6.2.1排列-6.2.2排列数 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.2.1排列-6.2.2排列数 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 335.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-06 10:10:25 | ||
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文档简介
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6.2.1排列-6.2.2排列数 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ）
A．24种 B．23种 C．12种 D．11种
2．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
3．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（ ）
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
5．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
7．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列，，，，，，中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）．
A．576种 B．720种 C．864种 D．1152种
8．将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
三、填空题
12．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法.
13．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 ．
14．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ．
四、解答题
15．从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．求证：（1）；
（2）.
18．解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
19．判断下列问题是不是排列问题，如果是，请列出其所有排列；如果不是，请说明理由．
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2)从集合中任取两个相异的元素作为，，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆方程？
参考答案
1．B
根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案.
“word”一共有个不同的字母，
这个字母全排列有种方法，
其中正确的有种，所以错误的有种.
故选：B
2．B
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
3．D
利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；
数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为.
故选：D
4．C
根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.
由题意所有排列的方法种数为，
故答案为：C
5．D
根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得，结合，即可求解.
由，可得，整理得，解得，
又因为，解得，
综上可得，又由 所以.
故选：D.
6．C
相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
7．C
根据给定条件，利用分步乘法计数原理结合插空法列式计算作答.
求相邻两数都互质的排列数需要3步：先排1，3，5，7有种排法，再排6，除去3的两侧位置共有3种插空方法，
最后插入2，4，除去6的两侧共有4个间隙，有种插空方法，
由分步乘法计数原理得，使相邻两数都互质的排列方式有种．
故选：C
8．A
先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案.
将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，由于首位不能为0，则有个，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有种，
“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有种，
“20”和“19”都出现2次的排法有种，
因此满足条件的位数的个数为：.
故选：A.
9．AD
根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.
对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选：AD
10．BC
根据排列数公式计算可得.
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：因为，
所以，故D错误.
故选：BC
11．ABD
由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论的位置即可判断D．
对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法，故A正确；
对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；
对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误；
对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法；
当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种，共有种，
故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确；
故选：ABD．
12．240
根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可.
先排甲和乙，有种排法，
再排其他5人，有种排法，
根据分步乘法计数原理，共有种排法.
故答案为：240
13．28
分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可．
显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．
最大数为5的情况：
①，此时共有种情况；
最大数为4的情况：
②，此时共有种情况；
③，此时共有种情况．
当最大数为3时，，故没有满足题意的情况．
综上，满足条件的有序数组的个数是．
故答案为：28．
14．16
根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．
根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；
（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，
安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，
所以不同的排课方法的种数是种，
故答案为：16．
15．共6种安排方案，树状图见解析
根据题意画出树状图即可求解
树状图如图所示
，
由树状图可知，共有6种不同的安排方案
16．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
（1）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（2）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（3）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（4）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
17．见详解.
（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；
（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.
（1）左边
右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，
左边
右边，
∴结论成立，即.
18．(1)n=5
(2)x=8
（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；
（2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果.
（1）因为=2，
由，解得，
由原式可得，解得或或．
又因为，所以．
（2）因为<6，
由，解得且，
由原不等式可得，
化简可得，解得，
又且，所以．
19．(1)是排列问题，12种
(2)不是排列问题，焦点在轴上的椭圆方程已经确定了a，b的大小关系．
（1）这是排列问题，机票的起点、终点不同是不同的机票，与顺序有关．
（2）这不是排列问题，
（1）解：这是排列问题．列出每一个起点和终点的情况，如图所示．
故应该有12种机票．
（2）解：这不是排列问题．焦点在轴上的椭圆，其方程中的，必有，即取出的两个数哪个是，哪个是是确定的．
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一、单选题
1．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有（ ）
A．24种 B．23种 C．12种 D．11种
2．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
3．从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为（ ）
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
5．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
7．在1，2，3，4，5，6，7的任一排列，，，，，，中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）．
A．576种 B．720种 C．864种 D．1152种
8．将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
三、填空题
12．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法.
