6.2.3组合-6.2.4 组合数 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册1
文档属性
| 名称 | 6.2.3组合-6.2.4 组合数 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册1 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 272.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-06 10:10:25 | ||
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文档简介
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6.2.3组合-6.2.4 组合数 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册1
一、单选题
1．从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排有（ ）种
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
3．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．方程的非负整数解有（ ）
A．组 B．136组 C．190组 D．68组
6．用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
7．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
8．若，则的值为（ ）
A．83 B．119 C．164 D．219
二、多选题
9．下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
10．使不等式成立的n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
三、填空题
12．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
13．有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）．
14．已知，则的值为 （用数字作答）.
四、解答题
15．求证：.
16．求r的取值范围：．
17．(1)化简求值：；
(2)解方程：；
18．某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会．（用数字做答）
(1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
(2)若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数；
(3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数．
19．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
参考答案
1．B
判断从5名学生中选出3名学生值日，是一个组合问题，即可得答案.
由于从5名学生中选出3名学生值日，即选出3人值日即可，
是一个组合问题，故不同的安排有种，
故选：B
2．B
由组合公式可得或,解方程即可得答案.
解：因为，
所以或，
解得：或.
故选：B.
3．A
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解.
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，
所以可得到的四面体的个数为种，
故选：A
关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.
4．A
首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.
首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，
第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
所以共（种）选派方案，
故选：A.
5．C
根据题意，将问题转化，利用插空法分析即可得出答案.
根据题意，对于方程，
将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空，
从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板，
即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值，
则有.
方程的非负整数解有190组.
故选：C
6．C
分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可.
当首位为2时，这样的五位数有个；
当首位为1时，这样的五位数有个.
综上，这样的五位数共有个.
故选：C.
7．C
10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，即可得出答案.
解：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法．
故选：C．
8．D
根据组合数的性质求出m的值，再利用组合数的性质，即可求得答案.
由于，故，
则
，
故选：D
9．BCD
取出的元素不考虑顺序就是组合问题，由此即可判断各选项.
对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
则共有种排法，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.
故选：BCD.
10．ABC
根据给定条件结合组合的意义、组合数公式列式解不等式作答.
在中，，在中，，即有，
因，则有，即，解得，因此有，，
所以n的取值可以是3或4或5.
故选：ABC
11．BCD
求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D
选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
12．64
分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
13．
由题意可知，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，结合隔板法可得结果.
将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，
只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
14．462
已知等式利用组合数公式化简，解出的值，代入所求算式，利用组合数的性质化简求值.
由可得，
即，
化简得，整理得，
解得或，
因为，所以，
所以
.
故答案为：462.
15．证明见详解.
根据组合数公式进行整理化简即可.
证明：因为，
所以，
所以得证.
16．或
根据组合数的计算，化简不等式组即可得解.
由
，又因为，所以或.
17．(1)329；(2).
(1)根据组合数的性质，在算式前面加上一项即可逐步计算；
(2)由排列数和组合数的公式展开即可计算.
(1)
；
(2)由组合数和排列数可知，
原方程可化为，
则，即为，即，
解得或(舍).
方程的根为.
18．(1)；
(2)；
(3).
（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可；
（2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；
（3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可.
（1）方法一：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团员，有2名女团员，有1名女团员，
没有女团员，故共有种．
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种；
第二类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男团员，5名女团员中选5人，
其中至少选择1名女团员，有种．
故共有种．
19．(1)60
(2)91
(3)14
（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.
（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；
（2）若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；
（3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.
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6.2.3组合-6.2.4 组合数 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册1
一、单选题
1．从5名学生中选出3名学生值日，则不同的安排有（ ）种
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A．3 B．3或4 C．4 D．4或5
3．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
5．方程的非负整数解有（ ）
A．组 B．136组 C．190组 D．68组
6．用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
7．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
8．若，则的值为（ ）
A．83 B．119 C．164 D．219
二、多选题
9．下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
10．使不等式成立的n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．所有不同分派方案共种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
三、填空题
12．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
13．有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）．
14．已知，则的值为 （用数字作答）.
