第五章 《分式与分式方程》 4 分式方程（2）---北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
2．（2024八下·内江期中）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024八下·内江月考）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．m＞﹣4
C．m＜﹣4且m≠﹣16 D．m＞﹣4且m≠8
4．（2024八下·衡阳月考）方程的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
5．（2023八下·兴化月考）解分式方程，去分母后得到（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·江门开学考）分式方程的解为 ．
7．（2023八下·宁德期末）定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为 .
8．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是 ．
9．（2023八下·东海期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
10．（2023八下·长宁期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
三、解答题（共8题，共50分）
11．（2024八下·市中区期中）解方程：
12．（2024八下·攀枝花期中）解分式方程：．
13．（2020八下·偃师期末）解方程： .
14．（2024八下·普宁期末）解方程：．
15．（2024八下·南海月考）解方程：
16．（2015八下·扬州期中）解方程： = ．
17．（2020八下·姜堰期中）已知关于x的分式方程 ，
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
18．（2024八下·贵阳期中）阅读下面材料：
解方程：-=0.
解：设y=，则原方程化为y-=0，
方程两边同时乘y，得y2-4=0，
解得y=±2.
经检验，y=±2都是方程y-=0的解.
当y=2时，=2，解得x=-1；
当y=-2时，=-2，解得x=.
经检验，x=-1，x=都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
解答下面的问题：
（1）对于方程-=4，若设 =y，则原方程可化为 ，原方程的解为 .
（2）模仿上述换元法解方程：
--1=0.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
2．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘，得
，
原方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
故答案为：C．
【分析】由题意，把分式方程的各项同时乘以最简公分母（x-3）去分母将分式方程转化为整式方程；根据方程有增根的意义“分母=0”可得关于x的方程，解方程求出x的值，将的值代入整式方程计算即可求解．
3．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
令，且，
解得，且，，
综上，，且，
故答案为：C．
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数建立不等式，同时考虑增根，综合求解即可。
4．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
解：
因式分解得：.
通分得：.
去分母得：x＋2＋x－2＝2
合并同类项得：2x＝2
系数化为1得：x＝2÷2
x＝1
经检验：x=1为该分式方程的根
故答案为：A
【分析】本题考查解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题关键.
5．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.
6．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，方程的两边同时乘以得：
，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验：将代入，
∴是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解得到x的值，最后进行验根，即可得到分式方程的解．
7．【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的根，
即x的值为1．
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则得到，求出x值即可．
8．【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
9．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得：3x=-m+4(x-1)，
解得：x=m+4，
∵分式方程的解为正数，
∴m+4＞0，且m+4≠1，
解得：且；
故答案为：且.
【分析】先解分式方程得x=m+4，再利用分式方程的解为正数，可得x＞0且x≠1，据此解答即可.
10．【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】 方程，
设，
则y+=3
∴
即
【分析】本题考查分式方程的换元法。用换元的方法使原方程转化成整式方程，进行求解，因此黑设元很重要，仔细观察，方程左边与互为倒数，可设。
11．【答案】解：，两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】两边都乘以化为整式方程，解方程求解，再验根解题．
12．【答案】解：方程两边同乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x﹣2）x﹣（x+2）2＝8，
x2﹣2x﹣x2﹣4x﹣4＝8，
﹣6x＝12，
x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2不是原方程的根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】左右两边同乘以最简公分母是x2﹣4，化成整式方程后按解整式方程的步骤计算即可，解答需注意解分式方程一定要验根．
13．【答案】解：方程两边同乘（x+3）（x-3）得：x-3+2x+6=12
移项、合并同类项得：3x=9
解得：x=3
检验：把x=3代入（x+3）（x-3）得：（x+3）（x-3）=0，
∴x=3是原分式方程的增根，
所以原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先在方程两边同乘以最简公分母（x+3）（x-3），将其转化为关于x的一元一次方程再求解检验即可得出方程的解.
14．【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
15．【答案】解：
x=2
把x=2带入分母x-3，得2-3=-1≠0，
∴x=2是原方程得解。
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】先对等号左边得式子进行通分，在把等式两边去分母，求出x得值，最后进行验根即可。
16．【答案】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17．【答案】（1）解：方程两边都乘以 得，
分式方程有增根
解得
解得
（2）解：方程两边都乘以 得，
解得
方程的根为正数
，且
，且
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母 ，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出 的值；（2）解分式方程得 ，根据方程的解为正数得出 ，且 ，解不等式即可得出答案．
18．【答案】（1）y-=4；x=或x=-
（2）原方程化为-=0.
