26.1反比例函数同步练习(含解析)

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名称 26.1反比例函数同步练习(含解析)
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2025-05-06 14:43:32

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文档简介

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26.1反比例函数
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点,点为轴正半轴上一点,过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C,交正比例函数的图像于点D.若,则的面积为( )
A.15 B. C. D.14
2.已知反比例函数,下列说法中错误的是(  )
A.图象位于第一、三象限
B.当时,随的增大而减小
C.图象关于对称
D.点在该反比例函数图象上
3.已知,两点在双曲线上,且,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.下列与的函数中,哪个函数不是关于的反比例函数?( )
A. B. C. D.
5.反比例函数y=的图象上,当x<0时, y随x的增大而增大,则m的取值范围是(  )
A.m>﹣2 B.m<0 C.m<﹣2 D.m>0
6.反比例函数与一次函数y=k(x+1)(其中x为自变量,k为常数)在同一坐标系中的图象可能是(  )
A. B. C. D.
7.如图,直线与x轴交于点A,与函数的图象交于点B,轴于点C,平移直线,使其过点C,且与函数的图象交于D,若,则k的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.下列关于与 的表达式中,反映是的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
9.如图,线段AB是直线y=x+1的一部分,其中点A在y轴上,点B横坐标为2,曲线BC是双曲线()的一部分,由点C开始不断重复“A B C”的过程,形成一组波浪线,点P(2019,m)与Q(2025,n)均在该波浪线上,G为x轴上一动点,则△PQG周长的最小值为( )
A.16 B. C. D.
10.已知反比例函数,下列说法中正确的是( )
A.点在函数图象上
B.随的增大而减小
C.该函数的图象分布在第一、三象限
D.若点和在该函数图象上,则
11.关于反比例函数,下列说法正确的是( )
A.图象过(1,2)点 B.图象在第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而减小 D.当x<0时,y随x的增大而增大
12.正比例函数与反比例函数的图象交于点A,B,数学小组在探究时得到以下结论:
①点A、B关于原点对称;②若点,则的解集是或;③k的值可以为;④当时,k的值是1.以上结论正确的是( )
A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题
13.写出一个你喜欢的实数k的值 ,使得反比例函数的图象在每一个象限内,y随x的增大而增大.
14.如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2,m),AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是 .
15.反比例函数与二次函数的图像的交点个数为 .
16.如图是反比例函数的图象,点是反比例函数图象上任意一点,过点A作轴于点B,连接,则的面积是 .

