17.1勾股定理同步练习（含解析）
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17.1勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数.
其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，.
B．在中，.
C．在中，，.
D．、、是的三边，若，则是直角三角形.
3．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
5．已知直角三角形的两条直角边的长分别是5，12，则第三边长为（ ）
A．13 B． C． D．13或
6．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是( )cm2.
A．64 B．81 C．128 D．192
7．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）．
A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④
8．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）．
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
9．在直角坐标中，点到原点的距离为（ ）
A．10 B． C． D．12
10．在直角坐标系中，已知点M的坐标为，则点M到原点的距离是（ ）
A．7 B．24 C．25 D．31
11．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
12．如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
（4）如果a=15，b=20，则c=
14．如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是 ．
15．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
16．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ．
17．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m．
三、解答题
18．【证明体验】
(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．
【迁移应用】
(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．
19．【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由．
【问题解决】
（2）若设，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标．
20．在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，连接AM，作AM的垂直平分线l1．过点M作x轴的垂线l2，l1与l2交于点P．设P点的坐标为（x，y）．
(Ⅰ)当M的坐标取（3，0）时，点P的坐标为 ；
（Ⅱ）求x，y满足的关系式；
（Ⅲ）是否存在点M，使得△MPA恰为等边三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．
21．如图，一架2.6m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗 (约等于1.77).
22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.
23．如图，在等腰直角三角形中，，D为边上中点，过D点作，交于E，交于F，若，，
(1)求证；
(2)求长．
24．如图,在直角坐标系中,点A在x轴上,且A(4,0),点B在y轴上，且B(0,4).
(1)求线段AB的长；
(2)若点E在线段AB上,OE⊥OF,且OE=OF,求AE+AF的值；
(3)在（2）的条件下，过O作OM⊥EF,交AB于M,试确定线段BE、EM、AM之间的数量关系 并证明你的结论.
《17.1勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B A D B D A C
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】根据勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数的定义分别判断各说法即可.
【详解】①由于，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有，故③说法正确；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，所以，所以，，一定是勾股数故④说法正确.
故选C.
【点睛】此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
2．D
【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理逐项分析即可.
【详解】A.因为不一定是直角三角形，故不正确；
B.没说明哪个角是直角，故不正确；
C. 在中，，则，故不正确；
D.符合勾股定理的逆定理，故正确.
故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
3．A
【详解】解：在Rt△ABC中，
∴AB2=AC2+BC2，
又∵半圆的面积为：S=πR2，
∴S1=π(，
S2=π(+π(
=π()
=π(，
∴S1=S2，
故选A．
4．B
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是矩形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
5．A
【分析】利用勾股定理求斜边即可．
【详解】第三边长=
故选A．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．
6．D
【分析】根据勾股定理可知，Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，求出最大正方形的面积即可求解.
【详解】解：根据勾股定理知,
Sg= Se+Sf，Se=Sa+Sb， Sf= Sc+Sd，
∴Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，
∵最大的正方形的面积为Sg =（8×8）cm2=64cm2，
∴正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是64×3=192cm2，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和，这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
7．B
【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故④错误；
故正确的是①②③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意可知米，
设，则，
中，由勾股定理得，
即，
解得．
∴该河的宽度为24米．
故选：D．
9．A
【分析】点的横纵坐标的绝对值和这点到原点的距离组成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：点到原点的距离为： ，
故选A．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，用到的知识点为：点到原点的距离是此点的横纵坐标的绝对值为两直角边的直角三角形的斜边．
10．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵点M的坐标为，
∴点M到原点的距离；
故选C．
11．D
【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度．
【详解】解：∵米，米，
∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴米，
∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键．
12．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理等知识点，掌握运用等面积法求线段长度成为解题的关键，
