16.1二次根式同步练习（含解析）
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16.1二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知|2020﹣a|+＝a，则4a﹣40402的值为（ ）
A．6063 B．8084 C．4042 D．2021
2．若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
7．当时，二次根式的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．化简的结果是（ ）
A．20 B．2 C．2 D．4
9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
10．有下列各式：①；②；③；④；⑤，其中一定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．＝成立的条件是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣5 C．﹣1＜m≤5 D．﹣1≤m≤5
12．如果，则（ ）
A．＜ B．≤ C．＞ D．≥
二、填空题
13．等式成立的条件是 .
14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ．
15．若式子无意义，则x的取值范围是 ．
16．一般地，形如（a≥0）的式子叫做 ，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、≥0，也就是说二次根式具有 ．
17．请写出a的一个值来说明“”这一结论是错误的．你举的例子是 （写出一个符合要求的a的值即可）
三、解答题
18．计算：．
19．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．
20．计算：（1）； （2）；
21．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
22．下列各式是否二次根式？说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（a＜0）．
23．当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
24．实数a，b在数轴上的位置如图所示.
化简：.
《16.1二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A C B B A C
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出a-2021≥0，从而得出2020-a<0，将式子化简整理后得到，根据积的乘方的逆用，将4a﹣化为的形式，求解即可．
【详解】解：∵a-2021≥0，
∴a≥2021，
∴2020-a<0，
∴化简|2020﹣a|+＝a得：（a-2020）+=a，
整理得：=2020，
两边同时平方：a-2021=，
∴，
====4×2021=8084．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和化简求值，根据二次根式有意义的条件将等式化简整理是解题的关键．
2．D
【详解】根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选D.
【方法点睛】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
3．A
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
4．C
【详解】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：C、∵==；∴它不是最简二次根式．
故选C．
5．A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，
∴，
∴．
故选：A
6．C
【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；
D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
7．B
【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
【详解】解：当时，．
故选：B．
8．B
【详解】解：.
故选B.
9．A
【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数．
【详解】依题意，得x-1≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．C
【分析】根据二次根式的概念：形如的式子逐一判断即得答案．
【详解】解：①不是二次根式；
②是二次根式；
③由于不确定其正负，所以不一定是二次根式；
④因为，所以一定是二次根式；
⑤因为，所以一定是二次根式．
所以一定是二次根式的是②④⑤，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，属于基础题目，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键．
11．C
【分析】根据二次根式的意义和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：根据题意，得：5﹣m≥0，m+1＞0，
∴﹣1＜m≤5，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的意义和分式有意义的条件，熟练掌握＂二次根式的意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零＂是解题的关键．
12．B
【详解】由，知≥,所以≤
13．a＞3
【分析】由二次根式有意义的条件,可知二次根式的被开方数定为非负实数,于是可以列出 ≥0,a-3≥0，a≥0根据分式的分母不为零时,分式有意义,还可列出关于a的不等式a-3≠0.接下来将所得三个不等式联立求解,即可得到a的取值范围
【详解】要想等式成立,需要每个二次根式有意义且分母不为0,则有
等式
解得a＞3
【点睛】此题考查二次根式和分式有意义的条件，解题关键在于使求出它们同时有意义的条件
14．7
【分析】根据数轴可以求得a的取值范围，从而可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．
【详解】解：由数轴可得，
4＜a＜8，
∴
=a-3+10-a
=7，
故答案为7．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
15．
【分析】由式子无意义，可得：＜ 再解不等式即可得到答案.
【详解】解： 式子无意义，
＜
＜
故答案为：＜
【点睛】本题考查的是二次根式无意义的条件，掌握被开方数为负数，二次根式无意义是解题的关键.
16．二次根式 ，双重非负性
【解析】略
17．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，得到当为负数时，不成立，作答即可．
【详解】解：当时，，符合题意；
故答案为：（答案不唯一）．
18．
【分析】根据二次根式与实数的性质化解即可求解．
【详解】
＝1﹣+1﹣2
＝．
【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知二次根式、负指数幂的运算法则．
19．－a
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【详解】根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，
则原式=|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|=﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c=﹣a．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．
21．
【详解】解析：结合实数a、b在数轴上的位置判断出，，，然后化简求解即可．
答案：解：结合实数a、b在数轴上的位置，可判断出，，，
则有
．
题型解法：根据点在数轴上的位置判断出二次根式被开方数的正负性，将二次根式去根号，再进行化简．
22．(1)是二次根式
(2)根号下小于零，不是二次根式
(3)是三次根式，不是二次根式
(4)是二次根式
【分析】此题主要考查了二次根式，正确把握定义是解题关键．
（1）直接利用二次根式的定义得出答案．
（2）直接利用二次根式的定义得出答案．
（3）直接利用二次根式的定义得出答案．
（4）直接利用二次根式的定义得出答案．
【详解】（1）是二次根式；
（2），被开方数小于零，不是二次根式；
（3），是三次根式，不是二次根式；
（4）是二次根式．
23．(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
（2）解： 当 时，
．
24．2
【详解】试题分析：观察数轴可知a＜0，b＞0，a+1＞0，b-1＜0，根据二次根式 的性质，化简计算即可．
试题解析：
由数轴可得，a＜0，b＞0，a+1＜0，b-1＞0，
∴原式=-a+b+a+1-b+1=2
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16.1二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知|2020﹣a|+＝a，则4a﹣40402的值为（ ）
A．6063 B．8084 C．4042 D．2021
2．若代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（ ）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
7．当时，二次根式的值是（ ）
A．4 B．2 C． D．
8．化简的结果是（ ）
A．20 B．2 C．2 D．4
9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
10．有下列各式：①；②；③；④；⑤，其中一定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．＝成立的条件是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤﹣5 C．﹣1＜m≤5 D．﹣1≤m≤5
12．如果，则（ ）
A．＜ B．≤ C．＞ D．≥
二、填空题
13．等式成立的条件是 .