设y=，则原方程化为y-=0，
方程两边同时乘y，得y2-1=0，
解得y=±1.
经检验，y=±1都是方程y-=0的解.
当y=1时，=1，该方程无解；
当y=-1时，=-1，解得x=-.
经检验，x=-是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-.
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：（1） 设 =y， 则原方程可转化为：y-5×=4，即y-，
解方程，得：y1=5，y2=-1，
经检验，y1=5，y2=-1，是分式方程的解，
当y1=5时，=5，解得：x=，
经检验，x=是分式方程=5的解；
当y2=-1时，=-1，解得：x=，
经检验：x=是分式方程=-1的解。
故第1空答案为：y-；第2空答案为：x=或x=；
【分析】（1）设 =y，根据换元法先把原方程转化为未知数为y的方程y-，然后解方程求得y的值，然后再根据=y，分别求得相应的x的值即可；
（2）首先把原方程整理为：-=0. 然后 设y=， 把原方程换元为： y-=0， 先求y的值，并进行检验，然后再根据y=，进一步求得x的值即可，注意检验。
1 / 1第五章 《分式与分式方程》 4 分式方程（2）---北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·开福开学考）若分式方程无解，则的值是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边同时乘得：
，
，
，
，
分式方程无解，
，
，
，
解得：，
分式方程无解，
，
解得：，
综上可知：或，
故答案为：．
【分析】先化简分式方程为（a-2）x=-3，根据题意可得x为增根或a-2=0，分别求出对应的a的值即可．熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
2．（2024八下·内江期中）若关于x的方程有增根，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘，得
，
原方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
故答案为：C．
【分析】由题意，把分式方程的各项同时乘以最简公分母（x-3）去分母将分式方程转化为整式方程；根据方程有增根的意义“分母=0”可得关于x的方程，解方程求出x的值，将的值代入整式方程计算即可求解．
3．（2024八下·内江月考）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣4 B．m＞﹣4
C．m＜﹣4且m≠﹣16 D．m＞﹣4且m≠8
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
令，且，
解得，且，，
综上，，且，
故答案为：C．
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数建立不等式，同时考虑增根，综合求解即可。
4．（2024八下·衡阳月考）方程的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
解：
因式分解得：.
通分得：.
去分母得：x＋2＋x－2＝2
合并同类项得：2x＝2
系数化为1得：x＝2÷2
x＝1
经检验：x=1为该分式方程的根
故答案为：A
【分析】本题考查解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题关键.
5．（2023八下·兴化月考）解分式方程，去分母后得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：.
故答案为：B.
【分析】给方程两边同时乘以(x-1)即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2025八下·江门开学考）分式方程的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，方程的两边同时乘以得：
，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验：将代入，
∴是原分式方程的解，
故答案为：．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，再通过移项、合并同类项、系数化为1，求出整式方程的解得到x的值，最后进行验根，即可得到分式方程的解．
7．（2023八下·宁德期末）定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，，若，则x的值为 .
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
经检验，是分式方程的根，
即x的值为1．
故答案为：．
【分析】根据新定义的运算法则得到，求出x值即可．
8．（2024八下·丰都县期末）如果关于的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数的和是 ．
【答案】-4
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：
∵ 的图象过一、三、四象限，
∴
∴-4解 ，
去分母，得x-(m+1)=2(x-2)，
解得x=3-m.
∵原分式方程有非负整数解，
∴x=3-m≠2，即m≠1，
综上所述，-4∴m=-3时，x=3-(-3)=6，符合题意；
m=-2时，x=3-(-2)=5，符合题意；
m=-1时，x=3-(-1)=4，符合题意；
m=0时，x=3-0=3，符合题意；，
m=2时，x=3-2=1，符合题意.
∴符合题意的整数m有：-3，-2，-1，0，2，
和是-3-2-1+0+2=-4.
故答案为：-4.
【分析】整数m要符合的条件有：使分式方程有解（非增根，隐含条件），且解为非负整数，使一次函数的图象过一、三、四象限；首先用m表示出分式方程的解，求出使分式方程的解非增根时，m的取值范围，再根据一次函数的图象求出m的求值范围，取两者的公共部分；最后验证这个部分哪些整数m使分式方程的解是非负整数.