17.如图,矩形的顶点,在轴上,且关于轴对称,反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象分别与,交于点,,若,,则等于 .
三、解答题
18.如图,矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上,点在反比例函数的图象上,且.将矩形以点为旋转中心,顺时针旋转后得到矩形,函数的图象刚好经过的中点,交于点.
(1)求该反比例函数关系式;
(2)求的面积.
19.如图,在平面直角坐标系x0y中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n).线段OA=5,E为x轴上一点,且sin∠AOE=.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOC的面积.
20.已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限,化简:.
21.已知y是x的反比例函数,并且当x=4时,y= -5.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)求y=2时x的值.
22.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点.点B为x轴正半轴上一点,过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C,交正比例函数的图像于点D.
(1)求a的值及正比例函数的表达式;
(2)若,求的面积.
23.在同一平面直角坐标系中,画出反比例函数与的图象.
24.已知反比例函数y=的图象经过点(-1,-2).
(1)求y与x的函数关系式;
(2)若点(2,n)在这个图象上,求n的值.
《26.1反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C C C B D B C
题号 11 12
答案 D B
1.B
【分析】由反比例函数解析式可求得点A的坐标,则可求出正比例函数解析式,然后可得点C的坐标,进而可得CD的长,进而问题可求解.
【详解】解:由题意可得:,
∴,
∴,解得:,
∴正比例函数解析式为,
∵,
∴,即,
∴,
∴,
∴,
∴;
故选B.
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合,熟练掌握反比例函数及一次函数的性质是解题的关键.
2.D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质,根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可,熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.
【详解】、由,则图象位于第一、三象限,故不符合题意;
、由,则图象位于第一、三象限,且在每个象限内随的增大而减小,即当时,随的增大而减小,故不符合题意;
、此函数图象关于对称,故不符合题意;
、当时,,则点不在该反比例函数图象上,故符合题意;
故选:.
3.B
【分析】把,代入双曲线可进行求解.
【详解】解:由题意得:
,,
∵,
∴,
解得:;
故选:B.
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.
4.C
【分析】根据反比例函数的定义判断即可.本题考查的是反比例函数的定义,反比例函数解析式的一般形式,也可转化为的形式,特别注意不要忽略这个条件.
【详解】解:A、是表示是的反比例函数,A正确,不符合题意;
B、表示是的反比例函数,B正确,不符合题意;
C、不能表示是的反比例函数,C错误,符合题意;
D、表示是的反比例函数,D正确,不符合题意,
故选:C.
5.C
【分析】根据当x<0时,y随x的增大而增大,即可得到关于的不等式,求解即可.
【详解】解:反比例函数y= 的图象上,当x<0时,y随x的增大而增大,
解得:
故选:C
点睛:考查反比例函数的图象与性质,反比例函数
当时,图象在第一、三象限.在每个象限,y随着x的增大而减小,
当时,图象在第二、四象限.在每个象限,y随着x的增大而增大.
6.C
【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.
【详解】解:一次函数 可化为,即一次函数在y轴上的截距为k,
A、由反比例函数的图象可知,k>0,由一次函数的图象可知k<0,由一次函数在y轴上的截距可知k<0,两结论矛盾,故本选项错误;
B、由反比例函数的图象可知,k-1>0,即k>1,由一次函数的图象可知0<k<1,两结论矛盾,故本选项错误;
C、由反比例函数的图象可知k-1<0,即k<1,由一次函数的图象可知k>0,当x=-1时,y=0,故0<k<1,两结论一致,故本选项正确确;
D、由反比例函数的图象可知,k<0,由一次函数的图象可知k<0,由一次函数在y轴上的截距可知k>0,两结论矛盾,故本选项错误.
故选C.
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象,熟知以上知识是解答此题的关键.
7.B
【分析】过点D作轴于点E,设,通过表示点D的坐标,由,即可求解.
【详解】解:过点D作轴于点E,
由直线可知,

∴,,
∴,
由题意可知,
∴,
即,
∴,,

∴点D的坐标为
∵点B、点D在反比例函数上,
∴,
解得:或(舍)