先根据三角形内角和定理得到,再运用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，即，解得：，
∵，
∴．
故选：B．
13． 5 10 13 25
【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到结果．
【详解】（1），∴；
（2），；
（3），；
（4），．
14．
【分析】将长方体从不同侧面展开，分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．
【详解】解：如图1，
AB= （cm），
如图2，
AB= （cm），
如图3，
AB= （cm），
故沿长方体的表面爬到对面顶点B处，只有图2最短， 其最短路线长为： cm．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，解决本题的关键要将长方体分情况正确展开并利用勾股定理计算．
15．
【分析】根据全等三角形的判定定理证明，进而利用勾股定理，在中，，求出即可
【详解】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在中，
，
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出，是解题关键．
16．140
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得．
【详解】解：如图甲，
由题意可知，为等腰直角三角形，
，
过点A作于点D，
，
设，
由勾股定理得：，
，
，
如图乙，
过点作于点，
图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，
，，
，
梯子长度不变，
，
在中，，
，
解得：，
，
若点A与地面的距离为时，如图丙，
过点A作于点F，
，，
在中，，
，
解得：，
，
此时点与点的距离是．
故答案为：140．
17．
【分析】由勾股定理即可完成．
【详解】在Rt△ABC 中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得：
(m)
即A、B两点间的距离为m．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理．
18．(1)见解析
(2)
(3)的长为
【分析】（1）根据证明三角形全等；
（2）如图2中，延长到，使得，连接．由（1）可知，推出，，利用勾股定理求出，即可解决问题；
（3）如图3中，延长到，使得，连接．证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
在和中，
，
；
（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．（1）是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【分析】（1）利用全等三角形的判定证明≌，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得到结论；
（2）利用图形的面积建立等式进行化简即可；
（3）分三种情况，作辅助线构造全等三角形求解即可．
【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
在和中，，
∴≌，
∴AE= DE，∠AEB=∠EDC，
∵在中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC= 90°，
∴∠AEB+∠DEC= 90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴是等腰直角三角形；
（2）由题可知，四边形ABCD为梯形，
∵≌，，，，
∴AB=CE=b，BE=CD=a，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①当∠CAB=90°，CA=AB时，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点A(2，0)，点B(4，1)，
∴BE=1，OA=2，OE=4，
∴AE= 2，
∵∠CAB=90°，BE⊥x轴，
∴∠CAF+∠BAE= 90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
又∵AC= AB，∠AFC=∠AEB=90°，
∴≌，
∴CF=AE= 2，AF=BE=1，
∴OF=OA－AF=1，
∴点C坐标为(1，2)；
②当∠ABC＝90°，AB＝BC时，如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BE交EB延长线于点F，
∵∠ABC=90°，BE⊥x轴，
∴∠ABE+∠CBF= 90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
又∵BC= AB，∠AEB=∠CFB=90°，
∴≌，
∴BE=CF=1，AE=BF= 2，
∴EF=3，
∴点C坐标为(3，3)；
③当∠ACB=90°，CA＝BC时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥CD于点F，BE⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，CD⊥x轴，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
又∵AC= BC，∠CDA=∠BFC=90°，
∴≌，
∴CF=AD， BF=CD=DE，
∵AD+DE=AE=2，
∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，
∴，
∴，，
∴点C坐标为，
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的验证，平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，熟练掌握各性质及判定定理，正确作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
20．（Ⅰ）（3，）；（Ⅱ）y=x2+1；（Ⅲ）△MPA为等边三角形时，点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
【详解】解：（Ⅰ）作AN⊥PM于N，则四边形AOMN是矩形，
∴AN=OM=3，MN=OA=2，
∵l1是AM的垂直平分线，
∴PA=PM，
在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即32+（y﹣2）2=y2，
解得，y=，
∴点P的坐标为（3，），
故答案为：（3，）；
（Ⅱ）当点M在x轴的正半轴上时，
在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即x2+（y﹣2）2=y2，
解得，y=x2+1，
同理，当点M在x轴的负半轴上时，x，y满足的关系式是y=x2+1，
∴x，y满足的关系式是y=x2+1；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，PA=PM，
要使△MPA为等边三角形，只需MA=MP即可，
∵点A的坐标为（0，2），点M的坐标为（x，0），
∴AM=，
则x2+1=，
解得，x=±2，
∴△MPA为等边三角形时，点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
21．梯子底端B向外约移了0.77米．
【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得出结论．
【详解】解：∵Rt△OAB中，AB=2.6m，AO=2.4m，
∴OB= =1m；
同理，Rt△OCD中，
∵CD=2.6m，OC=2.4-0.5=1.9m，
∴OD= ≈1.77m，
∴BD=OD-OB=1.77-1=0.77（m）．
答：梯子底端B向外约移了0.77米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22．，.
【分析】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．
【详解】∵n=3时,a=2×3=6,b=32 1=8,c=32+1=10，
n=4时,a=2×4=8,b=42 1=15,c=42+1=17，
n=5时,a=2×5=10,n=52 1=24,c=52+1=26，…
∴勾股数a=2n,b=n2 1,c=n2+1(n 3,n为正整数).
