第五章 《分式与分式方程》 4 分式方程（3）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·贵阳期中）对于非零的两个实数a，b，规定a*b=-.若5*(3x-1)=2，则x的值为( )
A． B． C． D．-
2．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.4分式方程课时2）关于x的方程 =2+ 无解，则m的值为（ ）
A．-5 B．-8 C．-2 D．5
3．（2024八下·坪山期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·贵阳期中）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是( )
A．= B．=
C．= D．=
5．（2024八下·未央月考）茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·攀枝花期中）若解关于x 的分式方程时产生增根，则 ．
7．（2024八下·常州期中）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 2 0.5 c
分式的值 无意义 0 3
则c的值是 ．
8．（2024八下·射洪月考）对于两个不相等的数、，我们规定min{，}()表示、中的较小的值.例min{2，3}=2，按照这个规定，方程min的解为 .
9．（2021八下·虎林期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为 ．
10．（2023八下·南京期末）某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨.设原计划每天生产化肥吨.根据题意，列方程为 .
三、解答题（共7题，共50分）
11．（2024八下·连州期末）解方程：．
12．（2024八下·南关期中）解分式方程：．
13．（2019八下·长宁期末）解方程： ．
14．（2024八下·济南期中） 解分式方程：．
15．（2024八下·邓州期中）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同．
（1）求，两种文具的单价；
（2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？
16．（2024八下·未央月考）垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少元，且元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
17．（2024八下·深圳期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ 规定a*b=-，
∴5*（3x-1）=，
解方程，得：x=.
故答案为：B。
【分析】首先根据新定义，可得出方程，解方程即可得出x的值。
2．【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：3x-2=2（x+1）+m
整理得：3x-2=2x+2+m
x=4+m
∵原方程无解
∴x+1=0
∴x=-1
∴-1=4+m
解之：m=-5
故答案为：A
【分析】先将原方程去分母转化为整式方程，求出x=4+m，根据原方程无解求出x=-1，再建立关于m的方程求解，即可得出m的值
3．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，利用“人均捐款额＝捐款总额÷捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”，即可列出关于x的分式方程．
4．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设实际每天植树x棵， 则原计划每天植树（x-50）棵。
根据题意，得：.
故答案为：B。
【分析】 设实际每天植树x棵， 则原计划每天植树（x-50）棵，根据 实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，即可得出方程。
5．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故答案为：D．
【分析】根据提前30天完成这一任务列方程即可．
6．【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：最简公分母：x-2，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
若分式方程有增根，则
即：
解得：．
故答案为：．
【分析】先确定最简公分母，再解含参的分式方程，根据分式方程增根的概念，即可求出参数a的值.
7．【答案】5
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；解分式方程
【解析】【解答】解：由表格数据得：当时，分式无意义，
∴，
∴，
当时，分式的值为0，
∴，
解得：，
∴分式为，
当分式的值为3时，即，
解得：，
检验，为分式方程的解，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据表格的数据求出，，再计算分式的值为3时的x值即可．
8．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据定义，①若，此时化为整式方程并整得得x=1，
经经验，x=1是方程的增根，故此时分式方程无解，即.
②若，解得x<1， min，
即，解得x=2，
经检验当x=2时，与x<1矛盾，舍去；
③若，解得x>1， min，
即，解得，
综上所述，.
故填：.
【分析】由定义进行大小比较分类，进一步解出对应分式方程即可.
9．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则
故答案为：
【分析】根据题意求出即可作答。
10．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天生产化肥x吨，则实际每天生产(x+3)吨，由题意可得.
故答案为：.
【分析】设原计划每天生产化肥x吨，则实际每天生产(x+3)吨，然后表示出原计划、实际所用的天数，再根据天数相同就可列出方程.
11．【答案】解：方程两边都乘，得
，
解得．
经检验为增根，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母后再直接解一元一次方程并检验结果即可.