故选B.
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的解析式,考查一次函数图象上点的坐标特征,反比例函数图像上点坐标特征,由列出方程是解题的关键.
8.D
【分析】找到可整理为(其中是常数,且)的式子即可.
【详解】解:A.为正比例函数,不符合题意;
B.整理为,为正比例函数,不符合题意;
C.为一次函数,不符合题意;
D.可整理为,是反比例函数,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义特点,反比例函数解析式的一般形式为:(其中是常数,且),注意掌握不用类型函数的特点.
9.B
【分析】由点B在直线y=x+1上,点B横坐标为2,可求纵坐标,确定点B的坐标,进而求出反比例函数的关系式,再确定点C的坐标,由点C开始不断重复“A-B-C”的过程,可以推断点P(2019,m)与Q(2025,n)具体所在的位置,再依据对称,求线段的和最小的方法求出答案.
【详解】解:当x=2时,y=x+1=2+1=3,
∴B(2,3)
∵B(2,3)在双曲线上,
∴k=6
把x=6代入得:y=1,
∴C(6,1)
∵2019÷6=336……3,2025÷6=337……3,
∴点P落在第337个“A-B-C”的P处,
而点Q落在第338个“A-B-C”的Q处,示意如图:
把代入
P(2019,2),Q(2025,2),
周长的最小,PQ=6定值,
只要GP+GQ最小即可,
过作轴,使关于轴对称,
连接交轴于
由勾股定理得:
∴周长的最小值为PQ+GP+GQ=
故选B.
【点睛】考查反比例函数、一次函数的图象和性质,轴对称性质的应用,根据规律推断出点P、Q的位置,找出点G的位置,依据勾股定理求出线段的长,是解决问题的关键.
10.C
【分析】本题考查了反比例函数的性质,根据反比例函数的性质逐一进行判断即可得.
【详解】A、当时,,∴点不在函数图象上,故该选项不正确;
B、∵,在每个象限内,随的增大而减小,故该选项不正确;
C、∵,∴该函数的图象分布在第一、三象限,故该选项正确;
D、∵,∴随的增大而减小,∵,∴,故该选项不正确;
故选:C.
11.D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质逐一判断即可得答案,
【详解】∵反比例函数中,-2<0,
∴图象位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,
∴B、C选项错误,D选项正确,
∵当x=1时,y=-2,
∴图象不经过(1,2)点,故A错误,
故选:D.
12.B
【分析】①根据反比例函数的对称性,可得①正确;②观察图象得当时,正比例函数图象在反比例函数图象上方,此时或,可得②正确;③根据题意可得正比例函数的图象经过第一、三象限,可得③错误;设点A在点B的左侧,过点B作轴于点H,根据反比例函数的对称性,可得,设点B的横坐标为m,可得,再由勾股定理可得,再根据点B在的图象上,可得,从而得到,可得④错误.
【详解】解:如图,
①正比例函数与反比例函数的图象的交点A、B关于原点对称,故本选项正确;
②∵,点A与点B关于原点中心对称,
∴点,
当时,正比例函数图象在反比例函数图象上方,此时或,
∴若点,则的解集是或,故本选项正确;
③∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A,B,反比例函数图象在第一、三象限,
∴正比例函数的图象经过第一、三象限,
∴,故k不可能为,故本选项错误;
④如图,设点A在点B的左侧,过点B作轴于点H,
∵,
∴由对称性得,
设点B的横坐标为m,
∵点B在的图象上,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
∵点B在的图象上,
∴,
∴,
将代入中,得,
∴.解得,故本选项正确.
综上所述,正确的结论有①②④.
故选B.
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合题,熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质,利用数形结合思想解答是解题的关键.
13.答案不唯一,如1或0
【分析】根据在同一象限内y随x的增大而增大,得到反比例系数为负数即可解答.
【详解】∵在每一个象限内,y随x的增大而增大,∴k-2<0,即k<2.如取k=1或0或-1,等等.
【点睛】本题考查反比例函数的性质.熟练掌握k<0时,在同一象限内y随x的增大而增大,是解题的关键.
14.y=x-3
【详解】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标,继而求出y=kx的解析式,再根据直线y=kx平移后经过点B,可设平移后的解析式为y=kx+b,将B点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2时,y==3,∴A(2,3),B(2,0),
∵y=kx过点 A(2,3),
∴3=2k,∴k=,
∴y=x,
∵直线y=x平移后经过点B,
∴设平移后的解析式为y=x+b,
则有0=3+b,
解得:b=-3,
∴平移后的解析式为:y=x-3,
故答案为y=x-3.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用,涉及到待定系数法,一次函数图象的平移等,求出k的值是解题的关键.
15.3个
【分析】根据数形结合的思想进行判断即可;
【详解】,画出图像如图所示:
即可得到有三个交点.
故答案是3.
【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象问题,准确分析是解题的关键.
16./0.5
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义.根据值的几何意义,进行求解即可.
【详解】解:∵点是反比例函数图象上任意一点,轴于点B,
∴的面积为,
故答案为:.
17.8
【分析】设出点B坐标,根据函数关系式分别表示各点坐标,根据割补法表示△BEF的面积,构造方程即可.
【详解】解:设点B的坐标为(a,0),则A点坐标为(-a,0)
∵矩形ABCD和点E、F、C分别在反比例函数和的图象上
∴点
∴矩形ABCD面积为:
∵k1+2k2=0, ,
∴,
∴,


∵S△BEF=5
解得k1=8
故答案为:8
【点睛】本题是反比例函数综合题,解题关键是设出点坐标表示相关各点,应用面积法构造方程.
18.(1)
(2)
【分析】(1)根据题意得出点B的坐标为(2,),进一步求得N(2+,2),代入曲线方程中即可得出k的值,便可得出反比例函数的解析式;
(2)根据k的值可得出点M、点B的坐标,根据反比例函数系数k的几何意义得出S△OBM=S△AOB+S梯形ABMD-S△DOM=S梯形ABMD,故可得出△OBM的面积.
【详解】(1)矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上,点在反比例函数的图象上,且,
点的坐标为,

