16.3二次根式的加减同步练习（含解析）

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16.3二次根式的加减
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
2．下列根式中，不能与合并的是( )
A． B． C． D．
3．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在根式，，，，， 中，与 是同类二次根式的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则a与b的大小关系是（ ）
A．a>b B．a8．计算的结果是( )
A．
B．
C．6
D．
9．下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
11．下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．把化成最简二次根式的结果是( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算：＝ ；＝ ．
14．比较大小： ，3 2．
15．三角形周长为（7+2）cm，已知两边长分别为 cm和 cm，则第三边的长是 cm．
16．比较大小：3 5．（填“＞”、“＝”或“＜”）
17．已知，等腰三角形的两边长分别为和7，则它的周长等于 ．
三、解答题
18．已知a，b是正整数，且+＝，求a＋b的值．
19．（1）；
（2）计算：．
20．计算
．
21．化去根号中的分母：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
22．计算：
（1） （2）
23．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
==；（一）
=（二）
==（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
=（四）
(1)请用不同的方法化简．
①参照（三）式得=______= ______ = ______；
②参照（四）式得=______= ______ = ______；
(2)化简：．
24．已知，，求代数式的值．
《16.3二次根式的加减》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C C D B B C A
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】利用分母有理化进行计算即可.
【详解】由原式得：
所以，因为，,
所以.
故选C
【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化.
2．C
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断即可得答案.
【详解】A. =，能与合并，故不符合题意；
B. =，能与合并，故不符合题意；
C. =，不能与合并，故符合题意；
D. =3，能与合并，故不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了同类二次根式，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并.
3．A
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的概念列出方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故选：A．
4．C
【分析】先将各根式化为最简二次根式，然后再根据同类二次根式的概念进行判断即可.
【详解】∵=2，=2，=3， =4，
∴在根式，，，，， 中，与 是同类二次根式的有，， 共3个，
故选C.
【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键.
5．C
【分析】本题考查平方根，算术平方根，同类二次根式，绝对值，根据相关知识点，逐一进行判断即可．
【详解】解：的平方根是；故①错误；
表示6的算术平方根的相反数；故②正确；
是的平方根；故③正确；
与是同类二次根式；故④正确；
的绝对值是；故⑤正确；
故选C．
6．D
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式据此求解即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不符合题意；
D、与是同类二次根式，符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵
，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
8．B
【详解】．故选B．
9．C
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意；
B、计算错误，不符合题意；
C、符合合并同类二次根式的法则，正确，符合题意．
D、计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
10．A
【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的乘法法则进行化简是解此题的关键，注意.
11．D
【分析】分别根据二次根式的加减乘除运算法则计算出各选项结果，再进行判断即可．
【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意；
B. 4与不是同类二次根式，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．B
【分析】根据二次根式的性质，先把被开方数化简，再把开方数的分子分母乘以3，然后再开方即可．
【详解】
故选B
【点睛】本题考查了最简二次根式，利用二次根式的除法、二次根式的性质是解题关键．
13． /
【分析】分别分母有理化化简和二次根式化简即可；
【详解】，，
故答案为：，
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及二次根式的化简，正确的找出分母有理化因式是解题的关键．
14． ＜ ＞
【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．
（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．
【详解】（1）∵，
∴．
（2），，
∵18＞12，
∴．
故答案为：＜、＞．
【点睛】本题考查二次根式的大小比较．利用二次根式的性质比较大小是解答本题的关键．
15．4
【详解】试题解析：三角形周长为（7+2）cm，两边长分别为 cm和 cm，
∴第三边的长是：（7+2）––=7+2–3–2=4（cm）．
故答案为4．
16．＜．
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解：3=，5=，
∵45＜50，
∴
∴，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了算术平方根和二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
17．/
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为7时；当等腰三角形的腰长为7，底边长为时，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，再根据三角形周长计算即可
【详解】解：当等腰三角形的腰长为，底边长为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意；
当等腰三角形的腰长为7，底边长为时，，满足三角形三边关系，此时周长为；
综上所述，它的周长等于，
故答案为：
18．1110
【详解】试题分析：从题中所给的条件可知与只能是的倍数且倍数的和为3，从而可以讨论a和b的值，从而得出a+b的值．
试题解析：∵，
∴与只能是的倍数且倍数的和为3，
∵a，b都为正整数，
∴=，=2=或=2=，=，
∴a+b=222+888=888+222=1110．
19．（1）；（2）
【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可得；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
20．原式；原式．
【详解】试题分析：（1）先根据二次根式的性质进行开方，再合并即可；
（2）先化成最简二次根式，再合并即可．
试题解析：
原式；
原式．
21．(1)；(2)；(3)；(4).
【分析】把分母中的根号化去,叫做分母有理化.二次根式的除法常用分母有理化来运算.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则称这两个代数式是互为有理化因式.二次根式的性质有:①=|a|;②=a(a≥0);③ (a≥0,b≥0);④ (a≥0,b＞0)
【详解】解:(1)将变形,得开方运算,得
约分,得
分母有理化,得.
(2)对变形,得，
开方运算,得
(3)对变形,得
由于(a＞0,b＞0),则开方运算,得
分母有理化,得
(4)由于x＞0,则对开方,得
约分,得，
分母有理化,得.
【点睛】此题考查二次根式的应用，解题关键在于掌握运算法则.
22．（1）4；（2）
【分析】（1）根据二次根式的性质化简各二次根式，再计算加减可得；
（2）先化简各二次根式，再合并同类二次根式可得．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．
23．(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）仿照所给例子进行分母有理化即可；
（2）将式子中每一项都进行分母有理化，然后再合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：①
②
（2）解：
【点睛】本题考查了分母有理化在二次根式混合运算中的应用，读懂阅读材料中所展示的方法是解题的关键．
24．－4
【分析】先将代数式因式分解，再代入求值．
【详解】
故代数式的值为．
【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算．
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