7.3.1 离散型随机变量的均值 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.3.1 离散型随机变量的均值 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 520.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-06 10:10:50 | ||
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文档简介
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7.3.1 离散型随机变量的均值 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
2．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
则E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
3．设为正实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．设随机变量的分布列为：
0 1 2
P
则的数学期望的最小值是( )
A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化
5．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A． B． C． D．
6．某篮球运动员一次投篮得分的分布列为：
若他在一次投篮中得分的期望，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量的分布列是，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
9．设的分布列如表所示，又设，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
10．将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
二、填空题
11．已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 .
12．已知，则 .
13．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
14．已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ．
15．已知随机变量的分布列如下表所示，若，则 ．
三、解答题
16．某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立．
(1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；
(2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望．
17．2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
(1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率
(2)设每5人组获得购物券的人数为X．
（ⅰ）求X的分布列与数学期望：
（ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
18．已知随机变量的分布列为：
5 6 7 8 9
0.1 0.2 0.3
(1)若，求、的值；
(2)记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值.
19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.
每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 5
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；
(3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A A D A C D B
1．D
根据两点分布的期望即可求解.
随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
．
故选:D．
2．A
由概率之和为1可求出的值，再根据分布列直接计算均值..
由题可得，解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
；
所以可得分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
，
故选：A.
3．C
先由概率和为1，求出a，再求.
因为随机变量的分布列为，
所以，解得：a=3.
所以.
故选：C
4．A
根据分布列和概率的性质求出p的范围，再求数学期望关于p的函数即可求其最小值.
由分布列的性质得，解得，
，
∴的最小值为.
故选：A.
5．A
根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可
由分布列的性质可得，，即①，
，
，即②，
联立①②解得，，
故．
故选：A．
6．D
根据离散型随机变量数学期望求解公式可得，利用基本不等式可求得结果.
由题意得：，
（当且仅当时取等号），.
即的最大值为.
故选：D.
7．A
结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可.
结合题意：，
因为，所以，解得：，
故选：A.
8．C
根据分布列的性质求出，即可求出，再根据期望的性质计算可得；
解：依题意可得，解得，
所以，
所以；
故选：C
9．D
根据分布列求出，再根据期望的性质计算可得.
解：依题意可得，
所以．
故选：D．
10．B
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得.
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
11．/
X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解.
由题意可得，X服从两点分布，
，
故.
故答案为：.
12．
直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案.
由，可得.
故答案为：
13．
先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
，
故答案为：
本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题.
14．
由期望性质可得答案.
因，则.
又，则.
故选：.
15．/
利用分布列的性质结合期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得的值.
由分布列的性质和期望公式可得，解得，
因此，.
故答案为：.
16．(1)甲同学“破百”的概率为，乙同学“破百”的概率为，丙同学“破百”的概率为
(2)分布列见解析；期望为
（1）利用古典概型的概率公式直接计算得解；
（2）写出的可能取值，计算对应的概率，根据期望公式求解即可.
（1）甲同学“破百”的概率为，
乙同学“破百”的概率为，
丙同学“破百”的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以，期望．
17．(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析， （ⅱ）3
（1）根据古典概型计算公式，结合频率分布直方图进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（ⅱ）根据频率分布直方图，通过计算平均数进行判断即可.
（1）由频率分布直方图可知，每名顾客获得抽奖资格的概率为．
参与抽奖的顾客获得10元购物券的概率为，
则每名顾客获得10元购物券的概率，
则这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率．
（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，
，，，
则的分布列为
0 1 2
则的数学期望．
（ⅱ）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值（元），
则1000名顾客的消费总金额为（元）．
设每1000名顾客最多送出部手机，
则，
又，所以，故每1000名顾客最多送出3部手机．
18．(1)，；
(2),.
（1）由随机变量分布列的性质和联立方程，解出即可；
（2）由事件：,可得，又事件：为偶数,得，再根据条件概率可求得的值.
（1）由随机变量分布列的性质,
有, 得，即,
又
，
解得,.
（2）由事件：,
得，
又事件：为偶数,得，
所以,解得.
由(1)知,所以.
所以,.
19．(1)
(2)分布答案见解析，
(3)
（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；
（3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解.
（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为.
（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为，
可得，
所以随机变量的分布为：
0 1 2
所以的数学期望.
（3）解：购进350千克时利润的期望值：，
购进400千克时利润的期望值：，
由，解得，
因为且，因此，
所以的最小值是.