当a=20时,n=10,则b=102 1=99,c=102+1=101，
故答案为，.
【点睛】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律.
23．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据的等腰直角三角形的性质证明就可以得出；
（2）由，就可以求得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵D是中点，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
24．（1）AB=4；
（2）AE+AF=4；
（3）结论：FM2=AM2+AF2，理由见解析.
【分析】（1）根据AB=即可解决；
（2）先证明△BOE≌△AOF得AF=BE，所以AE+AF=AE+BE=AB即可解决；
（3）结论：FM2=AM2+AF2．只要证明ME=MF，AF=BE，在RT△AMF中利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）在Rt△ABO中，∵AO=OB=4，
∴AB===4；
（2）∵∠BOA=∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠AOF，
在△BOE和△AOF中，
，
∴△BOE≌△AOF，
∴AF=BE，
∴AE+AF=AE+EB=AB=4；
（3）结论：FM2=AM2+AF2，理由如下：
连接FM，
∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM垂直平分分EF，
∴ME=MF，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
由（1）可知△BOE≌△AOF，
∴BE=AF，∠OBE=∠OAF=45°，
∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°，
∴FM2=AM2+AF2，
∴EM2=BE2+AM2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．
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17.1勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数.
其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，.
B．在中，.
C．在中，，.
D．、、是的三边，若，则是直角三角形.
3．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（ ）
A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定
4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
5．已知直角三角形的两条直角边的长分别是5，12，则第三边长为（ ）
A．13 B． C． D．13或
6．如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为8cm,则正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是( )cm2.
A．64 B．81 C．128 D．192
7．下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是（ ）．
A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④
8．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）．
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
9．在直角坐标中，点到原点的距离为（ ）
A．10 B． C． D．12
10．在直角坐标系中，已知点M的坐标为，则点M到原点的距离是（ ）
A．7 B．24 C．25 D．31
11．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
12．如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，，
（1）如果a=3，b=4，则c= ；
（2）如果a=6，b=8，则c= ；
（3）如果a=5，b=12，则c= ；
（4）如果a=15，b=20，则c=
14．如图，长方体的长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面从A爬行到B的最短路程是 ．
15．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等）为 cm．
16．人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ．
17．如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为 m．
三、解答题
18．【证明体验】
(1)如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接．求证：．
【迁移应用】
(2)如图2，在中，，，为的中点，．求面积．
【拓展延伸】
(3)如图3，在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，求的长．
19．【初步探究】
（1）如图1，在四边形中，，E是边上一点，，连接．请判断的形状，并说明理由．
【问题解决】
（2）若设，试利用图1验证勾股定理．
【拓展应用】
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若为等腰直角三角形，求点C的坐标．
20．在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，连接AM，作AM的垂直平分线l1．过点M作x轴的垂线l2，l1与l2交于点P．设P点的坐标为（x，y）．
(Ⅰ)当M的坐标取（3，0）时，点P的坐标为 ；
（Ⅱ）求x，y满足的关系式；
（Ⅲ）是否存在点M，使得△MPA恰为等边三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．
21．如图，一架2.6m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗 (约等于1.77).
22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.
23．如图，在等腰直角三角形中，，D为边上中点，过D点作，交于E，交于F，若，，
(1)求证；
(2)求长．
24．如图,在直角坐标系中,点A在x轴上,且A(4,0),点B在y轴上，且B(0,4).
(1)求线段AB的长；
(2)若点E在线段AB上,OE⊥OF,且OE=OF,求AE+AF的值；
(3)在（2）的条件下，过O作OM⊥EF,交AB于M,试确定线段BE、EM、AM之间的数量关系 并证明你的结论.
《17.1勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A B A D B D A C
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】根据勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数的定义分别判断各说法即可.
【详解】①由于，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若，，是勾股数，且最大，则一定有，故③说法正确；
④若三个整数，，是直角三角形的三边长，则，所以，所以，，一定是勾股数故④说法正确.
故选C.
【点睛】此题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
2．D
【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理逐项分析即可.
【详解】A.因为不一定是直角三角形，故不正确；
B.没说明哪个角是直角，故不正确；
C. 在中，，则，故不正确；
D.符合勾股定理的逆定理，故正确.
