课件9张PPT。不等式证明一 一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14)
1． 求证：x2 + 3 > 3x
证：∵(x2 + 3) ? 3x =
∴x2 + 3 > 3x
∵a,b,m都是正数，并且a 0 , b ? a > 0
证：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )
= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3)
= (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2)∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b22.已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证： 3.已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
1.设a, b ? R+，求证： 三、作商法 证：作商： 当a = b时，
当a > b > 0时， 当b > a > 0时， ∴ （其余部分布置作业） 四、综合法：
定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，
推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。 ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数 ∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc例二、 a , b, c?R, 求证：(1). ;
(2). ; (3).
(2)∵
两式相乘即得. 证：(1)法一： , , 两式相乘即得。
法二：左边
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (3)由上题：例二、 a , b, c?R, 求证：(1). ;
(2). ; (3).
课件14张PPT。不等式证明（二）“分析法”：
从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，
把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。 例一、求证： 证： ∵ 只需证明： 展开得： 即： 综合法：∵21 < 25即： 21 < 25（显然成立） 分析法例二、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0例二、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0 例三、证明：通过水管放水，当流速相等时，
如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的
水管比截面是正方形的水管流量大。
问题只需证： >
即证 >
∴ >
也可用比较法（取商）证，也不困难。
例 一、求证： 一、? 三角换元二、放缩法： 例一、若a, b, c, d?R+，求证： ∴1 < m < 2 即原式成立
例二、求证： ∴ 三、反证法 解：∵0 < 1 ? x2 < 1, ∴ ∴ ∴ 令：3≤t1再见