12．【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
13．【答案】解：去分母，得 ，移.整理得 ，经检验： 是增根，舍去； 是原方程的根，所以，原方程的根是 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母，把分式方程化为整式方程．注意要验根．
14．【答案】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）＝18，
化简得3x+9＝18，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解。
15．【答案】（1）解：设文具的单价为元，则文具的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：文具的单价为元，则B文具的单价为元；
（2）设年级组购买种文具件，根据题意，得：，
解得，
∴年级组至少购买种文具件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（）设文具的单价为元，根据“用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同”列分式方程解题即可可；
（）设年级组购买种文具件，根据“购买这两种文具的总费用不超过元”列不等式解答即可.
16．【答案】（1）解：设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为元/个，元/个．
（2）解：设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个，
根据题意得：，
解得，
m为整数，
的最小值为，
至少需购买甲型垃圾桶个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，根据“元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个，根据“ 总费用不超过元 ”列出不等式，再求解即可.
17．【答案】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，则去年同期A款汽车每辆售价为万元，
依意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：今年5月份A款汽车每辆售价为8万元.
（2）解：设购进m辆A款汽车，则购进辆B款汽车，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为7，8，9
∴共有3种进货方案，
第一种方案：进A款汽车7辆，B款汽车8辆；
第二种方案：进A款汽车8辆，B款汽车7辆；
第三种方案：进A款汽车9辆，B款汽车6辆.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：今年的销售单价+1=去年的销售单价，去年90万销售额卖的车=今年80万销售额卖的车；设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，根据等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意可得：A款汽车的数量+B款汽车的数量=15，99<两款汽车的总进价<105，设购进A款汽车m辆，列不等式组求解即可得到所有的进货方案.
1 / 1第五章 《分式与分式方程》 4 分式方程（3）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·贵阳期中）对于非零的两个实数a，b，规定a*b=-.若5*(3x-1)=2，则x的值为( )
A． B． C． D．-
【答案】B
【知识点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ 规定a*b=-，
∴5*（3x-1）=，
解方程，得：x=.
故答案为：B。
【分析】首先根据新定义，可得出方程，解方程即可得出x的值。
2．（2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：5.4分式方程课时2）关于x的方程 =2+ 无解，则m的值为（ ）
A．-5 B．-8 C．-2 D．5
【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：3x-2=2（x+1）+m
整理得：3x-2=2x+2+m
x=4+m
∵原方程无解
∴x+1=0
∴x=-1
∴-1=4+m
解之：m=-5
故答案为：A
【分析】先将原方程去分母转化为整式方程，求出x=4+m，根据原方程无解求出x=-1，再建立关于m的方程求解，即可得出m的值
3．（2024八下·坪山期末）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，
根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，利用“人均捐款额＝捐款总额÷捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”，即可列出关于x的分式方程．
4．（2024八下·贵阳期中）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵，则下列方程正确的是( )
A．= B．=
C．= D．=
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设实际每天植树x棵， 则原计划每天植树（x-50）棵。
根据题意，得：.
故答案为：B。
【分析】 设实际每天植树x棵， 则原计划每天植树（x-50）棵，根据 实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同，即可得出方程。
5．（2024八下·未央月考）茅洲河的治理，实现了水清、岸绿、景美．某工程队承担茅洲河某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故答案为：D．
【分析】根据提前30天完成这一任务列方程即可．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·攀枝花期中）若解关于x 的分式方程时产生增根，则 ．
【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：最简公分母：x-2，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
若分式方程有增根，则
即：
解得：．
故答案为：．
【分析】先确定最简公分母，再解含参的分式方程，根据分式方程增根的概念，即可求出参数a的值.
7．（2024八下·常州期中）已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息：
x的取值 2 0.5 c
分式的值 无意义 0 3
则c的值是 ．
【答案】5
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；解分式方程
【解析】【解答】解：由表格数据得：当时，分式无意义，
∴，
∴，
当时，分式的值为0，
∴，
解得：，
∴分式为，
当分式的值为3时，即，
解得：，
检验，为分式方程的解，
∴，
故答案为：5．
【分析】根据表格的数据求出，，再计算分式的值为3时的x值即可．
8．（2024八下·射洪月考）对于两个不相等的数、，我们规定min{，}()表示、中的较小的值.例min{2，3}=2，按照这个规定，方程min的解为 .
