6.3.1 二项式定理 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册

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6.3.1 二项式定理 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．8
2．若二项式的展开式中含有常数项，则可以取（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知(均为有理数),则的值为（ ）
A．90 B．91 C．98 D．99
4．的展开式中的常数项为（ ）
A． B．50 C． D．61
5．展开式中，的系数为（　　）
A． B．320 C． D．240
6．设，化简（ ）
A． B． C． D．
7．化简多项式的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A．224 B． C． D．448
9．（ ）
A． B． C． D．
10．在的展开式中，所有有理项的系数之和为（ ）
A．84 B．85 C．127 D．128
二、填空题
11．用二项式定理展开 ．
12．已知的展开式中的常数项为240，则 ．
13．在的展开式中，含的项的系数是 .
14．在的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中含x项的系数为 ．
15．已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是 ．
三、解答题
16．化简：.
17．在的展开式中，求：
(1)第4项的二项式系数；
(2)含的项的系数.
18．已知二项式的展开式中共有10项．
(1)求展开式的第5项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项．
19．已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3.
(1)求n的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A A B D D D D
1．B
利用二项式定理的知识即可求解.
因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.
故选:B.
2．A
由通项公式求出，得到，其中且，通过检验得到正确答案.
的通项公式，其中且，要想展开式中含有常数项，则，即，当时，满足要求，经检验，其他选项均不合题意.
故选：A
3．D
根据二项式的展开式通项公式代入运算即可.
因为的展开式的通项公式为，
所以．
故选：D
4．A
因为多项式表示5个因式的乘积，所以从5个因式中选2个，2个，选1个-1；或者选1个，选1个，选3个-1；或者选5个-1，由此即可求解．
，
展开式中的项都是右边5个括号各取一项相乘得到的，
当5个括号中选2个，2个， 1个-1，所得常数为；
当5个括号中选1个， 1个， 3个-1，所得常数为；
当5个括号中选5个-1，所得常数为，
∴展开式中的常数项为．
故选：A．
5．A
根据二项式的通项公式进行求解即可.
因为，
所以通项公式为：，
令，所以，
设二项式的通项公式为：，
令，所以，
因此项的系数为：，
故选：A.
6．B
根据二项式定理化简即可.
因为，
所以，
所以，
故，
故选：B.
7．D
通过观察题目中多项式的每一项，可以看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式.
依题意可知，多项式的每一项都可看作，
故为的展开式，化简.
故选：D.
8．D
根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数.
令，得，
则
可化为：，
二项展开式通项为：
所以
故选：D.
9．D
设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果.
设，
两边求导数，，
令，得，
取，得.
故选：D.
10．D
由题意得，结合展开式的通项公式即可求解.
由题意知，
展开式的通项公式为，
当时，为有理项，
所以所有有理项的系数之和为.
故选：D.
11．
利用二项式定理展开即可.
．
故答案为：
12．3
利用二项式展开式的通项公式及给定的常数项求出值.
的展开式的通项，
令得，令，无解，
所以的展开式中的常数项为，所以.
故答案为：3
13．6
分别求出和展开式的通项公式，根据的组合形式分别求解即可.
的展开式的通项公式为，
的展开式的通项公式为，
所以展开式中，含的项为：
，
所以含的项的系数为6．
故答案为：6.
14．
先写出的展开式的通项，然后利用前三项的系数成等差数列来列方程求得，再令通项中的的次数为1可求得，进而可求出展开式中含x项的系数.
的展开式通项为，
根据前三项的系数成等差数列得，
解得或（舍去）
令，得，
展开式中含x项的系数.
故答案为：.
15．49
根据二项式展开式的通项特征可得，即可根据为奇数求解.
由题设，左边的通项公式为
，
；
所以，由题设得，
因为，要使得成立，则为奇数，
即为奇数，且恒成立，
则等价为，又是正奇数，故的最大值为49，
故答案为：49
16．
逆用二项式定理进行合并即可.
原式
.
17．(1)35
(2)280
（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解；
（2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数.
（1）由二项式定理可知，在展开式中，
第项为.
所以第4项的二项式系数为.
（2）由二项式定理可知，在展开式中，
第项为.
当时，展开式中含的项的系数为.
易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念：
①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等；
②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号.
18．(1)126
(2)
（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可；
（2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可.
（1）解：因为二项式的展开式中共有10项，所以，
所以第5项的二项式系数为；
（2）由（1）知，记含的项为第项，
所以，
取，解得，所以，
故展开式中含的项为.
19．(1)
(2)，，，.
（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解即可；
（2）根据二项式的通项公式进行求解即可.
（1）因为的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3，
所以，即，
解得，或舍去，即；
（2）因为的展开式的第项为：
，
所以当时，r=1，3，5，7，
所以的展开式中，有理项分别为：
，，
，.
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