7.3.2 离散型随机变量的方差 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册

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7.3.2 离散型随机变量的方差 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性必修第三册
一、单选题
1．已知X是一个随机变量，则“X是常数随机变量”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则等于（ ）
A．0 B．0.8 C．2 D．1
3．随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．若为离散型随机变量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若随机变量满足，则（ ）
A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2
6．设，若随机变量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
则下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．随机变量X的分布列如下所示．
X 1 2 3
P a 2b a
则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表：
甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列
收益 -1 0 2 收益 0 1 2
概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3
则下列说法正确的是（ ）
A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大
C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高
10．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个.现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若，则的值是（ ）
A．1或2 B．0或2 C．2或3 D．0或3
二、填空题
11．已知随机变量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，则 ．
12．已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则 ．
13．甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
14．设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
15．随机变量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ．
三、解答题
16．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差．
17．小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．
(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．
18．某小组共10人参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布、期望与方差．
19．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望与方差．
参考答案
1．A
随机变量为常数，则方差为0，但方差为0，变量不一定为常数，根据充分条件与必要条件的定义判断即可．
随机变量为常数，则方差为0，但方差为0，变量不一定为常数，
所以“X是常数随机变量”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
2．B
根据离散型随机变量的方差公式求解即可.
∵，
∴．
故选:B.
3．C
先求得参数k的值，进而求得的值，再利用随机变量的方差的计算公式即可求得的值
，，，解得，
，
.
故选：C.
4．B
由方差的性质结合充分必要条件的定义判断即可.
由，解得，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．C
根据方差的性质计算可得.
因为，所以.
故选：C
6．C
利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.
由题意，得，则，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大，
故选：C.
7．D
根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案.
∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.
故选：D
8．D
根据分布列得出，即可代入计算出，即可根据方差的运算率得出，令，求导得出，即可得出答案.
由题可知，即，
，
，
则，
令，
则，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则的最大值为.
故选：D.
9．C
先计算两个分布列的均值与方差，均值越大，收益越大，方差越大，风险越高，即可求解.
解：甲收益的期望，
方差，
乙收益的期望，
方差，
所以，，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高．
故选：C.
10．B
求出的可能取值及概率，从而得到的期望和方差，根据，列出方程，求出，再分两种情况，求解出的值.
由题意可知，的所有可能取值为，
，
由，得，即.
又，所以当时，由，得，此时；
当时，由，得，此时.
故选：B
11．
根据离散型随机变量的分布列和两个信息，可求出，得值，再根据离散型随机变量方差的性质，即可求出答案．
，①，
又②，
联立①②得，
所以，
则．
故答案为：．
12．/
根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解.
因为，
由，
得.
故答案为：.
13．乙
分别计算，的期望和方差，即可作出判断.
由题意知：，
，
所以，
，
因为，所以乙更稳定．
故答案为:乙．
14．
利用均值的性质有求参数，再由方差性质求新数据方差即可.
由题设，则，
所以.
故答案为：
15．
利用等差中项的性质，分布列中概率和为1以及均值的计算公式构建方程求得，，，再由方差的计算公式求得答案.
因为，，成等差数列，则，又由分布列的性质，则，
所以得，
又因为随机变量的均值且,
故解得，，
所以.
故答案为：.
16．分布列见解析，均值为，标准差为
求出X的可能取值以及对应的概率，进而列出分布列，根据期望与标准差的概念即可求出结果.
由题意，得X的所有可能取值为0,1,2，
故X的概率分布为:
X 0 1 2
P
，
，所以.
17．(1)
(2)分布列见解析，数学期望，方差．
（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，利用独立事件的概率公式计算即可；
（2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，求出随机变量对应的概率，可得分布列与期望及方差.
（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，
则．
（2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以数学期望，
方差．
18．分布列见解析，期望为，方差为.
根据题意得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望和方差的公式，即可求解.
由题意，随机变量的可能取值为 ，
可得，，
，
所以随机变量X的分布为
0 1 2
所以期望为，
方差为．
19．(1)0.38
(2)
（1）根据独立事件概率乘法公式分别求出只有甲，只有乙，只有丙合格的概率，再利用互斥事件的概率加法公式求出恰有一件合格的概率；
（2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望、方差.
（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
则，，，
设表示第一次烧制后恰好有一件合格， ，
所以
；
（2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，，，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，，，则，，，，，，
，，
所以，
，
，
，
于是，，
.
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