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：根据定义，①若，此时化为整式方程并整得得x=1，
经经验，x=1是方程的增根，故此时分式方程无解，即.
②若，解得x<1， min，
即，解得x=2，
经检验当x=2时，与x<1矛盾，舍去；
③若，解得x>1， min，
即，解得，
综上所述，.
故填：.
【分析】由定义进行大小比较分类，进一步解出对应分式方程即可.
9．（2021八下·虎林期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则
故答案为：
【分析】根据题意求出即可作答。
10．（2023八下·南京期末）某化肥厂原计划五月份生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨.设原计划每天生产化肥吨.根据题意，列方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天生产化肥x吨，则实际每天生产(x+3)吨，由题意可得.
故答案为：.
【分析】设原计划每天生产化肥x吨，则实际每天生产(x+3)吨，然后表示出原计划、实际所用的天数，再根据天数相同就可列出方程.
三、解答题（共7题，共50分）
11．（2024八下·连州期末）解方程：．
【答案】解：方程两边都乘，得
，
解得．
经检验为增根，原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】先去分母后再直接解一元一次方程并检验结果即可.
12．（2024八下·南关期中）解分式方程：．
【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
13．（2019八下·长宁期末）解方程： ．
【答案】解：去分母，得 ，移.整理得 ，经检验： 是增根，舍去； 是原方程的根，所以，原方程的根是 ．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】去分母，把分式方程化为整式方程．注意要验根．
14．（2024八下·济南期中） 解分式方程：．
【答案】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）＝18，
化简得3x+9＝18，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解。
15．（2024八下·邓州期中）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同．
（1）求，两种文具的单价；
（2）若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？
【答案】（1）解：设文具的单价为元，则文具的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
，
答：文具的单价为元，则B文具的单价为元；
（2）设年级组购买种文具件，根据题意，得：，
解得，
∴年级组至少购买种文具件．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（）设文具的单价为元，根据“用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同”列分式方程解题即可可；
（）设年级组购买种文具件，根据“购买这两种文具的总费用不超过元”列不等式解答即可.
16．（2024八下·未央月考）垃圾分类齐参与，美好生活共创建．为巩固创文成果，某社区计划购买甲，乙两种型号的垃圾桶．已知每个甲型垃圾桶比每个乙型垃圾桶少元，且元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同．
（1）求甲、乙两种型号的垃圾桶的单价；
（2）若需购买甲，乙两种型号的垃圾桶共个，总费用不超过元，至少需购买甲型垃圾桶多少个？
【答案】（1）解：设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲、乙两种型号的垃圾桶的单价分别为元/个，元/个．
（2）解：设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个，
根据题意得：，
解得，
m为整数，
的最小值为，
至少需购买甲型垃圾桶个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种型号的垃圾桶的单价为元/个，则甲种型号的垃圾桶的单价为元/个，根据“元购买甲型垃圾桶的数量与元购买乙型垃圾桶的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设购买甲型垃圾桶个，则购买乙型垃圾桶个，根据“ 总费用不超过元 ”列出不等式，再求解即可.
17．（2024八下·深圳期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用少于105万元且多于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有哪几种进货方案？
【答案】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，则去年同期A款汽车每辆售价为万元，
依意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意.
答：今年5月份A款汽车每辆售价为8万元.
（2）解：设购进m辆A款汽车，则购进辆B款汽车，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为7，8，9
∴共有3种进货方案，
第一种方案：进A款汽车7辆，B款汽车8辆；
第二种方案：进A款汽车8辆，B款汽车7辆；
第三种方案：进A款汽车9辆，B款汽车6辆.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据题意得等量关系：今年的销售单价+1=去年的销售单价，去年90万销售额卖的车=今年80万销售额卖的车；设今年5月份A款汽车每辆售价为x万元，根据等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意可得：A款汽车的数量+B款汽车的数量=15，99<两款汽车的总进价<105，设购进A款汽车m辆，列不等式组求解即可得到所有的进货方案.
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