课件24张PPT。3.3.2简单线性规划问题可行域上的最优解问题1:
央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ 把问题1的有关数据列表表示如下:设电视台每周应播映片甲x次， 片乙y次，
总收视观众为z万人
①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；
②拖动直线l平移，平移过程中可以显示z值的大小变化。问题：求利润z=2x+3y的最大值.当x=3， y=2时，zmax=220。象这样关于x,y一次不等
式组的约束条件称为
线性约束条件Z=2x+3y称为目标函数,(因这里
目标函数为关于x,y的一次式,又
称为线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数
的最值问题,统称为线性规划,满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最值的可行解叫做这个
问题的最优解变式：若生产一件甲产品获利1万元，
生产一件乙产品获利3万元，采用哪种
生产安排利润最大？N（2，3）变式：求利润z=x+3y的最大值.相关概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解
（x，y）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成表格解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/7 它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。M 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。[练习]解下列线性规划问题：1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：Zmin=-3Zmax=3解线性规划问题的步骤： （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行
线中，利用平移的方法找出与可行
域有公共点且纵截距最大或最小的直线 （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。 （1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；体验:二、最优解一般在可行域的顶点处取得．三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．一、先定可行域和平移方向，再找最优解。 小 结 本节主要学习了线性约束下如何求目
标函数的最值问题
正确列出变量的不等关系式,准确作出
可行域是解决目标函数最值的关健
线性目标函数的最值一般都是在可行域
的顶点或边界取得.
把目标函数转化为某一直线,其斜率与
可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要
弄清楚.《简单的线性规划及其应用》教案
一、教学目标：
1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；
2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；
3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
2．能力目标: 1、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；
2、理解线性规划问题的图解法；
3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；
4、 让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。
3．情感目标： 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；
2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二、教学重、难点：
教学重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；
2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
教学难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；
2、在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优解。
三、教学过程：
数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1、创设情境， 提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法；4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结；6、布置作业，巩固提高。
创设情境， 提出问题：
李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目，想必大家都看过．
当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题：
例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生思考。
【设计意图】数学是现实世界的反映。通过学生关注的热点问题引入，激发学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
2、分析问题，解决问题
那么如何解决这个求最值的问题呢？我让学生先自主探究，再分组讨论交流，在学生遇到困难时，我运用化归和数形结合的思想引导学生转化问题，突破难点。
分析：将已知数据列成下表
播放片甲
播放片乙
节目要求
片集时间（min）
3.5
1
≤16
广告时间（min）
0.5
1
≥3.5
收视观众（万）
60
20
先请学生回答提出的问题，然后总结再根据所求设出未知参数，得到目标函数。
解：设电视台每周应播映片甲x次， 片乙y次，总收视观众为z万人。
列约束条件时，要注意讲清xN.yN，这是学生容易忽略的问题。
列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解。
先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后教师用多媒体课件展示画图、平移过程：
①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；
②拖动直线l平移，平移过程中可以显示z值的大小变化。
由图解法可得：当x=3， y=2时，zmax=220。
答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多。
例题小结：
简单线性规划应用问题的求解步骤：
（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）
1． 将已知数据列成表格的形式，设出变量x，y和z;
2． 找出约束条件和目标函数;
3． 作出可行域，并结合图象求出最优解;
4． 按题意作答。
【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造。让学生自主探究，体验数学知识的发生、发展的过程，体验转化和数形结合的思想方法，从而使学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。
3、复习概念，回顾方法
就在学生解决了问题之后，我就此给出相关概念，供学生回味复习：
不等式组是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。由于又是x、y的一次解析式，所以又叫做线性目标函数。
一般的，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。其中使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解。象上述求解线性规划问题的方法叫图解法。
概念复习之后，再进行解题回顾，解题回顾是解题过程中重要又常被学生忽略的一个环节。我借用多媒体辅助教学，动态演示解题过程，引导学生归纳、提炼求解步骤：
（1） 画可行域——画出线性约束条件所确定的平面区域；
（2） 过原点作目标函数直线的平行直线l 0；
（3） 平移直线l 0，观察确定可行域内最优解的位置；
（4） 求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解代入目标函数求最值。
简记为画——作——移——求四步。
【设计意图】由前面实际问题的解决自然地过渡到概念的复习和解题方法的回顾，使得知识的衔接较为顺畅。
4、实际应用，强化思想
为了让学生更好地理解图解法求线性规划问题的内在规律，我再出一道例题，让同学们自主完成。提示同学们始终按照前面的思路解决问题。
例题小结：
确定最优整数解的方法：
1、若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）
2、若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解；这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范。
（结合例题1、例题2，可以归纳出以上两点）
【设计意图】始终围绕本节课的目标，让同学们进一步的在理解的基础上学会运用。
5、自主思考，归纳总结
请同学们相互讨论交流：
1、本节课你学习到了哪些知识？
2、本节课渗透了些什么数学思想方法？
（引导学生从知识和思想方法两个方面进行小结）
知识：1、把实际问题转化成线性规划问题即建立数学模型的方法。建模主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，如例题1．（链接到例题1，进行具体实例回顾）
2、求解整点最优解的解法：网格法。网格法主要依赖作图，要规范地作出精确图形。（链接到例题2，进行具体实例回顾）
思想方法：数形结合思想、化归思想，用几何方法处理代数问题。
【设计意图】有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生数学交流和表达的能力。
6、布置作业，巩固提高
1、阅读本节内容，完成课本P65 习题7.4 第2题。
2、思考题：私人办学市教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据表（以班级为单位）：
班级学生数
配备教师数
硬件建设（万元）
教师年薪（万元）
初中
50
2.0
20
2.4
高中
40
2.5
70
3.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制。预计出书本费、办公费以外每个学生每年2000元，高中每个学生每年可收取4000元，因生源和环境条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制。初、高中的教育周期均为三年，请你合理安排招生计划，使年利润最大。
【设计意图】让学生巩固所学内容并进行自我检测与评价，并为下一课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。
评价分析
本节课我的设计理念遵循以下四条原则：以问题为载体；以学生为主体；以合作交流为手段；以能力提高为目的。重视概念的提取过程；知识的形成过程；解题的探索过程；情感的体验过程。学生通过自主探究、合作交流，体会合作学习的默契和谐，体会冥思苦想后的豁然开朗，体会逻辑思维的严谨美，体会一题多变的变幻美，体会数形结合的奇异美。
附：课堂上中适当穿插高等数学知识，如运筹学、数学建模、最优化方案、最小生成树、动态规划等基本概念，以提高同学们进一步学习数学的兴趣。
