八年级数学下册试题 第9章《中心对称图形-平行四边形》复习题--四边形中的尺规作图和格点作图--苏科版（含解析）

第9章《中心对称图形-平行四边形》复习题--四边形中的尺规作图和格点作图
解答题
1．（1）图1是在Rt△ABC中，∠B＝90°，用直尺和圆规作矩形ABCD，作法是“以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D“，请判断所作的四边形ABCD是不是矩形，并说明理由．
（2）如图2，在矩形ABCD的边AB上任取一点E，O是AC中点，在BC、CD、DA上各找一点F、G、H，使得四边形EFGH是菱形．（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）
2．已知：如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边AB和BC上的点，且满足BE＝CF．
（1）不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD和DA上分别作出点G和点H，DG＝AH＝BE＝CF（保留作图痕迹，不写作法作法）；
（2）判断：四边形EFGH的形状是 　 　．
3．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线．
（1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状．
4．已知菱形ABCD．
（1）如图①，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE＝AH＝CF＝CG．求证：四边形EFGH是矩形；
（2）如图②，点M在BC上，用直尺和圆规作出两种不同的矩形MNPQ，使得点N，P，Q分别在CD，DA，AB上（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
5．已知四边形ABCD为矩形，点E是边AB的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使 m∥AD；
（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使 n∥AB．
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点．
（1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形；
（2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
7．如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．
（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、CA上，并根据你的作法证明你的结论；
（2）若∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，求（1）中所作菱形AMPN的面积．
8．如图①，在 ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4，点E是边AD上一动点．
（1）尺规作图：请在图①中作菱形AEFG，使点F，G在边BC上．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围．
9．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF＝BE；
（2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺（不带刻度）作出菱形ABCD的边AB上的高DF．
10．如图，四边形ABCD是矩形．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形FBED，其中F在直线AD上，E在直线BC上；
（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝9，求所作菱形的面积．
11．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）连接AF、CE，求证四边形AECF为菱形．
12．已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q；
（2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H．
13．如图①，在 ABCD中，AB＝5，BC＝13，BC边上的高为4．求作菱形AEFG，使点E在边AD上，点F，G在边BC上．
小宁的作法1．如图②，在边AD上取一点E．
2．以点A为圆心，AE长为半径画弧，交BC于点G．
3．在BC上截取GF＝AE，连接EF，则四边形AEFG为所求作的菱形．
（1）证明小宁所作的四边形AEFG是菱形．
（2）小宁进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的AE的长的取值范围．
14．已知∠MAN，按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）如图①，B，C分别在射线AM、AN上，求作 ABDC；
（2）如图②，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点．
15．如图，AE∥BF．
（1）请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线BF上截取BC＝AB，作∠ABC的平分线，交AE于点D，连接CD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
16．如图，点O是∠MAN内一点，求作线段PQ，使P、Q分别在射线AM、AN上，且点O是PQ的中点（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．
小亮的作法如下：作OT∥AN，交AM于点T，在射线TO上截取OE＝OT，在AN上截取AQ，使得AQ＝TE，连接QO，延长QO交AM于点P，线段PQ即为所求．
（1）请证明小亮作法的正确性；
（2）请你再设计另一种尺规作图的方法（保留作图痕迹，不写作法）．
17．已知直线l和直线外一点A，只利用圆规完成以下作图．（保留作图痕迹，不写画法）
（1）图①中，作点B，使AB∥l；
（2）图②中，作点B、C、D，使A、B、C、D为矩形的四个顶点．
18．（2024春 玄武区校级期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC中，A是格线上的点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）在图（1）中，作 ABDC；
（2）在图（2）中，将线段CB绕C逆时针旋转90°至CE（点E为点B的对应点）；过点E作EF⊥AB于F．（可以写出必要的文字说明）
19.规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在10×6的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．
（1）在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的面积为8．
（2）在图乙中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的面积为6．
参考答案
解答题
1．解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形．
理由：∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）四边形EFGH即为所求．
2．解：（1）如图1所示：DG＝AH＝BE＝CF；
；
（2）四边形EFGH是正方形，理由如下：
如图2，
