湖北省荆州市松滋市贺炳炎中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷(pdf版,含详解)

高一年级数学试卷 A． 0 > 1 B．ln( 2 0 ) = 0
C． 0 > 0 D． 2
0
0 < 0
本试卷满分 150分，考试时间：120 分钟。
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

9、Δ 的内角 , , 的对边分别为 , , , = √7, = 2, = ,则（ ） 3
1、已知 , ∈ R, 为虚数单位,且( + 2) + 2 = ,则 + 的值为（ ）
√21A． = 3 B．sin =
7
A．1 B．2 C．3 D．4
√21 7 C．sin = D．Δ 外接圆的面积为
3
2、简谐运动 = 4sin(5 )
7
的相位与初相是（ ）
3
10、已知 ( ) = log ( > 0,且 ≠ 1),则下列结论正确的是（ ）
A．5 , B．5 ,4 C．5 , D．4,
3 3 3 3 3 3
A．当 > 1时, ( )在(0,+∞)上是增函数
3、设非零向量 与 的夹角为 ,定义 与 的“向量积”: × 是一个向量,它的模
B．不等式 ( ) < 0的解集是(0,1)
| × | = | || |sin ,若 = (1,0), = (√3, 1),则| × | =（ ）
C． ( )的图象过定点(1,0)
A．1 B． √3 C．2√3 D．2
D．当 = 2时, ( )的图象与 ( ) = 0.01 的图象有且只有一个公共点
4、已知点 (1,3), (4, 1),则与向量 的方向相反的单位向量是（ ） π
11、已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如下图所示,
3 4 4 3 3 4 4 3 2
A．( , ) B．( , ) C．( , ) D．( , )
5 5 5 5 5 5 5 5
则下列给论中正确的是（ ）
5、已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 (2 , 2),

A． =
4 3
且cos = ,则实数 的值是（ ）
5

4 4 B． ( )的图象可由 = sin2 的图象向左平移
A． 4和 B． C． 4 D．1
5 5 3
π
6、为了得到函数 = sin( + )的图像,只需把余弦函数上所有点（ ） 个单位长度得到
6
π 11
A．向左平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度 C． = 是函数 ( )图象的一条对称轴
6 12
π π
C．向右平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度 D．若| ( 1) (
2)| = 2,则|
2
6 1
|的最小值为
2
7、Δ 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,若 2
+
2

2
= √3 ,则∠ 的大小 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
sin( + )
为（ ） 12、如果tan ,tan 是方程 2 2 2 = 0的两根,则 =__________. cos( )
5 2
A． B． C． 或 D． 或 13、若(1 + )2( 为虚数单位)是纯虚数,则实数 =__________.
6 3 6 6 3 3
8、已知 0是函数 ( ) =
+ 2的零点,则( )

14、已知函数 ( ) = sin + √3cos ( > 0), ( ) + ( ) = 0, ( )在区间( , )上 18、（17 分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕,运动员休6 2 6 2
单调递减,则 =__________. 息区本着环保 舒适 温馨这一出发点,进行精心设计,如图,在四边形 休闲区域,
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了氢能源环保电动步道
3
棸。） ,∠ = 2∠ ,且 = 1, = 3, √cos = .
3
15、(13分）设 , 是两个不共线的向量,已知 = 2 1 2 1 8

2, = 1 + 3
, 2 = （1）求氢能源环保电动步道 的长;
2 1
2. （2）若______.;求花卉种植区域总面积.
π
（1）求证: , , 三点共线; 从①∠ = ,② = 6这两个条件中任选一个,补
3 √
（2）若 = 3 1
2,且 ∥ ,求实数 的值. 充在上面问题中并作答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
4
16、（15 分）已知 , 为锐角,sin = ,tan( + ) = 2. 19、（17 分）如图, , 分别是矩形 的边 和 上的动点,且 = 2, = 1.
5
（1）求tan 的值; （1）若 , 都是中点,求 · .
（2）求cos( )的值. （2）若 , 都是中点, 是线段 上的任意一点,求 · 的最大值.
（3）若∠ = 45 ,求 · 的最小值.
1+
17、（15 分）已知函数 ( ) = log 2 . 1
（1）求证： ( )是奇函数;
1 1
（2）求不等式 ( 2 + 1) + ( ) > 0的解集. 2 2
高一数学期中考试参考答案 故选:D.
7．【答案】A
一、选择题（每小题 5分，共 8小题 40分）
2 +
2

