6.3.2 二项式系数的性质 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册

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6.3.2 二项式系数的性质 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．在的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．5或7
2．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A． B． C． D．
3．的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0 B． C． D．32
4．已知，则（ ）
A．31 B．32 C．15 D．16
5．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
6．某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知为正整数，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．设，则（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
二、多选题
9．已知，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列关系式成立的是（ ）
A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n
B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1
C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1
D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
三、填空题
11．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为
12．的展开式中系数最小项为第 项．
13．设，则除以9所得的余数为 ．
14．设,且,若能被整除,则 .
四、解答题
15．已知的展开式的二项式系数和为64.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
16．在的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项.
(3)求系数最大的项.
17．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
18．已知.
（1）若，求的系数.
（2）当，时，求除以7所得的余数.
19．（1）证明：能被整除；
（2）求的近似值（精确到0.001）.
参考答案
1．B
由二项式系数的单调性即可得解.
在的二项展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取最大值；
当n为奇数时，中间的两项的二项式系数值相等，且同时取得最大值．
的展开式有11项，所以二项式系数最大的项的项数是6.
故选：B．
2．A
分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值.
因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选：A.
3．D
根据的二项展开式系数之和为求解即可
的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
故选：D
4．A
根据二项式定理的逆用即可得到，进而可求n=5，根据二项式系数即可求解.
逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．
故选:A
5．B
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
6．C
根据二项式定理即可估算近似值.
由题意可知
故选：C
7．C
由，根据二项式定理，将式子展开，估算，进而可得，再由题意，即可得出结果.
因为
，
而，
所以，
因此，
又为正整数，，所以；
故选：C.
本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型.
8．A
首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得；
解：的展开式的通项为，，
所以.
故选：A.
9．ABD
变换得到，令，可得A正确，，B正确，令，计算C错误，两边同时求导，令，得到D正确，得到答案.
，
展开式的通项为，
对选项A：令，可得，正确；
对选项B：，所以，正确；
对选项C：令，可得，错误；
对选项D：，两边同时求导，得，令，，正确．
故选：ABD
10．ABD
A.利用的展开式直接可得；
B. 设，通过当时, 当时的式子求出奇数次的系数和以及偶数次的系数和，进而可得结果；
C.利用，以及对两边求导进行证明；
D. 令，比较等式两边的系数可得结果.
＋2＋22＋23＋…＋2n，A正确；
设，
当时，①，
当时，②
由①+②得
由①-②得
2＋＋2＋＋…＋＋2，B正确；
，
·12＋·22＋·32＋…＋n2
，
令，
两边同乘得，
两边同时求导得，
令得
则·12＋·22＋·32＋…＋n2＝，C错误；
令，
则
，
比较等式两边的系数可知，
又，
D正确;
故选：ABD.
11．
先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.
由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
12．6
由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项
的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异，
又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.
故答案为：.
13．8
根据已知条件将a写为，即，展开后观察式子即可得到结果.
因为，
所以，，
所以除以9所得的余数为8．
故答案为：8
14．1
由,利用二项展开式可知只需能被整除整除即可,由的范围即可得到结果.
,
要使能被整除,
则能被整除,
又,,
,解得.
故答案为:.
15．(1)6
(2)
（1）利用二项式系数的性质求解即可；
（2）由（1）求出，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为，即可求解.
（1）由题意的展开式的二项式系数和为64，
即，解得；
（2）因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为，
即.
16．(1)第6项和第7项；
(2)；
(3).
（1）求出二项式展开式的通项公式，结合已知列出不等式并求解即得.
（2）利用二项式系数的性质求解即得.
（3）利用（1）的结论，按正负比较即得.
（1）的展开式的通项为，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，.
（3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，
所以系数最大的项为第7项.
17．(1)－2
(2)1093
(3)2187
运用赋值法结合二项式定理求二项展开式中部分项的系数之和．
（1）当时，；
当时，；
故；
（2）当时，；
由（1）知，
所以；
（3）由展开式可知均为负值，均为正值，
结合（1）（2）可知，
故
.
18．（1）70（2）6
（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出的值，结合二项式的通项公式、组合数的性质进行求解即可；
（2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.
（1）令，，
又，，所以，
故，∴，
因为的通项公式为：
所以的系数是
（2）当，时，
，
而
化简得：，因此除以7所得的余数6.
本题考查了二项式定理的应用，考查了等比数列前项和公式，考查了数学运算能力.
19．（1）证明见解析；（2）
（1）利用二项式展开式证明即可；
（2）构造二项式展开式进行求解即可.
（1）证明：因为
所以能被整除；
（2）
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