广东省和美联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1．（2025高一下·广东月考）（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】.
故答案为：C.
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式，即可求出答案。
2．（2025高一下·广东月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，
由弧度定义可知，即，
因为扇形的周长为，
代入可得，
解得，
所以扇形面积为 .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和扇形的弧长公式、扇形周长公式，从而得出扇形所在圆的半径和扇形的弧长，再结合扇形的面积公式得出此扇形的面积.
3．（2025高一下·广东月考）已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，的夹角为，
得，
所以在上的投影向量是.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量公式，从而得出在上的投影向量.
4．（2025高一下·广东月考）已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
【答案】C
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：∵是第二象限角，
∴，，
则，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，
则或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确、D错误.
故答案为：C．
【分析】由已知条件和象限角的取值范围以及不等式的基本性质，从而得出，，，，再结合三角函数值在各象限的符号，从而逐项判断找出正确的选项．
5．（2025高一下·广东月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
两边同时平方得，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】先对已知式子两边平方，从而得出的值，再利用二倍角的余弦公式结合的值，从而得出的值.
6．（2025高一下·广东月考）设 是两个不共线的向量，若 则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为 + = =2 ，故 三点共线.
故答案为：A.
【分析】利用三点共线的判断方法结合平面向量基本定理找出正确的选项。
7．（2025高一下·广东月考）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合已知条件中角的特点，从而可得，，再根据两角和的正切公式和已知条件中角的取值范围，从而判断角，的取值范围，从而得到角的取值范围，进而得出角的大小.
8．（2025高一下·广东月考）已知函数的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：令，化简得，
即，解得，
因为，所以在上有两个不同的解，
设为且.
所以，且.
则，
所以，点关于点（，0）对称，
所以的面积为.
故答案为：B.
【分析】先联立解得的值，再利用函数的图象与函数的图象交于，两点，则该方程在上有两个不同的解，再根据解的特征可得，点关于点（，0）对称且的纵坐标的绝对值为，则由三角形的面积公式得出的面积.
9．（2025高一下·广东月考）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】B,C
【知识点】向量的物理背景与基本概念；向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，因为向量的模相等，可能方向不相等，所以A错误；
对于B，因为两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B正确；
对于C，因为非零向量，，若，，则成立，所以C正确；
对于D，因为向量不能比较大小，所以D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量的模、向量共线定理、向量的定义，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．（2025高一下·广东月考）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．将函数图象向左平移个单位所得图象关于轴对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数f(x)的图象知：，
所以，，
则，
因为点在图象上，
所以，
则，，
因为，所以，
则，
所以，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C错误；
因为，所以，
又因为在上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据正弦型函数的图象求出函数的解析式，再结合代入法得出函数的值则判断出选项A；利用正弦型函数的图象变换判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，则得出正弦型函数的图象的对称性，则判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，则得出正弦型函数在上的单调性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高一下·广东月考）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．向量在向量上的投影为
【答案】A,B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为在正八边形中，，所以，
所以，故选项A正确；
B、因为与的夹角为，且，所以，故选项B正确；
C、易知，又，，所以，故选项C错误；
D、向量在向量上的投影为数值，而为向量，故选项D错误.
故选：AB．
【分析】根据正八边形的性质先求得∠AOD，进而利用向量的数量积公式即可判断选项A；根据向量加法的平行四边形法则可判断选项B；由，根据向量的数量积的公式即可判断选项C；根据投影的定义即可判断选项D.
12．（2025高一下·广东月考） .
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合两角差的正切公式，进而得出的值。
13．（2025高一下·广东月考）将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 .
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到，
再将横坐标缩短为原来的得到，
再向右平移个单位长度得到.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式.
14．（2025高一下·广东月考）已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，
由在内没有零点，
得是的子集，
则，
解得，
由，得，
因为，则或，
又因为，则或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件求出相位的取值范围，再利用正弦型函数的图象和性质结合指定区间上无零点，从而列出不等式组，进而求解得出的取值范围.