2
√3 3
1．【答案】B 【解析】由题意, = ,结合余弦定理可知
√
cos = ,∵0 < < ,∴ = .
2 2 2 6
【解析】因为 , ∈ R,( + 2) + 2 = , 8．【答案】B
2 = = 4
所以{ ,得{ ,所以 + = 4 2 = 2.故选:B. 【解析】 = , = 2均为单调增函数,故 ( )为单调增函数;
+ 2 = 0 = 2
对 A:因为 (0) = 1, (1) = 1 > 0,故 0 ∈ (0,1),故 A 错误; 2．【答案】C
0
对 B:因为 +
0 2 = 0,故
0 = 2 0 > 0,两边取对数可得 0 = ln( 2 0 ),故 B 正确;
【解析】相位是5 ,当 = 0时的相位为初相即 .
3 3 2 对 C: 0 = 2 ,故 0 = 0 0 0 0 0( 2 0 ) = ( 0 1 ) + 1 < 1,则 0 < ,则 0 < 0,故 C
故选:C.
错误;
3．【答案】A
对 D:因为 ∈ (0,1),2 2 00 0 ∈ (1,2),故 ∈ ( ,
2
),则
2 0 2 0
> , > 0,故 D 错误.
【解析】由已知可得, = ( 1,0 ),| | = √12 2 + 0 = 1, 故选:B.
= ( √3, 1 ), √ 2 2 , 二、多选题（每小题 5分，共 3小题 15分）
| | = (√3) + 1 = 2
9．【答案】A,B,D
· 1×√3+0×1 √3 1
cos = = = ,所以sin = √1 (cos )2 = ,
| || | 1×2 2 2
【解析】设Δ 的外接圆的半径为 ,∵ = = = 2 ,
1 sin sin sin
由定义可得| × | = | || |sin = 1 × 2 × = 1.故选:A.
2 √7 2
= = = 2 21 21
7
∴ ,∴ √ , √
sin sin sin sin = = ,则Δ 外接圆的面积为
2
= ,∵
2 2 2
= +
4．【答案】 3A 3 7 3
2 cos = 4 + 2
√7 3
2 × 2 cos = 7
3 21
,
∴ = 3
,∴ = ,∴ √sin = . ∴ABD 正确,C 错误.
【解析】∵ = (3, 4),∴ | | = 5, 3 sin sin 3 14
10．【答案】A,C
3 4∴与向量 的方向相反的单位向量为 = ( , ).
| | 5 5 【解析】对 A:当 > 1时, ( )在(0, +∞)上是增函数,故 A 正确;
故选:A.
对 B:当 > 1时,log < 0,则 ∈ (0,1),当0 < < 1时, ∈ (1, +∞),故 B 错误;
对 C: (1) = log 1 = 0,故 C 正确;
5．【答案】B 对 D:当 = 2时, ( ) = log 2 ,令 ( ) = log
2 0.01 ,
2 2 4
【解析】由三角函数的定义可得cos = = = ,则 > 0, 有 (1) = log21 0.01 = 0.01 < 0, (2) = log
22 0.01 × 2 = 1 0.02 = 0.98 > 0,
√(2 )2 2
2
+( 2) √5 4 +4 5
( 2104 ) = log
2102 0.01 × 2
10
= 10 10.24 = 0.24 < 0,
整理可得5 2 + 16 16 = 0,因为 > 0,解得 = , 5
故 ( )在(1,2)及( 2, 210 )上都至少有一根,
故选:B.
即 ( )的图象与 ( ) = 0.01 的图象在(1,2)及( 2, 210 )上都至少有一个交点,故 D 错误.
6．【答案】D
故选:AC.
π π π π π
【解析】因为 = sin ( + ) = cos [ ( + ) ] = cos ( ) = cos ( ),
6 2 6 3 3 11．【答案】A,C,D
所以为了得到函数 的图像, 【解析】依题意可得 , ,
2π
只需把余弦函数上所有点向右平行移动 个单位长度, 所以 = π,又 = ,解得 = 2,所以 ,

