15-3-1 平方差公式

课件33张PPT。平方差公式探究1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律?
(x+3)(x-3)= ;
(m+2)(m-2)= ;
(2x+1)(2x-1)= ;[想一想]:这几道题目有什么共同特点?
从计算结果你能发现什么规律?猜想:(a+b)(a-b)= ? =x2-32x2-9m2-4=m2-224x2-1=(2x)2-12a2-b2a2-ab+ab+b2(a+b)(a-b) ==a2-b2证明:(1)图中阴影部分的面积为________.(3)比较(1)(2)的结果即可得到:(a+b)(a-b)=a2-b2 如图15.3 – 1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b
的小正方形(a＞b).则a2-b2(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)探究2:平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
公式的结构特征:(1)左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数.(2)右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方).(3)公式中的a,b可以代表数,字母,单项式或者多项式.【例1】运用平方差公式计算：
(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b)
(3) (-x+2y)(-x-2y) (4) (a-b+c)(a-b-c)例题解析(a + b) (a - b) = a2 - b2分析: ⑴ (3x+2)(3x-2) 3x3xaa22bb= a2 - b2=(3x)2-22 用公式关键是识别公式中的两数a, b.(a + b) (a - b) = a2 - b2解: ⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)23x3x-2222= 9x2 - 4⑵ (b+2a)(2a-b);b-b+2a2a=(2a+b)(2a-b)2a2a=(2a)2 =4a2 – b2bb-b2 (3) (-x+2y)(-x-2y) = (-x)2-(2y)2= x2-4y2(4) (a-b+c)(a-b-c)(a + b) (a - b) = a2 - b2变式一 ( －3X＋2)(－3X－2)变式二 ( －3X－2)(3X－2)变式三 (－3X＋2)(3X＋2)= (-3x)2-22变一变，你还能做吗？ =(-2)2-(3x)2=22-(3x)2注意当“a”或“b”是一分数 或是负数 或是数与字母的乘积 时,要用括号把这个数整个括起来. 最后的结果又要去掉括号。 口答计算(1+2x)(1?2x)=1?2x2
(2) (2a2+b2)(2a2?b2)=2a4?b4
(3) (3m+2n)(3m?2n)=3m2?2n21.指出下列计算中的错误： 第二数被平方时，未添括号。第一数被平方时，未添括号。第一数与第二数被平方时，都未添括号。纠 错 练 习2、判断下列式子是否可用平方差公式。 考考你 (1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b)

(3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2)

