7.2 离散型随机变量及其分布列 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册

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7.2 离散型随机变量及其分布列 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
2．下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是3点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
4．设，随机变量的分布列为：
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
5．设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若随机变量，则等于（　　）
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
8．设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（ ）
A．0 B． C． D．1
9．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．随机变量的分布列如下表所示：
1 2 3 4
0.1 0.3
则 .
12．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
13．已知服从两点分布，且，则 ．
14．离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于 .
15．若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则 .
三、解答题
16．在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
17．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量的分布列；
(2)求随机变量的分布列.
18．从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布．
19．已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D A D A C A B
1．B
根据随机变量的定义判断.
选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；
选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；
选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；
选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误．
故选：B.
2．C
根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
3．D
由随机变量的意义可解.
A表示的是随机试验中的其中一个结果，
B，C中表示的是随机试验中的部分结果，
而D是代表随机试验中的所有试验结果.
故选：D.
4．D
利用分布列的性质，列式计算即得.
由，得，
所以.
故选：D
5．A
由分布列中所有概率和为1求解．
由题意，．
故选：A．
6．D
利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求.
，且，
解得，
.
故选：D.
7．A
由概率和为1求出可得答案.
由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，
所以.
故选：A.
8．C
先列出变量X的分布列，从而得出答案.
解：根据题意得，“”表示试验失败，
“”表示试验成功，成功率为p，失败率为5p，
故X的分布列为：
X 0 1
P 5p p
所以，得，
所以失败率为，即．
故选：C.
9．A
根据两点分布得，与条件联立解得结果.
因为的分布列服从两点分布，所以，
又，所以，
所以，所以.
故选：A.
10．B
根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解.
，所以；
故
故选：B
11．0.7/
利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可．
由分布列的性质可得，，可得，
所以．
故答案为：0.7
12．
根据两点分布得基本性质即可求解
由题意得，当时，即，
所以
故答案为：
13．0.7
利用两点分布的性质解答.
解：因为服从两点分布，所以．
故答案为：0.7
14．/
由随机变量的所有取值的概率和为1利用对立事件来求的概率.
由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，
则.
故答案为: .
15．/0.5
求出变量等于和时的概率，结合互斥事件的概率公式可得结果.
由题意知，，
所以.
故答案为：.
16．(1)
(2)答案见解析
（1）根据相互独立事件的乘法公式结合对立事件的概率，列式计算，可得答案.
（2）确定随机变量X的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列.
（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为，
所以，则．
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
17．(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
（1）根据分布列的性质可得，结合X与之间的关系分析求解；
（2）根据题意结合X与之间的关系分析求解.
（1）由分布列的性质知：，解得，
列表为
X 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3
即随机变量的可能取值为0，1，2，3，
可得，
，
，
故的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
（2）列表得
X 0 1 2 3 4
0 1 4 9 16
即随机变量的可能取值为0，1，4，9，16.
从而的分布列为
0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
18．分布列见解析
根据古典概型的概率公式求出，，从而得到的分布列.
由题意知，，
故随机变量的概率分布列如下表所示：
0 1
19．(1)；
(2)答案见解析.
（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解；
（2）甲得分的可能取值为0，2；乙得分的可能取值为0，2，5，分别计算概率，列出分布列.
（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种：
①只选一个选项得2分的概率为：;
②选两个选项，得5分的概率为：;
所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0分的概率为：;
（2）结合题意：设学生甲得分为,则的可能取值为，
;
;
学生甲得分的分布列为:
0 2
设学生乙得分为,则的可能取值为，
;
;
;
学生乙得分的分布列为:
0 2 5
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