π
对于 A:由图象知 ( )过点( , 1 ),即 , ∵ = 2 8 , ∴ = 2 1 2 . 12

所以 ,则 = + 2 , ∈ , 又 与 有公共点 ,∴ , , 三点共线. 3
π
又| | < ,所以 ,所以 ,故 A 正确; (2)由(1)可知
2 =
1 4
,
2 又 = 3
, 1 2
对于 B:由 = sin2 的图象向左平移 个单位长度 ∴可设 = ( ∈ ),
π 2π = 3
得到 = sin2 ( + ) = sin ( 2 + ) ≠ ( ) ,故 B 错误; ∴ 3 1 2 =
3 3 1
4 2,即{ ,解得 = 12. = 4
11π 11π π 3π
对于 C:因为 ( ) = sin ( + ) = sin ( ) = 1, 16．【答案】见解析
12 6 3 2
【解析】(1)因为 , 为锐角,则cos > 0,sin > 0,cos > 0,
11π
所以 = 是函数 ( )图象的一条对称轴,故 C 正确;
12 2 3 sin 4 则cos = √1 sin = ,tan = = ,
对于 5D:若 , cos 3
tan( + ) tan
则 ( 1 )取得最大(小)值且 (
2 )取最小(大)值,
而tan = tan[( + ) ] = = 2.
1+tan( + )tan
sin
所以| 2 22 1 |min = = ,故 D 正确. (2)由tan = 2 = ,sin + cos = 1得: 2 2 cos
故选:ACD. 2 sin = √5, √
5
cos = ,
5 5
三、填空题（每小题 5分，共 3小题 15分）
3 √5 4 2√5 11 5则 √cos( ) = cos cos + sin sin = · + · = .
12．【答案】 2 5 5 5 5 25
17．【答案】见解析
【解析】由已知得tan + tan = 2,tan tan = 2,且Δ = 4 + 8 = 12 > 0,
1+
sin( + ) sin cos +cos sin tan +tan 2 【解析】(1)∵ > 0,即 1 < < 1,
= = = = 2.故答案为: 2. 1
cos( ) cos cos +sin sin 1+tan tan 1 2
1+
13．【答案】±1 ∴函数 ( ) = log
2 的定义域为( 1,1). 1
【解析】由题意,复数(1 + )2 = 1 + 2 + ( )
2
= 1
2
+ 2 , 在( 1,1)上任取一个自变量 ,
又由复数为纯虚数,则1 2 = 0,即
2
= 1,解得 = ±1. 1 则 ( ) = log = log
1+
2 = ( ), 1+ 2 1
14．【答案】2
∴ ( )为奇函数;

【解析】∵ ( )在( , )上单调递减,且 ( ) + ( ) = 0
+
,∴ | 6 2 | = 0,∵ 6 2 6 2 (2)任取 1 < < 2 1 2 < 1,