将矩形以点为旋转中心,顺时针旋转后得到矩形,
,,

函数的图象刚好经过的中点,
,,

解得,
反比例函数的解析式为;
(2),
,,
把代入得,,



【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式,矩形的性质,坐标与图形的变化-旋转,反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数系数k的几何意义,求得B、M的坐标是解题的关键.
19.(1)反比例函数的解析式为y=﹣;所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2;(2)6.
【分析】(1)过点A作AD⊥x轴于D点,根据正弦求出AD=4,根据勾股定理求出DO=3,再求出点A的坐标为(﹣3,4),再求反比例函数的解析式,从而求出B的坐标,再用待定系数法求一次函数的解析式;(2)令y=0,即-x+2=0,解得x=3,得C点坐标为(0,3),即OC=3,S△AOC= AD OC.
【详解】解:(1)过点A作AD⊥x轴于D点,如图
∵sin∠AOE=,OA=5,
∴sin∠AOE===,
∴AD=4,
∴DO==3,
而点A在第二象限,
∴点A的坐标为(﹣3,4),
将A(﹣3,4)代入y=,得m=﹣12,
∴反比例函数的解析式为y=﹣;
将B(6,n)代入y=﹣,得n=﹣2;
将A(﹣3,4)和B(6,﹣2)分别代入y=kx+b(k≠0),得

解得,
∴所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2;
(2)在y=﹣x+2中,令y=0,
即﹣x+2=0,
解得x=3,
∴C点坐标为(0,3),即OC=3,
∴S△AOC= AD OC= 4 3=6.
【点睛】反比例函数和一次函数的综合.
20.5
【分析】由反比例函数图象的性质可得k<0,化简分式时注意去绝对值.
【详解】由题意得k<0.
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题.
21.(1)
(2)x=-10
【分析】(1)根据题意,可设y与x的函数关系式为y=.当x=4时,y= -5.即可确定函数表达式.
(2)将y=2代入函数表达式,即可求出的值.
【详解】(1)设y是x的函数关系式为y=.
将x=4,y=代入y=,可得-5=.
解得,即y是x的函数关系式为.
(2)将y=2代入y=-,可得x=-10.
【点睛】本题考查求反比例函数解析式.熟记反比例函数一般式并能熟练应用是解题关键.
22.(1)a=2;y=2x;(2)
【分析】(1)已知反比例函数解析式,点A在反比例函数图象上,故a可求;求出点A的坐标后,点A同时在正比例函数图象上,将点A坐标代入正比例函数解析式中,故正比例函数的解析式可求.
(2)根据题意以及第一问的求解结果,我们可设B点坐标为(b,0),则D点坐标为(b,2b),根据BD=10,可求b值,然后确认三角形的底和高,最后根据三角形面积公式即可求解.
【详解】(1)已知反比例函数解析式为y=,点A(a,4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入,解得a=2,故A点坐标为(2,4),又∵A点也在正比例函数图象上,设正比例函数解析为y=kx,将点A(2,4)代入正比例函数解析式中,解得k=2,则正比例函数解析式为y=2x.
故a=2;y=2x.
(2)根据第一问的求解结果,以及BD垂直x轴,我们可以设B点坐标为(b,0),则C点坐标为(b,)、D点坐标为(b,2b),根据BD=10,则2b=10,解得b=5,故点B的坐标为(5,0),D点坐标为(5,10),C点坐标为(5,),则在△ACD中,=.
故△ACD的面积为.
【点睛】(1)本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式,掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键.
(2)本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴,利用待定系数法,设B、C、D三点坐标,求出B、C、D三点坐标,是解答本题的关键,同时掌握三角形面积公式,即可求解.
23.见解析.
【分析】用描点法画反比例函数的图象,步骤:列表---描点---连线.
【详解】解:列表如下:
x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2 -4 -8 8 4 2
2 4 8 -8 -4 -2
描点、连线,如图所示.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象,列表取值时,x≠0,因为x=0函数无意义,为了使描出的点具有代表性,可以以“0”为中心,向两边对称式取值,即正、负数各一半,且互为相反数,这样也便于求y值.
24.(1)y=.(2)n=1.
【分析】(1)直接把点(﹣1,﹣2)代入反比例函数y=即可得出结论.
(2)把(2,n)代入强大的解析式即可求得.
【详解】解:(1)∵反比例函数y=的图象经过(﹣1,﹣2),
∴﹣2=,解得k=2.
∴这个函数的解析式为y=.
(2)把(2,n)代入y=得n==1.
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