第十八章平行四边形同步练习（含解析）

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第十八章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③；④∠BFE＝3∠DEF．其中正确的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的四边形有（　　）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
3．如图，四边形是平行四边形，在平面直角坐标系中，点，，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个矩形，则这个四边形满足条件的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．三个角都是直角
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连结菱形各边中点，得到矩形，再顺次连结矩形各边中点，得到菱形，…，这样继续下去．则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　 　）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
7．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．如图，边长为4的正方形中，点E、F分别在边上，连接，且有．将沿翻折，若点D的对应点恰好落在上，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形内有一点，与分别平分和，点为矩形外一点，连接，，若，则添加下列条件不能判定四边形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
10．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线相等
11．如图，的边，周长为18，固定A，B两点，拖动边向右下方平行移动至，连接BD′，若，则对角线的长度为（　　）．
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
12．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
二、填空题
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交BC于E，若AB=10cm，AD=12cm，则EC= ．
14．如图，将一张长方形纸片按图中那样折叠，若，，则重叠部分（阴影）的面积是 ．
15．已知如图，在中，, 点分别是的中点，则四边形的周长是 ．
16．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，点D的坐标是（2，3），则点B的坐标是 ．
17．连接三角形 的线段叫做三角形的中位线．
三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 ．
三、解答题
18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．
19．如图，AD是∠CAB的角平分线，DEAB，DFAC，EF交AD于点O．请问：
(1)DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
(2)若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DEAB、DFAC中的任一条件交换，所得命题正确吗？
20．在正方形中，对角线、交于点，是上任意一点，，交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求 ABCD的面积．
22．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE平分，交AB于点E，，求的度数．
23．如图，在平行四边形中，，，，对角线，相交于点，分别求的面积和周长．

24． ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF．
《第十八章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C B D B D C D
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH，想办法证明EF=FG，BE⊥BG，求得四边形BCFH是菱形即可解决问题．
【详解】解：如图，
延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH，
∵CD＝2AD，F为DC的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴∠ABC＝2∠ABF，故①正确；
∵，
∴，
∵，，
∴(ASA)，
∴，
∵BE⊥AD，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵,,，
∴CF=BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴，
∵，FH∥AD，BE⊥AD，
∴,
∴，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题的压轴题．
2．C
【详解】在矩形ABCD中，
∵EF∥AB,AB∥DC，
∴EF∥DC,则EP∥DH；故∠PED=∠DHP；
同理∠DPH=∠PDE;又PD=DP;所以△EPD≌△HDP;则S△EPD=S△HDP；
同理,S△GBP=S△FPB；
则(1)= = =
(2)= = =
(3) =+=+=
(4)=+=+ =
(5)=+=+=
故选C.
3．C
【分析】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的性质等知识．由平行四边形的性质得，，由，，求得点的坐标为，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，点在轴上且，
，，
，
故选：C．
4．C
【分析】作如下图所示，根据矩形的性质和三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：作如下图，
由E、F、G、H分别是的中点，
根据三角形中位线定理得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，即对角线互相垂直，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形的中位线定理，解决本题的关键是构造三角形利用三角形中位线定理进行解答．
5．B
【分析】根据，，可知第n个菱形的面积，故可推出第2022个菱形面积．
【详解】解：根据题意得：
，
，
故规律为：，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查寻找，归纳，总结，应用规律的能力，以及菱形的面积，能够准确找到面积之间的规律是解决本题的关键．
6．D
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
7．B
【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OC，
∵∠AOD=60°，
∴△OAD是等边三角形．
∴OA=AD=2．
∴AC=2OA=2×2=4．
故选B．
8．D
【分析】过点E作于点，设，，根据勾股定理列方程求得，即可．
【详解】解：过点作于点，如下图：
设，，则，，
由题意可得：，，为等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，
，即，解得，
，即，解得，
，
故选：D.
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
9．C
【分析】根据正方形的判定方法，结合矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵与分别平分和，
∴，
∴，
∴；
A.∵，，，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形，故A不符合题意；
B.∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，故B不符合题意；
C.∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形一定不是正方形，故C符合题意；
D.∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
10．D
【分析】根据矩形的对角线相等且平分，进行作答即可．
【详解】解：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等；
故选D．
【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等，是解题的关键．
11．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识点，掌握平行四边形的性质成为解题的关键．
先根据平行四边形的性质求得，进而求得，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵的边，周长为18，
∴,
∵固定A，B两点，拖动边向右下方平行移动至，
∴，
∵，
∴．
故选B．
12．B
【详解】解：A、∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB=CD，故选项B符合题意；
C、∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
13．2cm
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=12cm，∴∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=10cm，∴EC=BC﹣BE=12﹣10=2（cm）．故答案为2cm．
点睛：此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意得到△ABE是等腰三角形是解此题的关键．
14．
【分析】首先根据勾股定理，可求得的长，再根据折叠的性质及平行线的性质，可证得，据此即可求得结果．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
在中，，，
将一张长方形纸片按图中那样折叠，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等角对等边，证得是解决本题的关键．
15．26
【分析】根据三角形中位线的性质可知CD、AD长，同时可证四边形ABCD是平行四边形，即可求出四边形ABCD的周长.