14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ．
15．若式子无意义，则x的取值范围是 ．
16．一般地，形如（a≥0）的式子叫做 ，a叫做被开方数．强调条件：a≥0、≥0，也就是说二次根式具有 ．
17．请写出a的一个值来说明“”这一结论是错误的．你举的例子是 （写出一个符合要求的a的值即可）
三、解答题
18．计算：．
19．若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．
20．计算：（1）； （2）；
21．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．
22．下列各式是否二次根式？说明理由．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)（a＜0）．
23．当 时，求下列二次根式的值．
(1)．
(2)．
24．实数a，b在数轴上的位置如图所示.
化简：.
《16.1二次根式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C A C B B A C
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出a-2021≥0，从而得出2020-a<0，将式子化简整理后得到，根据积的乘方的逆用，将4a﹣化为的形式，求解即可．
【详解】解：∵a-2021≥0，
∴a≥2021，
∴2020-a<0，
∴化简|2020﹣a|+＝a得：（a-2020）+=a，
整理得：=2020，
两边同时平方：a-2021=，
∴，
====4×2021=8084．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和化简求值，根据二次根式有意义的条件将等式化简整理是解题的关键．
2．D
【详解】根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故选D.
【方法点睛】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
3．A
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故A正确，C错误；
，故B、D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
4．C
【详解】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解：C、∵==；∴它不是最简二次根式．
故选C．
5．A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，
∴，
∴．
故选：A
6．C
【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项错正确；
D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
7．B
【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
【详解】解：当时，．
故选：B．
8．B
【详解】解：.
故选B.
9．A
【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数．
【详解】依题意，得x-1≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．C
【分析】根据二次根式的概念：形如的式子逐一判断即得答案．
【详解】解：①不是二次根式；
②是二次根式；
③由于不确定其正负，所以不一定是二次根式；
④因为，所以一定是二次根式；
⑤因为，所以一定是二次根式．
所以一定是二次根式的是②④⑤，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，属于基础题目，熟知二次根式的被开方数非负是解题的关键．
11．C
【分析】根据二次根式的意义和分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：根据题意，得：5﹣m≥0，m+1＞0，
∴﹣1＜m≤5，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的意义和分式有意义的条件，熟练掌握＂二次根式的意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零＂是解题的关键．
12．B
【详解】由，知≥,所以≤
13．a＞3
【分析】由二次根式有意义的条件,可知二次根式的被开方数定为非负实数,于是可以列出 ≥0,a-3≥0，a≥0根据分式的分母不为零时,分式有意义,还可列出关于a的不等式a-3≠0.接下来将所得三个不等式联立求解,即可得到a的取值范围
【详解】要想等式成立,需要每个二次根式有意义且分母不为0,则有
等式
解得a＞3
【点睛】此题考查二次根式和分式有意义的条件，解题关键在于使求出它们同时有意义的条件
14．7
【分析】根据数轴可以求得a的取值范围，从而可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．
【详解】解：由数轴可得，
4＜a＜8，
∴
=a-3+10-a
=7，
故答案为7．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
15．
【分析】由式子无意义，可得：＜ 再解不等式即可得到答案.
【详解】解： 式子无意义，
＜
＜
故答案为：＜
【点睛】本题考查的是二次根式无意义的条件，掌握被开方数为负数，二次根式无意义是解题的关键.
16．二次根式 ，双重非负性
【解析】略
17．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，得到当为负数时，不成立，作答即可．
【详解】解：当时，，符合题意；
故答案为：（答案不唯一）．
18．
【分析】根据二次根式与实数的性质化解即可求解．
【详解】
＝1﹣+1﹣2
＝．
【点睛】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知二次根式、负指数幂的运算法则．
19．－a
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．
【详解】根据题意得：a＜b＜0＜c，且|c|＜|b|＜|a|，
∴a+b＜0，b+c＜0，a+c＜0，
则原式=|a|﹣|a+b|+|b+c|+|a﹣c|=﹣a+a+b﹣b﹣c﹣a+c=﹣a．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
20．（1）；（2）
【分析】（1）先根据二次根式的基本性质以及二次根式的除法法则、零指数幂法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据二次根式的基本性质化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．也考查了零指数幂法则．
21．
【详解】解析：结合实数a、b在数轴上的位置判断出，，，然后化简求解即可．
答案：解：结合实数a、b在数轴上的位置，可判断出，，，
则有
．
题型解法：根据点在数轴上的位置判断出二次根式被开方数的正负性，将二次根式去根号，再进行化简．
22．(1)是二次根式
(2)根号下小于零，不是二次根式
(3)是三次根式，不是二次根式
(4)是二次根式
【分析】此题主要考查了二次根式，正确把握定义是解题关键．
（1）直接利用二次根式的定义得出答案．
（2）直接利用二次根式的定义得出答案．
（3）直接利用二次根式的定义得出答案．
（4）直接利用二次根式的定义得出答案．
【详解】（1）是二次根式；
（2），被开方数小于零，不是二次根式；
（3），是三次根式，不是二次根式；
（4）是二次根式．
23．(1)0
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键．
（1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
（2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可．
【详解】（1）解：当 时，
；
（2）解： 当 时，
．
24．2
【详解】试题分析：观察数轴可知a＜0，b＞0，a+1＞0，b-1＜0，根据二次根式 的性质，化简计算即可．
试题解析：
由数轴可得，a＜0，b＞0，a+1＜0，b-1＞0，
∴原式=-a+b+a+1-b+1=2
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