17.2勾股定理的逆定理同步练习（含解析）

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17.2勾股定理的逆定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
2．如图，为的中线，且，，，则等于( )
A． B． C． D．
3．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．6，8，12 C．5，6，11 D．5，12，14
4．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3、4、5 B．6、8、10 C．8、15、17 D．10、12、15
5．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
6．已知a，b，c为△ABC三边长，且满足a2+b2+c2=10a+6b+8c﹣50，则此三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
7．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
8．已知的三边之比为，其中，点是边上的动点，则的长不可能是（ ）
A．5.9 B．6.5 C．8.9 D．10.5
9．小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（ ）
A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北
10．如图，大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（ ）．
A．8个 B．10个 C．11个 D．12个
12．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知a，b，c是的三边长，且满足关系式，则的形状为 ．
14．如图，点P是等边三角形ABC内的一点，PA＝，PB＝3，PC＝，则S△ABP+S△BPC＝ ，AB长为 ．
15．一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是 ．
16．如图，已知△ABC三条边AC＝20 cm，BC＝15 cm，AB＝25 cm，CD⊥AB，则CD＝ cm.
17．在中，，，，且，则 ， ．
三、解答题
18．如图1，这是某超市的儿童玩具购物车，图2是它的简化平面示意图，测得支架，，两轮中心之间的距离．
(1)求点到的距离；
(2)如图2，小康建立适当的平面直角坐标系，使得所在的直线为轴，点在轴上，请求，，三点的坐标．
19．在如图所示的网格中，构造一个三边长分别为，，的三角形，不写作法，保留作图痕迹，并直接写出这个三角形的形状．
20．如图所示的四边形是张亮家的一块种小麦的田地.经测量边长为30米，边长为40米，边长为120米，边长为130米，，求这块地的面积.
21．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状.
22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？

23．如图所示，已知B、C两个乡镇相距25千米，有一个自然保护区A与B相距15千米，与C相距20千米，以点A为圆心，10千米为半径是自然保护区的范围，现在要在B、C两个乡镇之间修一条笔直的公路，请问：这条公路是否会穿过自然保护区？试通过计算加以说明．
24．如图，在中，，点为上一点，连接．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的周长．
《17.2勾股定理的逆定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D D D B A D B
题号 11 12
答案 D A
1．A
【分析】连接PQ，先通过“边角边”证明△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ，易证△BQP为等边三角形，得到PQ=BP，再利用勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形即可.
【详解】解：如图，连接PQ，
∵∠ABP+∠PBC=60°，∠CBQ+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠CBQ，
在△ABP与△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
∵∠PBQ=60°，BQ=BP，
∴△BPQ为等边三角形，即BP=PQ，
又∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
即CQ=3a，PQ=4a，
∴CQ2+PQ2=9a2+16a2=25a2=PC2，
则△PQC为直角三角形.
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形中线的定义，根据题意得出则三角形为直角三角形，可得垂直平分，即可求解．
【详解】为的中线，，
，
∵，，
，
三角形为直角三角形，
，，
垂直平分，
．
故选：D．
3．A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】解：A. 62+82=102，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B.62+82≠122，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+62≠112，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D.52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4．D
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．据此逐一判定即可得到答案．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
5．D
【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
6．D
【分析】把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．
【详解】解：∵a2+b2+c2=10a+6b+8c﹣50，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣8c+16）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣3）2+（c﹣4）2=0，
∵（a﹣5）2≥0，（b﹣3）2≥0，（c﹣4）2≥0，
∴a﹣5=0，b﹣3=0，c﹣4=0，
∴a=5，b=3，c=4，
又∵52=32+42，即a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
故选D．
7．B
【分析】根据勾股定理逆定理证明∠D是直角，结合BD=CD得∠DBC=45°，从而得到∠ABC．
【详解】如图，延长射线AB交格点于点D，
∵每个小正方形的边长为1
∴，
∵
∴∠D=90°
又∵BD=CD
∴△BCD是等腰直角三角形
∴∠DBC=45°
∴∠ABC=180°－∠DBC =180°－45°=135°
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理证明∠D是直角是解决本题的关键．
8．A
【分析】由，设AC=x，BC=x，AB=2x，先求出AC=6，BC=，然后由勾股定理求得AC，从而求得，即可得出结论．
【详解】解：由，设AC=x，BC=x，AB=2x，
∵，
∴2x=12，
解得x=6，
∴AC=6，BC=，
∴，，
∴，
∴∠ACB=90°，
∴AC，
∵点是边上的动点，
∴即，故B、C、D不符合题意，A项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理及垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．D
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案．
【详解】解：如图，，
，
，
故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北，
故选D．
10．B
【详解】试题分析：根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
解：根据勾股定理，得
AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25，
根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD．
故选B．
点评：此题综合考查了勾股定理及其逆定理．
11．D
【详解】如图，直角三角形有：△AEC、△BEC、△AFC、△AFB、△BDA、△BDC、△AEO、△ADO、△BEO、△BFO、△CDO、△CFO.