【详解】解：点分别是的中点，
四边形ABCD是平行四边形
四边形的周长.
故答案为：26.
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质，还涉及了平行四边形的判定及性质，灵活的利用三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键.
16．（-1，0）
【分析】已知D点坐标，根据正方形性质可求出CD的长以及C点坐标，则CB=CD，结合C点坐标即可求出B点坐标．
【详解】解：∵D的坐标是(2，3)，B、C在x轴上，
∴DC=3，OC=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=3，
∴OB=3-2=1，
∵B在x轴的负半轴上，
∴B (-1，0)．
故答案为: (-1，0) ．
【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练掌握正方形四条边都相等等相关性质．
17． 两边中点 平行于三角形的 一半
【分析】根据三角形中位线的定义和性质填空即可．
【详解】解：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
故答案为：两边中点；平行于三角形的；一半．
【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．
18．(1)详见解析；(2)详见解析.
【详解】(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠EAD＝∠BAC＝60°
∴∠EAD－∠BAD＝∠BAC－∠BAD
即：∠EAB＝∠DAC
∴△ABE≌△ACD（SAS）
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝DC，∠EBA＝∠DCA，
又∵BF=DC，∴BE=BF.
∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA＝60°，
∴△BEF为等边三角形.
∴∠EFB=60°，EF=BF
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°,
∴∠ABC=∠EFB,
∴EF∥BC,即EF∥DC
∵EF＝BF，BF＝DC，
∴EF＝DC
∴四边形EFCD是平行四边形.
19．(1)是，证明见解析
(2)正确
【分析】（1）DEAB，DFAC，得到平行四边形，因为和DEAB，推出，得出，即可得到答案；
（2）①如和是的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；②如和DFAC交换，根据平行线的性质得到，根据是的角平分线，是的角平分线，推出，由平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理即可求出，根据平行线的判定即可推出答案；③如和AEDF交换，正确理由与②类似．
【详解】（1）解：DO是∠EDF的角平分线，
证明：∵DEAB，DFAC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DEAB，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分线．
（2）解：正确．
①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；
②如和DEAB交换，
理由是：∵DFAC，
∴∠FDA＝∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，∠EDA＝∠FDA，
∴∠EAF＝∠EDF，
∵AEDF，
∴∠AEF＝∠DFE，
∵∠EDF＋∠EFD＋∠DEF＝180°，∠EAF＋∠AEF＋∠AFE＝180°，
∴∠DEF＝∠AFE，
∴DEAB，正确．
③如和AEDF交换，正确理由与②同理．
答：若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DEAB、DFAC中的任一条件交换，所得命题正确．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，平行线的性质和判定，三角形的角平分线，解题的关键是综合运用性质和判定进行证明是解此题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）先利用正方形的性质及角的和差关系证明，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论；
（2）利用证明，得到，即可证明，即可得结论．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）在和中，，
∴，
∴，
，
∴，
即．
21．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD =24
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；
（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题.
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵BE=DF，
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3，
∵AB=5，AO=3，
∴BO===4，
∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.
22．75°
【分析】根据矩形的性质及CE平分得到∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，得到BE=BC，利用由此得到∠BAC=30°，根据矩形的性质证得△OBC是等边三角形，得到BC=OB=BE，由∠EBO=∠BAC=30°求出答案.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，OA=OB=OC=OD，CD∥AB，
∵CE平分，
∴∠BCE=∠DCE=45°，
∵CD∥AB，
∴∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，
∴BC=BE，
∵,
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=BE，
∵∠EBO=∠BAC=30°，
∴∠BEO=,
故答案为：75°.
【点睛】此题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，角平分线的性质，题中证得BE=OB是解题的关键.
23．面积为15，周长为
【分析】利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，即可求出面积及周长．
【详解】解：∵，
∴，
∴在中，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴在中，，
∴的面积
的周长．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握平行四边形的性质及勾股定理的计算是解题的关键．
24．见解析
【分析】连接BD，交AC于点O，由平行四边形的性质得出AO=CO，OE=OF，即可得出结论．
【详解】证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形DEBF是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，
∴OA-OE=OC-OF，
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了平行四边的性质．熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．
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