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7.3.1 离散型随机变量的均值 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
2．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.64 q2 1－2q
则E(X)=（ ）
A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8
3．设为正实数，若随机变量的分布列为，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
4．设随机变量的分布列为：
0 1 2
P
则的数学期望的最小值是( )
A． B．0 C．2 D．随p的变化而变化
5．设随机变量X的分布列如下表所示，且，则等于（ ）
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A． B． C． D．
6．某篮球运动员一次投篮得分的分布列为：
若他在一次投篮中得分的期望，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量的分布列是，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
9．设的分布列如表所示，又设，则等于（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
10．将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
二、填空题
11．已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 .
12．已知，则 .
13．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ．
14．已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ．
15．已知随机变量的分布列如下表所示，若，则 ．
三、解答题
16．某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立．
(1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；
(2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望．
17．2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
(1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率
(2)设每5人组获得购物券的人数为X．
（ⅰ）求X的分布列与数学期望：
（ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
18．已知随机变量的分布列为：
5 6 7 8 9
0.1 0.2 0.3
(1)若，求、的值；
(2)记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值.
19．某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.
每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450
天数 10 10 5
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；
(3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C A A D A C D B
1．D
根据两点分布的期望即可求解.
随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
．
故选:D．
2．A
由概率之和为1可求出的值，再根据分布列直接计算均值..
由题可得，解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
；
所以可得分布列为
X 0 1 2
P 0.64 0.16 0.2
，
故选：A.
3．C
先由概率和为1，求出a，再求.
因为随机变量的分布列为，
所以，解得：a=3.
所以.
故选：C
4．A
根据分布列和概率的性质求出p的范围，再求数学期望关于p的函数即可求其最小值.
由分布列的性质得，解得，
，
∴的最小值为.
故选：A.
5．A
根数学期望的公式，结合概率的性质求解即可
由分布列的性质可得，，即①，
，
，即②，
联立①②解得，，
故．
故选：A．
6．D
根据离散型随机变量数学期望求解公式可得，利用基本不等式可求得结果.
由题意得：，
（当且仅当时取等号），.
即的最大值为.
故选：D.
7．A
结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可.
结合题意：，
因为，所以，解得：，
故选：A.
8．C
根据分布列的性质求出，即可求出，再根据期望的性质计算可得；
解：依题意可得，解得，
所以，
所以；
故选：C
9．D
根据分布列求出，再根据期望的性质计算可得.
解：依题意可得，
所以．
故选：D．
10．B
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可求得，利用数学期望的性质可求得.
由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量的期望、方差，求的期望与方差，利用期望和方差的性质（，）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
11．/
X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解.
由题意可得，X服从两点分布，
，
故.
故答案为：.
12．
直接根据均值公式结合已知条件，解方程即可得出所求的答案.
由，可得.
故答案为：
13．
先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
，
故答案为：
本题考查两点分布的期望和期望的性质，属于基础题.
14．
由期望性质可得答案.
因，则.
又，则.
故选：.
15．/
利用分布列的性质结合期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得的值.
由分布列的性质和期望公式可得，解得，
因此，.
故答案为：.
16．(1)甲同学“破百”的概率为，乙同学“破百”的概率为，丙同学“破百”的概率为
(2)分布列见解析；期望为
（1）利用古典概型的概率公式直接计算得解；
（2）写出的可能取值，计算对应的概率，根据期望公式求解即可.
（1）甲同学“破百”的概率为，
乙同学“破百”的概率为，
丙同学“破百”的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以，期望．
17．(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析， （ⅱ）3
（1）根据古典概型计算公式，结合频率分布直方图进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（ⅱ）根据频率分布直方图，通过计算平均数进行判断即可.
（1）由频率分布直方图可知，每名顾客获得抽奖资格的概率为．
参与抽奖的顾客获得10元购物券的概率为，
则每名顾客获得10元购物券的概率，
则这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率．
（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，
，，，
则的分布列为
0 1 2
则的数学期望．
（ⅱ）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值（元），
则1000名顾客的消费总金额为（元）．
设每1000名顾客最多送出部手机，
则，
又，所以，故每1000名顾客最多送出3部手机．
18．(1)，；
(2),.
（1）由随机变量分布列的性质和联立方程，解出即可；
（2）由事件：,可得，又事件：为偶数,得，再根据条件概率可求得的值.
（1）由随机变量分布列的性质,
有, 得，即,
又
，
解得,.
（2）由事件：,
得，
又事件：为偶数,得，
所以,解得.
由(1)知,所以.
所以,.
19．(1)
(2)分布答案见解析，
(3)
（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；
（3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解.
（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为.
（2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率，
随机变量的可能值为，
可得，
所以随机变量的分布为：
0 1 2
所以的数学期望.
（3）解：购进350千克时利润的期望值：，
购进400千克时利润的期望值：，
由，解得，
因为且，因此，
所以的最小值是.
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