故选D.
12．A
【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.
13．等腰直角三角形
【分析】本题考查了非负数的性质、勾股定理逆定理和等腰三角形的定义，直接利用非负数的性质，得出a，b，c之间的关系是解题关键．
由非负数的性质得出，进而得出的形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的形状为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
14．
【分析】将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，可证△AEP是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得∠BPE=90°，由勾股定理可求AB的长，再证明∠BPC=90°，利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：将△APC绕点A旋转60°得到△AEB，过点B作BF⊥AP于点F，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵
∴，
∴∠BPE=90°，
∴∠APB=150°，
∴∠BPF=30°，
∴BF=PB=，PF=BF=，
∴AF=AP+PF=
∴
∵BE=2PE，∠BPE=90°，
∴∠EBP=30°，
∴∠BEP=90°-30°=60°，
∵∠AEP=60°，
∴∠APC=∠AEB=120°，
∴∠BPC=360°-150°-120°=90°，
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键．
15．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式，即可求出其面积．
【详解】解：，
∴此三角形是直角三角形，
∴此直角三角形的面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，那么这个三角形就是直角三角形．能够根据具体数据，运用勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形是解题的关键．
16．12
【分析】首先利用勾股定理逆定理证明△ACB是直角三角形，再利用三角形的面积公式可得AC BC=AB CD，再代入相应数据进行计算即可．
【详解】∵AC＝20 cm，BC＝15 cm，AB＝25 cm，+=，
∴+=，
∴△ACB是直角三角形，
∵=AC BC= AB CD，
∴AC BC = AB CD，即2015=25CD，
∴CD=12 cm.
故答案为：12.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理.
17． 5 12
【分析】由题知是直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式列出两个方程，组成方程组求解即可．
【详解】解：根据勾股定理得a2+b2=c2，
即a2+b2=169 ①，
∵，
∴ab=60 ②，
①+②×2，得(a+b)2=289，即a+b=17 ③，
①-②×2，得(a-b)2=49，
∵，
∴a-b=-7 ④，
③+④，得a=5，
∴b=12．
故答案为5，12．
【点睛】本题考查了勾股定理，解方程组，平方根的计算．解题的关键是根据题意列出方程组，并且灵活运用降次的方法解方程组．
18．(1)点到的距离为
(2)，，
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，坐标与图形；
（1）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法，即可求解；
（2）由（1）可得，可得的坐标，根据勾股定理先求得的长，进而得出点的坐标，根据得出的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：因为，所以，
所以，
所以是直角三角形，．
设点到的距离为，
因为，所以
所以点到的距离为．
（2）因为，
所以，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
19．作图见解析，三角形的形状是直角三角形
【分析】利用勾股定理先在网格中作出对应的三角形，然后利用勾股定理得逆定理可判断出该三角形为直角三角形．
【详解】解：如图所示，即为所求，三角形的形状是直角三角形．
由勾股定理得，
∴，，
∴，
∴为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理得逆定理是解题的关键．
20．3600平方米.
【分析】连接，由勾股定理得到，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，再根据三角形面积公式进行计算，即可得到答案.
【详解】如图，连接.
在中，根据勾股定理是，
得.
在中，
因为，
所以为直角三角形，且.
所以（平方米）.
所以这块地的面积为3600平方米.
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理和三角形的面积公式.
21．为直角三角形．
【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根可得Δ=0，可算出b的值，又因为a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴为直角三角形．
【点睛】本题关键在于计算出b的值，然后根据勾股定理逆定理判断三角形的形状
22．（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．
【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；
（2）运用勾股定理逆定理判定即可．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．
23．不会穿过
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是利用面积相等的方法求得其斜边上的高．首先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，然后利用面积相等的方法求得其斜边上的高，大于10不会穿过，否则就穿过．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
作于D点，
∴，
即：，
解得，
∵，
∴不会穿过．
24．(1)是直角三角形，见解析
(2)的周长为
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，从而得到，进而有，即可判断是直角三角形；
（2）设，则，由已知得到，结合勾股定理得到方程，解方程得到，即，根据，从而得到的周长为．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由如下：在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）设，则，
∵，
在中，，即，解得，
∴，
∴的周长为，即的周长为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理及勾股定理是解决问题的关键．
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