15．（2025高一下·广东月考）已知，且，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】解：（1） 且，
，
.
（2）
=
==.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由已知条件和角的取值范围以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值．
（2）将原式结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而化简为，再将代入得出的值．
16．（2025高一下·广东月考）已知，与的夹角为，设．
（1）求的值；
（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
【答案】（1）解：
（2）解：∵与的夹角是锐角，
∴且与不共线，
∵
，
∴，解得，
当与共线时，则存在实数，使，
∴，解得，
综上所述，实数t的取值范围是．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)利用已知条件和数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
(2)利用两向量夹角为锐角，则且与不共线，再结合数量积的运算律和一元二次不等式求解方法得出t的取值范围，当与共线时，则存在实数，使，从而得出t的值，进而得出实数t的取值范围．
（1）；
（2）∵与的夹角是锐角，
∴且与不共线．
∵，
∴，解得．
当与共线时，则存在实数，使，
∴，解得．
综上所述，实数t的取值范围是．
17．（2025高一下·广东月考）已知函数，最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合；
（3）求函数的单调递减区间．
【答案】（1）解：因为函数
，
又因为函数的最小正周期为，
所以．
（2）解：因为函数的最大值为，
此时，，得，，
故函数的最大值为2，取得最大值时自变量的取值集合为：.
（3）解：令，，
得，，
故函数的单调递减区间为，．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，从而对函数进行化简，进而可得，再根据正弦型函数的最小正周期公式求出的值.
（2）令，，再结合正弦函数的图象求最值的方法，从而得出正弦型函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量的取值集合.
（3）令，再结合正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数f(x)的单调递减区间.
（1）函数
，
因为函数的最小正周期为，所以．
（2）函数的最大值为，
此时，，
得，；
故函数的最大值为2，取得最大值时自变量的取值集合为；
（3）令，，
得，，
故函数的单调递减区间为，．
18．（2025高一下·广东月考）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线，其振幅为2，且经过点.
（1）求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式；
（2）证明：为定值.
【答案】（1）解：由振幅为2，，可得，，
由噪声声波曲线经过点，
得，
因为，，
则，
则，
又因为降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，
所以.
（2）证明：由（1）得：
则
，
则为定值0.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据振幅为2求出A的值，将点代入解析式得出函数f(x)的解析式，再结合降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，从而得出降噪声波曲线g（x）的解析式.
（2）由（1）结合诱导公式和两角和的余弦公式，从而化简证出为定值.
（1）由振幅为2，，可得，，
由噪声声波曲线经过点，得，
而，，
则，则，
又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，
所以.
（2）由（1），
则
，
即为定值0.
19．（2025高一下·广东月考）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，若，，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：
当时，，
由且，得，
故，
所以的解集为．
（2）解：因为在上单调递减，
且，，
所以在上的值域为，
由题意得在上恒成立，
令，所以在恒成立，
当时，恒成立，所以，
当时，由，得恒成立，
又因为，
当时，即当时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）当时，由可得，从而可得，再结合正弦函数的图象得出不等式的解集.
（2）利用函数的单调性求出函数在上的值域，令，可知在上恒成立，分、两种情况讨论，结合参变分离法和函数求最值的方法，再根据不等式恒成立问题求解方法可得实数的取值范围.
（1）解：，
当时，，
由且得，故，
所以的解集为．
（2）解：因为在上单调递减，且，，
所以在上的值域为．
由题意得在上恒成立，
令，于是在恒成立．
当时，恒成立，所以．
当时，由，得恒成立．
又，当即等号成立．
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
1 / 1广东省和美联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题
1．（2025高一下·广东月考）（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025高一下·广东月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·广东月考）已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·广东月考）已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．
C． D．是第三或第四象限角
5．（2025高一下·广东月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·广东月考）设 是两个不共线的向量，若 则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
7．（2025高一下·广东月考）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2025高一下·广东月考）已知函数的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高一下·广东月考）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
10．（2025高一下·广东月考）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．将函数图象向左平移个单位所得图象关于轴对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
11．（2025高一下·广东月考）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．向量在向量上的投影为
12．（2025高一下·广东月考） .