13．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 ．
14．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ．
四、解答题
15．从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外小组的活动，共有多少种不同的安排方案？请画出相应的树状图，并解答．
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．求证：（1）；
（2）.
18．解下列方程或不等式．
(1)=2；
(2).
19．判断下列问题是不是排列问题，如果是，请列出其所有排列；如果不是，请说明理由．
(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？
(2)从集合中任取两个相异的元素作为，，可以得到多少个焦点在轴上的椭圆方程？
参考答案
1．B
根据对立事件以及排列组合的知识求得正确答案.
“word”一共有个不同的字母，
这个字母全排列有种方法，
其中正确的有种，所以错误的有种.
故选：B
2．B
根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
3．D
利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.
从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有种；
要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，
所以数字为1，2，3时，有种；数字为1，3，5时，有种；
数字为2，3，4时，有种；数字为3，4，5时，有种；共24种.
所以该三位数能被3整除的概率为.
故选：D
4．C
根据排列的含义，以及排列数的计算，即得答案.
由题意所有排列的方法种数为，
故答案为：C
5．D
根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得，结合，即可求解.
由，可得，整理得，解得，
又因为，解得，
综上可得，又由 所以.
故选：D.
6．C
相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
7．C
根据给定条件，利用分步乘法计数原理结合插空法列式计算作答.
求相邻两数都互质的排列数需要3步：先排1，3，5，7有种排法，再排6，除去3的两侧位置共有3种插空方法，
最后插入2，4，除去6的两侧共有4个间隙，有种插空方法，
由分步乘法计数原理得，使相邻两数都互质的排列方式有种．
故选：C
8．A
先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案.
将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，由于首位不能为0，则有个，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有种，
“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有种，
“20”和“19”都出现2次的排法有种，
因此满足条件的位数的个数为：.
故选：A.
9．AD
根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.
对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选：AD
10．BC
根据排列数公式计算可得.
对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：因为，
所以，故D错误.
故选：BC
11．ABD
由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论的位置即可判断D．
对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法，故A正确；
对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法，故共有种站法，故B正确；
对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况，捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误；
对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法；
当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种，共有种，
故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确；
故选：ABD．
12．240
根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可.
先排甲和乙，有种排法，
再排其他5人，有种排法，
根据分步乘法计数原理，共有种排法.
故答案为：240
13．28
分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可．
显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．
最大数为5的情况：
①，此时共有种情况；
最大数为4的情况：
②，此时共有种情况；
③，此时共有种情况．
当最大数为3时，，故没有满足题意的情况．
综上，满足条件的有序数组的个数是．
故答案为：28．
14．16
根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．
根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有种情况；
（2）将这个整体与英语全排列，有中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，
安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有种，
所以不同的排课方法的种数是种，
故答案为：16．
15．共6种安排方案，树状图见解析
根据题意画出树状图即可求解
树状图如图所示
，
由树状图可知，共有6种不同的安排方案
16．(1)；
(2)；
(3)；
(4).
（1）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（2）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（3）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（4）根据排列数的计算公式，即可直接求解；
（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
17．见详解.
（1）根据排列数的计算公式展开，通过计算即可证明式子成立；
（2）利用阶乘的计算公式进行展开，通分，通过计算即可证明式子成立.
（1）左边
右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，
左边
右边，
∴结论成立，即.
18．(1)n=5
(2)x=8
（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；
（2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果.
（1）因为=2，
由，解得，
由原式可得，解得或或．
又因为，所以．
（2）因为<6，
由，解得且，
由原不等式可得，
化简可得，解得，
又且，所以．
19．(1)是排列问题，12种
(2)不是排列问题，焦点在轴上的椭圆方程已经确定了a，b的大小关系．
（1）这是排列问题，机票的起点、终点不同是不同的机票，与顺序有关．
（2）这不是排列问题，
（1）解：这是排列问题．列出每一个起点和终点的情况，如图所示．
故应该有12种机票．
（2）解：这不是排列问题．焦点在轴上的椭圆，其方程中的，必有，即取出的两个数哪个是，哪个是是确定的．
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