( ) = sin + √3cos = 2sin( + )
+
∴ ∴ + = ∵ ( ) (
1+ 1 1+ 2 1+ 1 1 2
,
3 |
6 2 | = ( ) = 2sin( + ) = 0, 1 2) = log2 log2 = log2( · ),
2 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1+ 2 1 1
1+ 1 1 2 1 2
( ∈ ), = 3 1( ∈ ),又由 · , > 0,得0 < 3,∴ = 2. 由题设可得0 < < 1,0 < < 1,
2 2 6 1+
2 1
1
1+
1
故log2(
1 · 2) < 0,
1+ 2 1
1
四、解答题（每小题 12分，共 5小题 60分）
∴ ( 1) ( 2) < 0,
15．【答案】见解析
∴函数 ( )在( 1,1)上是增函数;
【解析】(1)由已知得 = = ( 2 1
2 ) (
+ 3 1 2 ) =
1 4
.
2 1 1∵ ( 2 + 1 ) + ( ) > 0, ( )为奇函数, 2 2
2 1 1 1 1∴ ( + 1 ) > ( ) = ( ),
2 2 2 2
19．【答案】见解析
又函数 ( )在( 1,1)上是增函数,
1 < 2 + 1 < 1
1 1
∴ 1 < < 1
1
2 2 ,解得: < < 1.
22 1 1
{ + 1 > 2 2 【解析】
1
∴不等式的解集为( , 1).
2
18．【答案】见解析
3 1 1 1
【解析】(1)因为 √cos = ,∠ = 2∠ ,所以cos = cos2 = 2cos2 1 = ,因为 = 1, = 3, (1)以点 为原点建系,得 (1,1), (2, ), (2,1), = (1, ), = (2,1),
3 3 2 2
1
所以由余弦定理得: 2 = 2 + 2 2 · cos = 1 + 9 6 × ( ) = 12,因为 > 0,所以 ∴ ·
3
= . 3 2
1 1
= 2√3 (2)由(1)知,设 ( , ), = = (1, ) = ( , ) = ( 1, 1),
2 2
π 1 1 1
(2)选①:∠ = ;在Δ 中,由正弦定理得: = , ∴ (1 + , 1 ),0 1, = ( + 1, + 1), = ( + 1, 1),
3 sin∠ sin 2 2 2
√3 √6 2√3 3√6 1 1 5 5 2 1因为cos = ,所以sin = ,由(1)知: = 2√3,代入上式得: = √3 √6 ,解得: = , ∴ · = ( + 1)( + 1) + ( + 1)( 1) =
2
+ = ( )
2
+
3 3 2 2 2 4 4 5 5
2 3
且sin∠ = sin(∠ + ∠ ) = sin cos∠ + cos sin∠ 2 1当 = ∈ [0,1]时, · 最大值 .
5 5
√6 1 √3 √3 3+√6
= × + × = ,
3 2 3 2 6 (3)设∠ = ,则∠ = 45 ,
1 1 3√6 3+√6 6√3+9√2 所以 = · · sin∠ = × × 2√3 × = , 2 1 √2 √2△ 2 2 2 6 4 ∴ · = | || |cos45

= · · = =cos cos(45 ) 2 √2 √2cos ·( cos + sin )
1 1 2 2 2 2
因为cos = ,所以 √sin = √1 = ,
3 9 3
√2 2 2 2
1 1 2 2 = = = 4√2 4
故 √ √2
1+cos2 sin2
2 + √
2 , 1 √2 1
△ = × × × sin = × 1 × 3 × = √2, (cos +sin cos ) 2 2 sin(2 +45 )+ +2 2 3 2 2 2 2 2
6 3+9 2 6 3+13 2
所以花卉种植区域总面积为 √ √ √ √+ √2 = 当且仅当2 + 45 = 90

时 = 22. 5

,等号成立,故 · 最小值是
4√2 4.
4 4
2
选②:
+6 12 √3
= √6,在Δ 中,由余弦定理得:cos =
= ,
2√6× 3
解得:
3 6
= 3√2或
√2(舍去),因为
√
cos = ,所以
√
sin = ,
3 3
1 1 √6 1所以 △ = · · sin∠ = × √6 × 3√2 × = 3√2,因为cos = , 2 2 3 3
1 2√2 1 1 2 2所以 √ sin = √1 = ,故 △ = × × × sin = × 1 × 3 × = √2, 9 3 2 2 3
所以花卉种植区域总面积为 3√2 + √2 = 4√2