7.1.1 条件概率 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.1.1 条件概率 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 436.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-06 10:10:50 | ||
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文档简介
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7.1.1 条件概率 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
2．俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
6．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知则（ ）
A． B． C． D．
9．某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 ．
12．记为事件的对立事件，且，则 .
13．已知，，则 .
14．已知随机事件A，B，，，，则 .
三、解答题
15．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
16．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)求女生乙被选中的概率；
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
17．一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.
18．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
19．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C C D C C D
1．B
由古典概型、条件概率计算公式即可得解.
甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种），
事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种，
所以.
故选：B.
2．B
依题意代入条件概率公式计算即可得出结果.
根据题意可得
利用条件概率公式可得.
故选：B
3．D
解法一：设出事件，求出事件包含的基本事件数，根据条件概率公式进行求解；
解法二：根据题意得到在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从而求出相应的概率.
解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B，
则，，
所以.
解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，
从中任取一球，取到黑球的概率为．
故选：D
4．C
由条件概率的计算公式求解即可.
由题意，知.
故选：C.
5．C
根据条件概率公式求解即可．
设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，
则由题意得，，
所以她两次均击中9环的概率为．
故选：C．
6．C
利用全概率公式进行求解.
设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，所以，
所以两次都取到红球的概率为.
故选：C.
7．D
由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案.
由，则，故，
而，则，又，
所以.
故选：D
8．C
根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得.
由题知，，，
，
又，
则.
故选：C
关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得.
9．C
利用条件概率的定义解题即可.
设事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，
则，，故.
故选：C
10．D
根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出，结合条件概率的计算公式依次求解即可.
由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共36个.
则A事件有：，，，，，共6个，
B事件有：，，，，，共6个，
C事件有：，，，，共5个，
D事件有：，，，，，共6个，
所以，，，，
，
所以，而，故A错误；
，而，故B错误；
，而，故C错误；
，而，故D正确.
故选：D.
11．/
使用条件概率进行计算即可.
设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，
则积事件“两束花都是郁金香”，
事件中样本点的个数为，
积事件中样本点的个数为，
∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为
.
故答案为：.
12．/0.75
利用条件概率公式可得，进而即得.
因为，
∴，
∴.
故答案为：.
13．
求出的值，利用条件概率公式可求得的值.
因为，则，
所以，.
故答案为：.
14．
首先求出，则，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案.
依题意得，所以
故，所以.
故答案为：.
15．
设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，由求解.
解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则，
,
所以．
16．(1)
(2)
（1）直接用古典概型的概率求解即可.
（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.
（1）女生乙被选中事件的概率.
（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
则
17．(1)
(2)
（1）分先白后黑和先黑后白两种情况，由概率公式计算.
（2）利用条件概率公式求解.
（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.
因为采取放回抽样方式，
所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
所以.
即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.
（2）设事件为第一次摸到黑球，
事件第二次摸到黑球，
所以，，
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：
.
18．(1)甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为.
(2)甲员工更有可能午餐选A餐厅，理由见解析
（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断．
（1）设事件C＝“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，
事件D＝“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．
由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，；
（2）设N1＝“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，
N2＝“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，
M1＝“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，
M2＝“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．
因为，
所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．
19．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
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7.1.1 条件概率 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
2．俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
6．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知则（ ）
A． B． C． D．
9．某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为 ．
12．记为事件的对立事件，且，则 .
13．已知，，则 .
14．已知随机事件A，B，，，，则 .
三、解答题
15．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
16．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)求女生乙被选中的概率；
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
17．一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.
18．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
19．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C C D C C D
1．B
由古典概型、条件概率计算公式即可得解.
甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种），
事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种，
所以.
故选：B.
2．B
依题意代入条件概率公式计算即可得出结果.
根据题意可得
利用条件概率公式可得.
故选：B
3．D
解法一：设出事件，求出事件包含的基本事件数，根据条件概率公式进行求解；
解法二：根据题意得到在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，从而求出相应的概率.
解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B，
则，，
所以.
解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，
从中任取一球，取到黑球的概率为．
故选：D
4．C
由条件概率的计算公式求解即可.
由题意，知.
故选：C.
5．C
根据条件概率公式求解即可．
设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，
则由题意得，，
所以她两次均击中9环的概率为．
故选：C．
6．C
利用全概率公式进行求解.
设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，所以，
所以两次都取到红球的概率为.
故选：C.
7．D
由题设有，根据条件概率公式有，结合，即可得答案.
由，则，故，
而，则，又，
所以.
故选：D
8．C
根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得.
由题知，，，
，
又，
则.
故选：C
关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得.
9．C
利用条件概率的定义解题即可.
设事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，
则，，故.
故选：C
10．D
根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出，结合条件概率的计算公式依次求解即可.
由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共36个.
则A事件有：，，，，，共6个，
B事件有：，，，，，共6个，
C事件有：，，，，共5个，
D事件有：，，，，，共6个，
所以，，，，
，
所以，而，故A错误；
，而，故B错误；
，而，故C错误；
，而，故D正确.
故选：D.
11．/
使用条件概率进行计算即可.
设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，
则积事件“两束花都是郁金香”，
事件中样本点的个数为，
积事件中样本点的个数为，
∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为
.
故答案为：.
12．/0.75
利用条件概率公式可得，进而即得.
因为，
∴，
∴.
故答案为：.
13．
求出的值，利用条件概率公式可求得的值.
因为，则，
所以，.
故答案为：.
14．
首先求出，则，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案.
依题意得，所以
故，所以.
故答案为：.
15．
设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，由求解.
解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则，
,
所以．
16．(1)
(2)
（1）直接用古典概型的概率求解即可.
（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.
（1）女生乙被选中事件的概率.
（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
则
17．(1)
(2)
（1）分先白后黑和先黑后白两种情况，由概率公式计算.
（2）利用条件概率公式求解.
（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.
因为采取放回抽样方式，
所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
所以.
即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.
（2）设事件为第一次摸到黑球，
事件第二次摸到黑球，
所以，，
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：
.
18．(1)甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为.
(2)甲员工更有可能午餐选A餐厅，理由见解析
（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
（2）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断．
（1）设事件C＝“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，
事件D＝“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．
由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，；
（2）设N1＝“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，
N2＝“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，
M1＝“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，
M2＝“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．
因为，
所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．
19．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
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