∵正方形ABCD中，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠EBO＝∠GDO，
∵∠EOB＝∠GOD，
∴△EOB≌△GOD（ASA），
∴BE＝DG，
同理AH＝CF，
∵BE＝CF，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA，AB＝BC＝CD＝DA，
∵DG＝AH＝BE＝CF，
∴AE＝BF＝CG＝DH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴∠AEH＝∠BFE，
∵∠AEH+∠BEF＝∠BFE+∠BEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
故答案为：正方形．
3．解：（1）所作的图形如图：
；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
由翻折知，BE＝BF，
由作图知，BE＝DE，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝BF＝DH＝DG，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△BEF≌△DHG（SAS），
∴∠AEH＝∠AHE，∠BEF＝∠BFE，
∵∠A+∠AEH+∠AHE+∠B+∠BEF+∠BFE＝360°，
∴2∠AEH+2∠BEF＝180°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
同理∠EFG＝∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：连接对角线AC和BD交于点O，以O为圆心，OM为半径画圆分别交CD、DA、AB上使得点 N（N1）、P、Q（Q1），则QP∥BD∥MN，QM∥AC∥PN，且AC⊥BD，
∴四边形MNPQ为矩形，连接Q1N1，MP，
∵Q1N1，MP为直径，
∴∠PQ1M＝∠MN1P＝∠Q1MN1＝90°，
∴四边形MN1PQ1为矩形，
即四边形MNPQ与MN1PQ1均为矩形．
5．解：（1）如图1中，直线m即为所求；
（2）如图2中，直线n即为所求；
6．解：（1）如图1，点F，四边形AECF即为所求作．
（2）如图2，四边形EFGH即为所求作．
理由：由△AOE≌△COF，可得OE＝OF，
由△AOH≌△COF．可得OH＝OF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵OG＝OF，
∴FH＝EG，
∴四边形EFGH是矩形．
7．解：（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，
证明：∵MN是AP的垂直平分线，
∴AN＝PN，AM＝PM，∠AON＝∠AOM＝90°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠NAO＝∠MAO，
∵AO＝AO
∴△AON≌△AOM（ASA），
∴AN＝AM，
∴AN＝PN＝PM＝AM，
∴四边形AMPN是菱形；
（2）∵四边形AMPN是菱形，
∴AN＝PN＝PM＝AM，PM∥AC，
∵∠C＝90°，AB＝8，BP＝4，
∴∠BPM＝∠C＝90°，
设AN＝PN＝PM＝AM＝x，则BM＝8﹣x，
由勾股定理得：BM2＝PM2+BP2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴BM＝8﹣3＝5，
∵PM∥AC，
∴，即，
解得：BC，
∴PC＝BC﹣BP4，
∴菱形AMPN的面积＝AN PC＝3．
8．解：（1）如图①，菱形AEFG即为所求；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥GF，
∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE＝AG，
∴四边形AEFG是菱形；
（2）如图②中，过点A作AT⊥BC于点T，
在Rt△ABT中，BT3，
∵BC＝13，
∴CT＝13﹣3＝10，
在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x，
则有x2＝42+（10﹣x）2，
∴x，
观察图形可知：
①当0＜AE＜4时，菱形的个数为0；
②当AE＝4时，菱形的个数为1；
③当4＜AE≤5时，菱形的个数为2；
④当5＜AE时，菱形的个数为1；
⑤当AE≤13时，菱形的个数为0．
9．解：（1）连接AC、BD交于点O，作直线EO交AD于F，点F即为所求．
（2）连接AC交BF于点T，作直线DT交AB于F，线段DF即为所求．
10．解：（1）如图，作线段BD的垂直平分线，交AD于点F，交BC于点E，连接BF，DE，
则四边形FBED即为所求．
（2）∵四边形FBED为菱形，
∴BE＝DE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝9，CD＝AB＝3，∠C＝90°．
设BE＝DE＝x，
则CE＝9﹣x．
在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE2＝CE2+CD2，
即x2＝（9﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴BE＝5，
∴菱形FBED的面积为BE CD＝5×3＝15．
11．（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：∵EF垂直平分AC，
∴EF⊥AC，OA＝OC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形．
12．解：（1）如图①，PQ为所作；
（2）如图②，BH为所作．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AE∥GF，
∵AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE＝AG，
∴四边形AEFG是菱形．
（2）解：如图①中，过点A作AT⊥BC于点T，
在Rt△ABT中，BT3，
∵BC＝13，
∴CT＝13﹣3＝10，
在TC上取一点G，使得AG＝CG，设AG＝CG＝x，
则有x2＝42+（10﹣x）2，
∴x，
观察图象可知：
①当0＜AE＜4时，菱形的个数为0；
②当AE＝4时，菱形的个数为1；
③当4＜AE≤5时，菱形的个数为2；
④当5＜AE时，菱形的个数为1；
⑤当AE≤13时，菱形的个数为0．
14．解：（1）如图①，平行四边形ABDC为所作；
（2）如图②，PQ为所作．
15．（1）解：如图所示．
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD．
∵BC＝AB，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵BC＝AB，
∴四边形ABCD为菱形．
16．解：（1）如图1，作∠POT＝∠AQO，则OT∥AN，交AM于点T，在射线TO上截取OE＝OT，在AN上截取AQ，使得AQ＝TE，连接QO，延长QO交AM于点P，线段PQ即为所求，
证明：由作图过程可知：OT∥AN，AQ＝TE，
∴四边形ATEQ是平行四边形，
∴AT∥QE，AT＝QE，
∴∠OTP＝∠OEQ，
∵OT＝OE，∠TOP＝∠EOQ，
∴△OTP≌△OEQ（ASA），
∴OP＝OQ；
（2）解：如图2，线段PQ即为所求，点O是PQ的中点．
17．解：（1）如图①，点B为所作；
（2）如图②，矩形ABCD为所作．
18．解：（1）如图1中，平行四边形ABCD即为所求；
（2）如图2中，直线EF即为所求．
方法：取CD是中点J，连接BJ，延长BJ交直线AC于点T，则DT∥BC，DT⊥EC，取格点W，连接CW交DT于点Q，作直线EQ交AB一点F，直线EF即为所求．
19．解：（1）如图甲所示，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图乙所示，矩形AEBF即为所求（答案不唯一）．