故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，熟练掌握定理是解答本题的关键. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
3．A
【详解】解：在Rt△ABC中，
∴AB2=AC2+BC2，
又∵半圆的面积为：S=πR2，
∴S1=π(，
S2=π(+π(
=π()
=π(，
∴S1=S2，
故选A．
4．B
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是矩形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
5．A
【分析】利用勾股定理求斜边即可．
【详解】第三边长=
故选A．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．
6．D
【分析】根据勾股定理可知，Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，求出最大正方形的面积即可求解.
【详解】解：根据勾股定理知,
Sg= Se+Sf，Se=Sa+Sb， Sf= Sc+Sd，
∴Sg = Se+Sf=Sa+Sb+Sc+Sd，
∵最大的正方形的面积为Sg =（8×8）cm2=64cm2，
∴正方形a、b、c、d、e、f、g面积的和是64×3=192cm2，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和，这里边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
7．B
【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故④错误；
故正确的是①②③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理、直角三角形的面积公式和完全平方公式是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：根据题意可知米，
设，则，
中，由勾股定理得，
即，
解得．
∴该河的宽度为24米．
故选：D．
9．A
【分析】点的横纵坐标的绝对值和这点到原点的距离组成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：点到原点的距离为： ，
故选A．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，用到的知识点为：点到原点的距离是此点的横纵坐标的绝对值为两直角边的直角三角形的斜边．
10．C
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可．
【详解】解：∵点M的坐标为，
∴点M到原点的距离；
故选C．
11．D
【分析】首先在直角三角形中计算出长，再由题意可得长，再次在直角三角形中计算出长，从而可得的长度．
【详解】解：∵米，米，
∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴米，
∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．抓住“梯子长度不变”是解题关键．
12．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理等知识点，掌握运用等面积法求线段长度成为解题的关键，
先根据三角形内角和定理得到,再运用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，即，解得：，
∵，
∴．
故选：B．
13． 5 10 13 25
【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到结果．
【详解】（1），∴；
（2），；
（3），；
（4），．
14．
【分析】将长方体从不同侧面展开，分别利用从不同的表面得出其路径长，进而得出答案．
【详解】解：如图1，
AB= （cm），
如图2，
AB= （cm），
如图3，
AB= （cm），
故沿长方体的表面爬到对面顶点B处，只有图2最短， 其最短路线长为： cm．
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，解决本题的关键要将长方体分情况正确展开并利用勾股定理计算．
15．
【分析】根据全等三角形的判定定理证明，进而利用勾股定理，在中，，求出即可
【详解】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在中，
，
，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，得出，是解题关键．
16．140
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得．
【详解】解：如图甲，
由题意可知，为等腰直角三角形，
，
过点A作于点D，
，
设，
由勾股定理得：，
，
，
如图乙，
过点作于点，
图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，
，，
，
梯子长度不变，
，
在中，，
，
解得：，
，
若点A与地面的距离为时，如图丙，
过点A作于点F，
，，
在中，，
，
解得：，
，
此时点与点的距离是．
故答案为：140．
17．
【分析】由勾股定理即可完成．
【详解】在Rt△ABC 中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得：
(m)
即A、B两点间的距离为m．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理．
18．(1)见解析
(2)
(3)的长为
【分析】（1）根据证明三角形全等；
（2）如图2中，延长到，使得，连接．由（1）可知，推出，，利用勾股定理求出，即可解决问题；
（3）如图3中，延长到，使得，连接．证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
在和中，
，
；
（2）解：如图2中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，
，，
，
，
；
（3）解：如图3中，延长到，使得，连接．
由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．（1）是等腰直角三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【分析】（1）利用全等三角形的判定证明≌，再由全等三角形的性质及直角三角形的性质即可得到结论；
（2）利用图形的面积建立等式进行化简即可；
（3）分三种情况，作辅助线构造全等三角形求解即可．
【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：
在和中，，
∴≌，
∴AE= DE，∠AEB=∠EDC，
∵在中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC= 90°，
∴∠AEB+∠DEC= 90°，
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°，