13．（2025高一下·广东月考）将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 .
14．（2025高一下·广东月考）已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是 .
15．（2025高一下·广东月考）已知，且，求下列各式的值：
(1)；
(2).
16．（2025高一下·广东月考）已知，与的夹角为，设．
（1）求的值；
（2）若与的夹角是锐角，求实数t的取值范围．
17．（2025高一下·广东月考）已知函数，最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数的最大值及取得最大值时自变量的取值集合；
（3）求函数的单调递减区间．
18．（2025高一下·广东月考）主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线，其振幅为2，且经过点.
（1）求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式；
（2）证明：为定值.
19．（2025高一下·广东月考）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设，若，，都有，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】.
故答案为：C.
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式，即可求出答案。
2．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，
由弧度定义可知，即，
因为扇形的周长为，
代入可得，
解得，
所以扇形面积为 .
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和扇形的弧长公式、扇形周长公式，从而得出扇形所在圆的半径和扇形的弧长，再结合扇形的面积公式得出此扇形的面积.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，的夹角为，
得，
所以在上的投影向量是.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和数量积求投影向量公式，从而得出在上的投影向量.
4．【答案】C
【知识点】象限角、轴线角；三角函数值的符号
【解析】【解答】解：∵是第二象限角，
∴，，
则，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，
则或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确、D错误.
故答案为：C．
【分析】由已知条件和象限角的取值范围以及不等式的基本性质，从而得出，，，，再结合三角函数值在各象限的符号，从而逐项判断找出正确的选项．
5．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，
两边同时平方得，则，
所以.
故答案为：A.
【分析】先对已知式子两边平方，从而得出的值，再利用二倍角的余弦公式结合的值，从而得出的值.
6．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】因为 + = =2 ，故 三点共线.
故答案为：A.
【分析】利用三点共线的判断方法结合平面向量基本定理找出正确的选项。
7．【答案】A
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：，，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合已知条件中角的特点，从而可得，，再根据两角和的正切公式和已知条件中角的取值范围，从而判断角，的取值范围，从而得到角的取值范围，进而得出角的大小.
8．【答案】B
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：令，化简得，
即，解得，
因为，所以在上有两个不同的解，
设为且.
所以，且.
则，
所以，点关于点（，0）对称，
所以的面积为.
故答案为：B.
【分析】先联立解得的值，再利用函数的图象与函数的图象交于，两点，则该方程在上有两个不同的解，再根据解的特征可得，点关于点（，0）对称且的纵坐标的绝对值为，则由三角形的面积公式得出的面积.
9．【答案】B,C
【知识点】向量的物理背景与基本概念；向量的模；共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】解：对于A，因为向量的模相等，可能方向不相等，所以A错误；
对于B，因为两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B正确；
对于C，因为非零向量，，若，，则成立，所以C正确；
对于D，因为向量不能比较大小，所以D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量的模、向量共线定理、向量的定义，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由函数f(x)的图象知：，
所以，，
则，
因为点在图象上，
所以，
则，，
因为，所以，
则，
所以，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C错误；
因为，所以，
又因为在上单调递减，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据正弦型函数的图象求出函数的解析式，再结合代入法得出函数的值则判断出选项A；利用正弦型函数的图象变换判断出选项B；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，则得出正弦型函数的图象的对称性，则判断出选项C；利用换元法和正弦函数的图象的单调性，则得出正弦型函数在上的单调性，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、因为在正八边形中，，所以，
所以，故选项A正确；
B、因为与的夹角为，且，所以，故选项B正确；
C、易知，又，，所以，故选项C错误；
D、向量在向量上的投影为数值，而为向量，故选项D错误.
故选：AB．
【分析】根据正八边形的性质先求得∠AOD，进而利用向量的数量积公式即可判断选项A；根据向量加法的平行四边形法则可判断选项B；由，根据向量的数量积的公式即可判断选项C；根据投影的定义即可判断选项D.