（5）
（6） (1-x)(-x-1)
（7 ）(-4k3+3y2)(-4k3-3y2)
是否是是是是否3.请你判断下列计算对不对？为什么？
(1) (x2+2)(x2-2)=x4-2 ( )
(2)(4x-6)(4x+6)=4x2-36 ( )
(3) (2x+3)(x-3)=2x2-9 ( )
(4) (5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 ( )
(5) (mn-1)(mn+1)=mn2-1 ( )×√×××
1.(200 + 5) (200 - 5)
2.(1 + 3b)(1 - 3b)
3.(4a + 3)(4a - 3)
4.(3x + 2y2)(3x - 2y2)
5.[(x + y) + z] [(x + y) –z ] = 200 2- 52= 12 - (3b)2 = (4a)2 - 32 = (3x)2- (2y2)2 = (x+y)2 - z2练习4运用平方差公式计算：随堂练习5.利用平方差计算:
(1) (3a+2b)(3a-2b)
(2) (a5-b2)(a5+b2)
(3) (a+2b+2c)(a+2b-2c)
(4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)www.czsx.com.cn例2 计算：⑴ 102 ×98;⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);例题解析(3) (a+3)(a-3)(a2+9)
(4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
(5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)⑴ 102 ×98102= (100+2)98(100-2)= 1002-22= 10000-4= 9996⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)yyyy22= y2 - 2215- (y2+4y-5)= y2-4-y2-4y+5= -4y+1www.czsx.com.cn例2 计算：(3) (a+3)(a-3)(a2+9)
(4) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)(x8+1)
(5) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)提高能力挑战极限 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (22n+1) 运用平方差公式计算：1) (a+2b+3)(a+2b-3)
2) (a+2b-3)(a-2b+3)
3) (a-2b+3)(a-2b-3)
4) (a-2b-3)(a+2b-3)
5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
6) (x+y+m+n)(x+y-m-n)[(a+2b)+3][(a+2b)-3][a+(2b-3)] [a-(2b-3)][(a-2b)+3] [(a-2b)-3][(a-3)-2b] [(a-3)+2b][(-5b)+(3a-2c)] [(-5b)-(3a-2c)][(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]考考你1.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：2、利用平方差公式计算：
1、(b + 2a )(2a - b)
2、(- 4a - 1)(4a - 1)
3、(3 + 2a)( - 3 + 2a)
4、( -0.3x - 1)( -0.3x + 1)
5、[x + (y + 1)] [x - (y + 1)]
6、(a + b + c) (a + b - c)
7、(a + b + c) (a – b + c)
8、(x + 3) (x - 3) (x2 + 9) (x4 + 81)考考你4a2－b21－16a24a2－90.09x2-1前4题口答，后四题板演 a2-b2=(a+b)(a-b) 逆向思维训练：
1、 ( )( ) = n2 - m2
2、( )( )= 4x2 - 9y2
3、( )( ) = 25 - a2n + mn - m2x + 3y2x - 3y5 + a5 - a例题解析说明:平方差公式也可以逆用,
即:a2-b2=(a+b)(a-b)补充练习1.下列多项式相乘，正确的有( )
(1)(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2
(2)(a-b+c)(-a+b-c)=b2-(a+c)2
(3)(a-b+c)a-b-c)=a2-(b-c)2
(4)(a+b-c)(a-b+c)=(b-c)2-a2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4个A2、巧算：99×101× 100013、计算：
1002-992+982-972+….+22-124、已知：(m+35)2=13302921,
求(m+45)(m+25)的值。 例4： 解方程:
6x+7(2x+3)(2x-3)-28解：6x＋7（4x2－9）－28（x2－1/4)=46x+28x2-63-28x2+7=46x=63-7+46x=60∴x=10
1.你能运用平方差公式编３个因式，使其积等于 x4 - y4 吗？
( )( )( )=x4 - y4

2.你能运用平方差公式编若干个因式，使其积等于216－１吗？
( )( )….( )=216 - 1
3.你会计算下列各式吗？
(1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)
(2)(3+1)(32 +1)(34 +1)(38 +1)(316 +1)
(3)(x+1)(x2 +1)(x4 +1)(x8 +1)(x16 +1)
知识拓展:X－yX＋yX2＋y22＋122＋128＋1216－10.5（332－1）1. 试用语言表述平方差公式 (a+b)(a?b)=a2?b2。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。2. 应用平方差公式时要注意一些什么？运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相同
的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式； 变成公式标准形式后，再用公式。 或提取两?”号中的“?”号，要利用加法交换律，3. 对于不符合平方差公式标准形式者，小 结一个长方形的长为 （√19 + √7）厘米，宽为（√19 - √7） 厘米，它的面积是多少？= 19 - 17= 2 (平方厘米)拓广探索5.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)
4) (x+ )(x2+ )(x- )解：1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
= (y2-4) –(9-y2)
= y2-4 –9+y2
= 2y2-135.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)
4) (x+ )(x2+ )(x- )解：2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
= –3x(x2-1) - x(4-9x2)
= –3x3+3x – 4x+9x3
= 6x3-x5.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)
4) (x+ )(x2+ )(x- )= -16y2+1+12y2-12y-9= -4y2-12y-8解:3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)= -4(4y2- )+3(4y2+2y-6y-3)5.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
3) –4(2y- )( +2y) + 3(2y-3)(2y+1)
4) (x+ )(x2+ )(x- )解：4) (x+ )(x2+ )(x- )= [(x+ )(x- )](x2+ )= (x2- )(x2+ )= x4-