∴是等腰直角三角形；
（2）由题可知，四边形ABCD为梯形，
∵≌，，，，
∴AB=CE=b，BE=CD=a，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）①当∠CAB=90°，CA=AB时，如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵点A(2，0)，点B(4，1)，
∴BE=1，OA=2，OE=4，
∴AE= 2，
∵∠CAB=90°，BE⊥x轴，
∴∠CAF+∠BAE= 90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
又∵AC= AB，∠AFC=∠AEB=90°，
∴≌，
∴CF=AE= 2，AF=BE=1，
∴OF=OA－AF=1，
∴点C坐标为(1，2)；
②当∠ABC＝90°，AB＝BC时，如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BE交EB延长线于点F，
∵∠ABC=90°，BE⊥x轴，
∴∠ABE+∠CBF= 90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
又∵BC= AB，∠AEB=∠CFB=90°，
∴≌，
∴BE=CF=1，AE=BF= 2，
∴EF=3，
∴点C坐标为(3，3)；
③当∠ACB=90°，CA＝BC时，如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥CD于点F，BE⊥x轴于点E，
∵∠ACB=90°，CD⊥x轴，
∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCF=∠CAD，
又∵AC= BC，∠CDA=∠BFC=90°，
∴≌，
∴CF=AD， BF=CD=DE，
∵AD+DE=AE=2，
∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，
∴，
∴，，
∴点C坐标为，
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(3，3)或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的验证，平面直角坐标系中等腰直角三角形的存在性问题，熟练掌握各性质及判定定理，正确作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
20．（Ⅰ）（3，）；（Ⅱ）y=x2+1；（Ⅲ）△MPA为等边三角形时，点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
【详解】解：（Ⅰ）作AN⊥PM于N，则四边形AOMN是矩形，
∴AN=OM=3，MN=OA=2，
∵l1是AM的垂直平分线，
∴PA=PM，
在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即32+（y﹣2）2=y2，
解得，y=，
∴点P的坐标为（3，），
故答案为：（3，）；
（Ⅱ）当点M在x轴的正半轴上时，
在Rt△APN中，AN2+PN2=AP2，即x2+（y﹣2）2=y2，
解得，y=x2+1，
同理，当点M在x轴的负半轴上时，x，y满足的关系式是y=x2+1，
∴x，y满足的关系式是y=x2+1；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，PA=PM，
要使△MPA为等边三角形，只需MA=MP即可，
∵点A的坐标为（0，2），点M的坐标为（x，0），
∴AM=，
则x2+1=，
解得，x=±2，
∴△MPA为等边三角形时，点M的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
21．梯子底端B向外约移了0.77米．
【分析】先根据勾股定理求出OB的长，再根据梯子的长度不变求出OD的长，根据BD=OD-OB即可得出结论．
【详解】解：∵Rt△OAB中，AB=2.6m，AO=2.4m，
∴OB= =1m；
同理，Rt△OCD中，
∵CD=2.6m，OC=2.4-0.5=1.9m，
∴OD= ≈1.77m，
∴BD=OD-OB=1.77-1=0.77（m）．
答：梯子底端B向外约移了0.77米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
22．，.
【分析】n=3时，a=2×3=6，b=32-1=8，c=32+1=10；n=4时，a=2×4=8，b=42-1=15，c=42+1=17…得出a=2n，b=n2-1，c=n2+1（n≥3，n为正整数），满足勾股数．
【详解】∵n=3时,a=2×3=6,b=32 1=8,c=32+1=10，
n=4时,a=2×4=8,b=42 1=15,c=42+1=17，
n=5时,a=2×5=10,n=52 1=24,c=52+1=26，…
∴勾股数a=2n,b=n2 1,c=n2+1(n 3,n为正整数).
当a=20时,n=10,则b=102 1=99,c=102+1=101，
故答案为，.
【点睛】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，由题意得到规律.
23．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接，根据的等腰直角三角形的性质证明就可以得出；
（2）由，就可以求得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵D是中点，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
24．（1）AB=4；
（2）AE+AF=4；
（3）结论：FM2=AM2+AF2，理由见解析.
【分析】（1）根据AB=即可解决；
（2）先证明△BOE≌△AOF得AF=BE，所以AE+AF=AE+BE=AB即可解决；
（3）结论：FM2=AM2+AF2．只要证明ME=MF，AF=BE，在RT△AMF中利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）在Rt△ABO中，∵AO=OB=4，
∴AB===4；
（2）∵∠BOA=∠EOF=90°，
∴∠BOE=∠AOF，
在△BOE和△AOF中，
，
∴△BOE≌△AOF，
∴AF=BE，
∴AE+AF=AE+EB=AB=4；
（3）结论：FM2=AM2+AF2，理由如下：
连接FM，
∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM垂直平分分EF，
∴ME=MF，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
由（1）可知△BOE≌△AOF，
∴BE=AF，∠OBE=∠OAF=45°，
∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°，
∴FM2=AM2+AF2，
∴EM2=BE2+AM2．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．
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