四川省达州市达州中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷(含详解)

四川省达州中学2024 2025学年高二下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数在点处的切线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．若椭圆：的焦点和与焦点共线的顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知为等差数列的前项和，且，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．72
4．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ）
A．的单调递减区间是
B．的单调递增区间是，
C．当时，有极值
D．当时，
5．已知函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
① ②
③ ④
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
8．已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，的最小值为18
11．已知曲线，则（ ）
A．直线与曲线相切
B．若直线与曲线相切，则
C．当曲线与曲线都相切时，
D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或
三、填空题（本大题共3小题）
12．是函数的极值点，则的值为 ．
13．数列满足，则 .
14．已知函数，且，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求.
16．如图，在正四棱锥中，，为侧棱SD的中点．
(1)求证：；
(2)求点到平面PAC的距离；
(3)求平面SBC与平面PAC夹角的余弦值．
17．已知函数.
(1)当时，求曲线的经过点的切线方程；
(2)讨论的单调区间.
18．在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为.
(1)求的方程.
(2)直线 与C交于两点（点不重合）.
①求的取值范围；
②若，求.
19．已知数列的前n项和为，若对，有且仅有一个，使得，则称为“K数列”.记，，称数列为数列的“配对数列”.
(1)若数列的前四项依次为1，2，0，2，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由；
(2)若，证明数列为“K数列”，并求它的“配对数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“K数列”，且数列的“配对数列”为等差数列，证明：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】易知，所以.
故选A.
2．【答案】D
【详解】已知椭圆的焦点坐标为，上下顶点坐标为，
则双曲线E的顶点为，焦点为，
则双曲线E的标准方程为
故选D.
3．【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，由，
得，所以，
所以.
故选D.
4．【答案】A
【详解】根据图象可知当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得，且；
对于AB，易知时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
因此的单调递减区间是，的单调递增区间是，即A正确，B错误；
对于C，易知当时，，当时，，
即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误；
对于D，因为时，，可得，因此，即D错误.
故选A.
5．【答案】A
【详解】依题意，，
因为函数在上单调递减，
所以，则，
令，则，
令，则，故当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，则，
故实数a的取值范围为．
故选A.
6．【答案】A
【详解】因，且数列是递增数列，
则有，解得.
故选A.
7．【答案】D
【详解】
对于①和②，分别过点作函数的图象的切线，
由图易得，直线的倾斜角满足，故直线的斜率，
根据导数的几何意义，可得，即②正确，①错误；
对于③，过点作直线，则直线的斜率为，
由图知，直线的倾斜角满足，故，即，故③正确；
对于④，如图，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，连接，
则，于是直线的斜率，
由图知直线的倾斜角满足，故，即，故④正确.
故选D.
8．【答案】D
【详解】当时，，
当时，，
当时，适合上式，所以，
，
当为偶数时，，
所以，
当为奇数时，，
所以，
综上，，
又因为不等式恒成立，所以，所以.
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，，正确；
对于B，∵，
∴，不正确；
对于C，∵，∴，正确；
对于D，∵，∴，正确．故选ACD．
10．【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，且，
可得，即，故A正确；
对于选项B：因为，可知等差数列的公差，
所以等差数列为递减数列，即，故B正确；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：当时，；当时，；
即，
当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，
所以当时，的最小值为18，故D正确；
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】选项A：联立和2，得，
所以直线与曲线相切，故A正确；
选项B：由，得，由，得，故B错误；
选项C：由，得，令，得，
则，所以切线方程为，即，则，
令，得，则，
所以切线方程为，即，则，
所以，故C正确；
选项D：当时，，令，
则，设过原点的直线与曲线切于点，
则切线方程为，
将原点代入得，整理得，
则，解得或，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】，
由于是函数的极值点，
所以，
，解得或.
当时，，
则在上单调递减，
在上单调递增，所以是的极小值点，符合题意.
当时，，
在上单调递增，没有极值点，不符合题意.
综上所述，的值为.
13．【答案】
【详解】因为，
当时，，
当时，，
则得：，
所以，
当时，不成立，所以．
14．【答案】
【详解】令，定义域为，
，
所以为奇函数，
又，
当时，令，
则有，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，即，解得，
即实数的取值范围是.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
所以
，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，
所以
.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）连接交于点，连接,
因为是正四棱锥，所以平面，
且平面，所以,
又因为为正方形，所以,
所以以方向为轴建立如图所示空间指标坐标系，
因为，所以,,
所以,,
所以,
所以，
，所以.
（2）设平面的一个法向量为，
,
所以，即，令，可得，
所以点到平面PAC的距离为.
（3）设平面的一个法向量为，
,
所以，即，令，可得，
设平面SBC与平面PAC夹角为，则由图可知为锐角，
所以即为所求.
17．【答案】(1)或
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，则，
设切点横坐标为，则，，
所以在点处的切线方程为：，
由于该切线经过点，则，
即，
所以该切线方程为或；
（2）由求导得：
，
因为定义域，所以令，得，
当时，有，，
又有，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时， ，
所以在区间上单调递增；
综上：当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增
18．【答案】(1)
(2)①，②
【详解】（1）设，则，
将代入，可得，即
即点的轨迹的方程为；
（2）①由，联立整理得：，
由，即，化简得，
故，
②当时，，解得，
故.
19．【答案】(1)数列不是“K数列”，理由见解析
(2)证明见解析，
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得，，，，……，可知，
因为，所以不存在，使得，
故数列不是“K数列”.
（2）因为，所以当时，；
当时，；
因不满足，故，
令，即，
则当时，有，得；
当时，有，
故，即，
则对每一个，有且仅有一个且，使得，
综上，对任意，有且仅有一个，使得，
所以数列为“K数列”.
，
即数列的“配对数列”的通项公式为.
（3）因为数列是正项“K数列”，所以数列单调递增，
所以，故，
因， 则，故由得，
又数列的“配对数列”为等差数列，
故其公差，
因为，所以，
若，则当时，，与矛盾，
故，所以，，即，
对于，若，则，与正项数列矛盾，
所以，故，
所以，故，
所以，
又，，
故，得证.