江西省赣州市赣州中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题(含详解)

江西省赣州市赣州中学2024 2025学年高二下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．已知正项数列满足，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知数列中，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论公比（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的个数是（ ）．
①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
②若随机变量，则方差
③若随机变量，，则
④已如随机变量X的分布列为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
7．为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式，如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题（本大题共3小题）
9．设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C．数列为等差数列 D．当取最小值时，
10．以下命题正确的有（ ）
A．设等差数列的前项和分别为，若，则
B．数列满足，则
C．数列满足：，则
D．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和为
11．已知数列满足，且和的概率都为，设的值为随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等差数列中，前项和为，这项中的偶数项之和为，且，则数列的通项公式 .
13．已知数列，对于任意正整数，都满足，则
14．已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.
（1） ；（写出一个可能的取值）
（2）对于数列中的项，若存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列的前n项和为，且数列是公差为1的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足为数列的前n项和，求．
16．第二十二届卡塔尔世界杯足球决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队，某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团，足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各名进行调查，部分数据如下表所示．
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生
女生
合计
(1)根据所给数据求出、、、的值，并判断是否有95%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？（附）
(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了名男生和名女生示范点球射门．已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求人进球总次数的分布和数学期望．
17．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记数列的前项和为，求证：.
18．为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币.
(1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？
(2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为.
①计算，并求.
②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？
19．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．
(1)求椭圆的方程．
(2)设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．
①证明：直线的斜率成等差数列．
②设经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以.
故选D.
2．【答案】A
【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，），
可得.这表明数列是公差为的等差数列.
已知，那么.
对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里.
当时，.
把代入上式，可得，解得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】由可得①，
当时，②，
将②式代入①式可得，，即，
即数列的项的周期为，故.
故选A.
4．【答案】C
【详解】由等差数列的性质可知，
所以
故选C.
5．【答案】A
【详解】由于，
若，则，
而，则，所以不符合题意.
当且时，，
即，
即，
则.
故选A.
6．【答案】C
【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误；
因为随机变量，所以，，②正确；
根据正态分布的性质，，所以，，③正确；
，得，
可得，解得，所以，④正确；
综上，正确命题的个数为3.
故选C.
7．【答案】B
【详解】设事件表示“零件为一等品”，
事件表示“零件为二等品”，
事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”，
则，
故，
故选B.
8．【答案】B
【详解】由题意知，，各层的小球个数可当作数列，
则，
当时，，代入，
得，
整理得，解得或（舍去），
此时，即第一层的小球有个.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】解：由题意，，所以选项A对；
，由累加法有：
，，
显然满足上式，则，
所以，所以数列不是等差数列，所以选项C错误；
又，且在区间单调递增，
所以数列为递增数列，所以选项B对：
数列为递增数列，，所以取最小值时，，故选项D对.
故选ABD.
10．【答案】BD
【详解】对于A中，等差数列的前项和分别为，且，
由等差数列前的性质，可设，
则，
可得，所以，所以A不正确；
对于B中，由，得，
则当时，，
所以
，
显然满足上式，因此，所以B正确；
对于C中，因为，
当时，，
两式相减，可得，即，
当时，可得，此时不满足，
所以数列的通项公式为，所以C错误；
对于D中，由，当时，，即，解得；
当时，，于是，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列的前项和，所以D正确.
故选BD.
11．【答案】ACD
【详解】的可能取值为，
其中,，
所以.
故选ACD
12．【答案】
【详解】设等差数列的公差为，
因为等差数列中，前项和为，
所以，故，
因为等差数列中前项中的偶数项之和为，
所以，故，
所以，解得，
所以，又，
所以，，
所以，，
所以
所以数列的通项公式为.
13．【答案】
【详解】∵对于任意正整数，都满足，
∴令得，即，
∴当时，，
∵满足上式，∴，故，
∴．
14．【答案】 5 1025
【详解】（1）当时，，
当时，，或，
当时，，或，或时有或，
综上所述：的所有可能取值为：5，8，11.
（2）中恰有4项具有性质，且这4项的和为，，
当时，，或，或时有或，或时有或或，
，即具有性质，
则易知从开始是以5为首项3为公差的等差数列，.
15．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：由题知，则，
所以．
当，
又也符合，所以．
（2），
所以，
.
16．【答案】(1)，，、，有关
(2)分布列见解析，期望
【详解】（1）由列联表中的数据可得，，
，，
所以，，
故有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）人进球总次数的所有可能取值为、、、，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
数学期望．
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，
当时，，，
故.
时，上式亦成立.
所以数列的通项公式为：
（2）因为，
所以，
所以
两式相减得：，
所以：.
18．【答案】(1)
(2)①，，；②“球类”为900人，“田径”为1200人.
【详解】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”，
由题意，基本事件总数有个，
事件包含基本事件的个数为个，
所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率．
（2）①由题可知：，
，所以，
当时，，
所以，
又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，所以．
②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于，
假设用表示一天中选择“球类”的人数，则，
所以，
即选择“球类”的人数的期望为900，选择“田径”的人数的期望为1200．
19．【答案】(1)；
(2)①证明见解析；②存在，.
【详解】（1）由右焦点知，
，所以，
若，则，即，方程无解；
若，则，所以，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）①设，易知过且与相切的直线斜率存在，方程设为，
联立方程，
消得，
，即，
设直线的斜率分别为，
所以，，
，
所以，
即直线的斜率成等差数列.
②直线的方程为，令，得，
所以，同理可得，
所以的中垂线为，
中点为，
所以直线的中垂线为，
联立，解得，
所以，
所以，，
，即，
所以，即，
所以，解得，所以，所以.
所以存在点，使得，此时.