四、解答题
15．求证：.
16．求r的取值范围：．
17．(1)化简求值：；
(2)解方程：；
18．某班共有团员14人，其中男团员8人，女团员6人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选6人参加学校的团员座谈会．（用数字做答）
(1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
(2)若至多有3名女团员当选，求不同的选法总数；
(3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数．
19．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
参考答案
1．B
判断从5名学生中选出3名学生值日，是一个组合问题，即可得答案.
由于从5名学生中选出3名学生值日，即选出3人值日即可，
是一个组合问题，故不同的安排有种，
故选：B
2．B
由组合公式可得或,解方程即可得答案.
解：因为，
所以或，
解得：或.
故选：B.
3．A
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解.
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，
所以可得到的四面体的个数为种，
故选：A
关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.
4．A
首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.
首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，
第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，
所以共（种）选派方案，
故选：A.
5．C
根据题意，将问题转化，利用插空法分析即可得出答案.
根据题意，对于方程，
将“18”看成18个“1”， 18个“1”共有19个空，
从19个空中选两个空进行隔板，或从19个空中选1个空插2个隔板，
即可以将18个“1”分为三组，每组对应“1”的数目依次为的数值，
则有.
方程的非负整数解有190组.
故选：C
6．C
分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可.
当首位为2时，这样的五位数有个；
当首位为1时，这样的五位数有个.
综上，这样的五位数共有个.
故选：C.
7．C
10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，即可得出答案.
解：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法．
故选：C．
8．D
根据组合数的性质求出m的值，再利用组合数的性质，即可求得答案.
由于，故，
则
，
故选：D
9．BCD
取出的元素不考虑顺序就是组合问题，由此即可判断各选项.
对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
则共有种排法，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.
故选：BCD.
10．ABC
根据给定条件结合组合的意义、组合数公式列式解不等式作答.
在中，，在中，，即有，
因，则有，即，解得，因此有，，
所以n的取值可以是3或4或5.
故选：ABC
11．BCD
求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D
选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；
选项B：若每家企业至少分派1名医生，
先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，
则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种）.判断正确；
选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,
则不同分派方案共（种）.判断正确.
故选：BCD
12．64
分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
13．
由题意可知，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，结合隔板法可得结果.
将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，
只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
14．462
已知等式利用组合数公式化简，解出的值，代入所求算式，利用组合数的性质化简求值.
由可得，
即，
化简得，整理得，
解得或，
因为，所以，
所以
.
故答案为：462.
15．证明见详解.
根据组合数公式进行整理化简即可.
证明：因为，
所以，
所以得证.
16．或
根据组合数的计算，化简不等式组即可得解.
由
，又因为，所以或.
17．(1)329；(2).
(1)根据组合数的性质，在算式前面加上一项即可逐步计算；
(2)由排列数和组合数的公式展开即可计算.
(1)
；
(2)由组合数和排列数可知，
原方程可化为，
则，即为，即，
解得或(舍).
方程的根为.
18．(1)；
(2)；
(3).
（1）方法一、分类讨论组长的人数，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；方法二、利用排除法，先选人参加座谈会，再把不选组长的情况去掉即可；
（2）分类讨论女团员当选的人数情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可；
（3）分类讨论女组长当选情况，利用分类计数原理和分步计数原理计算即可.
（1）方法一：至少有一名组长含有两种情况：
有一名组长和两名组长，故共有种．
方法二：至少有一名组长可以采用排除法，有种．
（2）至多有3名女团员含有四种情况：有3名女团员，有2名女团员，有1名女团员，
没有女团员，故共有种．
（3）既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况：
第一类：女组长当选，有种；
第二类：女组长不当选，男组长当选，从剩余7名男团员，5名女团员中选5人，
其中至少选择1名女团员，有种．
故共有种．
19．(1)60
(2)91
(3)14
（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.
（1）从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法；
（2）若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法；
（3）若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.
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