9．（2023八下·东海期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解： ，
去分母得：3x=-m+4(x-1)，
解得：x=m+4，
∵分式方程的解为正数，
∴m+4＞0，且m+4≠1，
解得：且；
故答案为：且.
【分析】先解分式方程得x=m+4，再利用分式方程的解为正数，可得x＞0且x≠1，据此解答即可.
10．（2023八下·长宁期末）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为 ．
【答案】
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】 方程，
设，
则y+=3
∴
即
【分析】本题考查分式方程的换元法。用换元的方法使原方程转化成整式方程，进行求解，因此黑设元很重要，仔细观察，方程左边与互为倒数，可设。
三、解答题（共8题，共50分）
11．（2024八下·市中区期中）解方程：
【答案】解：，两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】两边都乘以化为整式方程，解方程求解，再验根解题．
12．（2024八下·攀枝花期中）解分式方程：．
【答案】解：方程两边同乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x﹣2）x﹣（x+2）2＝8，
x2﹣2x﹣x2﹣4x﹣4＝8，
﹣6x＝12，
x＝﹣2，
经检验：x＝﹣2不是原方程的根，
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】左右两边同乘以最简公分母是x2﹣4，化成整式方程后按解整式方程的步骤计算即可，解答需注意解分式方程一定要验根．
13．（2020八下·偃师期末）解方程： .
【答案】解：方程两边同乘（x+3）（x-3）得：x-3+2x+6=12
移项、合并同类项得：3x=9
解得：x=3
检验：把x=3代入（x+3）（x-3）得：（x+3）（x-3）=0，
∴x=3是原分式方程的增根，
所以原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先在方程两边同乘以最简公分母（x+3）（x-3），将其转化为关于x的一元一次方程再求解检验即可得出方程的解.
14．（2024八下·普宁期末）解方程：．
【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
15．（2024八下·南海月考）解方程：
【答案】解：
x=2
把x=2带入分母x-3，得2-3=-1≠0，
∴x=2是原方程得解。
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】先对等号左边得式子进行通分，在把等式两边去分母，求出x得值，最后进行验根即可。
16．（2015八下·扬州期中）解方程： = ．
【答案】解：去分母得：x2+2x﹣x2+4=8，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
17．（2020八下·姜堰期中）已知关于x的分式方程 ，
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【答案】（1）解：方程两边都乘以 得，
分式方程有增根
解得
解得
（2）解：方程两边都乘以 得，
解得
方程的根为正数
，且
，且
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母 ，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出 的值；（2）解分式方程得 ，根据方程的解为正数得出 ，且 ，解不等式即可得出答案．
18．（2024八下·贵阳期中）阅读下面材料：
解方程：-=0.
解：设y=，则原方程化为y-=0，
方程两边同时乘y，得y2-4=0，
解得y=±2.
经检验，y=±2都是方程y-=0的解.
当y=2时，=2，解得x=-1；
当y=-2时，=-2，解得x=.
经检验，x=-1，x=都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-1或x=.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
解答下面的问题：
（1）对于方程-=4，若设 =y，则原方程可化为 ，原方程的解为 .
（2）模仿上述换元法解方程：
--1=0.
【答案】（1）y-=4；x=或x=-
（2）原方程化为-=0.
设y=，则原方程化为y-=0，
方程两边同时乘y，得y2-1=0，
解得y=±1.
经检验，y=±1都是方程y-=0的解.
当y=1时，=1，该方程无解；
当y=-1时，=-1，解得x=-.
经检验，x=-是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=-.
【知识点】换元法解分式方程
【解析】【解答】解：（1） 设 =y， 则原方程可转化为：y-5×=4，即y-，
解方程，得：y1=5，y2=-1，
经检验，y1=5，y2=-1，是分式方程的解，
当y1=5时，=5，解得：x=，
经检验，x=是分式方程=5的解；
当y2=-1时，=-1，解得：x=，
经检验：x=是分式方程=-1的解。
故第1空答案为：y-；第2空答案为：x=或x=；
【分析】（1）设 =y，根据换元法先把原方程转化为未知数为y的方程y-，然后解方程求得y的值，然后再根据=y，分别求得相应的x的值即可；
（2）首先把原方程整理为：-=0. 然后 设y=， 把原方程换元为： y-=0， 先求y的值，并进行检验，然后再根据y=，进一步求得x的值即可，注意检验。
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