12．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合两角差的正切公式，进而得出的值。
13．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到，
再将横坐标缩短为原来的得到，
再向右平移个单位长度得到.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和三角型函数的图象变换得出函数g(x)的解析式.
14．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：当时，，
由在内没有零点，
得是的子集，
则，
解得，
由，得，
因为，则或，
又因为，则或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据已知条件求出相位的取值范围，再利用正弦型函数的图象和性质结合指定区间上无零点，从而列出不等式组，进而求解得出的取值范围.
15．【答案】解：（1） 且，
，
.
（2）
=
==.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由已知条件和角的取值范围以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值．
（2）将原式结合诱导公式和同角三角函数基本关系式，从而化简为，再将代入得出的值．
16．【答案】（1）解：
（2）解：∵与的夹角是锐角，
∴且与不共线，
∵
，
∴，解得，
当与共线时，则存在实数，使，
∴，解得，
综上所述，实数t的取值范围是．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1)利用已知条件和数量积的运算律和数量积的定义，从而得出的值.
(2)利用两向量夹角为锐角，则且与不共线，再结合数量积的运算律和一元二次不等式求解方法得出t的取值范围，当与共线时，则存在实数，使，从而得出t的值，进而得出实数t的取值范围．
（1）；
（2）∵与的夹角是锐角，
∴且与不共线．
∵，
∴，解得．
当与共线时，则存在实数，使，
∴，解得．
综上所述，实数t的取值范围是．
17．【答案】（1）解：因为函数
，
又因为函数的最小正周期为，
所以．
（2）解：因为函数的最大值为，
此时，，得，，
故函数的最大值为2，取得最大值时自变量的取值集合为：.
（3）解：令，，
得，，
故函数的单调递减区间为，．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，从而对函数进行化简，进而可得，再根据正弦型函数的最小正周期公式求出的值.
（2）令，，再结合正弦函数的图象求最值的方法，从而得出正弦型函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量的取值集合.
（3）令，再结合正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数f(x)的单调递减区间.
（1）函数
，
因为函数的最小正周期为，所以．
（2）函数的最大值为，
此时，，
得，；
故函数的最大值为2，取得最大值时自变量的取值集合为；
（3）令，，
得，，
故函数的单调递减区间为，．
18．【答案】（1）解：由振幅为2，，可得，，
由噪声声波曲线经过点，
得，
因为，，
则，
则，
又因为降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，
所以.
（2）证明：由（1）得：
则
，
则为定值0.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数模型的其他应用
【解析】【分析】（1）先根据振幅为2求出A的值，将点代入解析式得出函数f(x)的解析式，再结合降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，从而得出降噪声波曲线g（x）的解析式.
（2）由（1）结合诱导公式和两角和的余弦公式，从而化简证出为定值.
（1）由振幅为2，，可得，，
由噪声声波曲线经过点，得，
而，，
则，则，
又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，
所以.
（2）由（1），
则
，
即为定值0.
19．【答案】（1）解：
当时，，
由且，得，
故，
所以的解集为．
（2）解：因为在上单调递减，
且，，
所以在上的值域为，
由题意得在上恒成立，
令，所以在恒成立，
当时，恒成立，所以，
当时，由，得恒成立，
又因为，
当时，即当时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】（1）当时，由可得，从而可得，再结合正弦函数的图象得出不等式的解集.
（2）利用函数的单调性求出函数在上的值域，令，可知在上恒成立，分、两种情况讨论，结合参变分离法和函数求最值的方法，再根据不等式恒成立问题求解方法可得实数的取值范围.
（1）解：，
当时，，
由且得，故，
所以的解集为．
（2）解：因为在上单调递减，且，，
所以在上的值域为．
由题意得在上恒成立，
令，于是在恒成立．
当时，恒成立，所以．
当时，由，得恒成立．
又，当即等号成立．
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
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