨论当焦点在轴上的情况.
（1）七个数字中，偶数字为，奇数字为，
允许有重复数字的，首位数字是的三位偶数为
所以允许有重复数字的三位偶数为.
（2）无重复数字的能被5整除的四位数,末尾数字只能为或,
当末尾数字为时,有个，
当末尾数字为时,有个，
所以无重复数字的能被5整除的四位数为个.
（3）由椭圆方程，其中，知，
当时，由，得整理得，
所以或，
若时，则，此时满足条件的椭圆有个，
若时，则，此时满足条件的椭圆有个，
所以满足条件的椭圆有个
同理，当，满足条件的椭圆也有个，
综上，焦距不小于的不同椭圆方程有个.
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