广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月阶段性联合调研考试数学试题
1．（2024高一下·广西壮族自治区月考）样本数据的中位数是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．10.5
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：从小到大排列：，这组数据的中位数是.
故答案为：D.
【分析】将数据从小到大排列，即可求出中位数.
2．（2024高一下·广西壮族自治区月考）为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：易知分层抽样比为，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为.
故答案为：A.
【分析】根据分层抽样比与总体抽样比相等求解即可.
3．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知在软件的控制台中，输入“，）”，按回车键，得到的4个1~20范围内的不重复的整数随机数为，则这4个整数的标准差为（ ）
A． B． C．40 D．10
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 随机数为 的平均数为：，
则这4个整数的标准差为.
故答案为：B.
【分析】先求随机数的平均数，再根据标准差的公式计算即可.
4．（2024高一下·广西壮族自治区月考）如图所示，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】由题意，根据平面向量基本定理求解即可.
5．（2024高一下·广西壮族自治区月考）一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ）
A．225 B．295 C．235 D．305
【答案】C
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：样本容量为600，数据在内的频率为0.75，
则数据在内的频数为，
故样本中数据在内的个数为．
故答案为：C.
【分析】先求数据在内的频数，去掉内的频数即可得样本中的数据在内的个数 .
6．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（ ）
A．12 B．10 C．2 D．11
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得.
故答案为：B.
【分析】根据总平均数等于总数据和除以总数据的个数列式求解即可.
7．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得点为的外心，
因为，所以，所以，则四边形为菱形，
设，则，
因为，所以在上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】由题意可得点为的外心，四边形为菱形，再求在上的投影向量即可.
8．（2024高一下·广西壮族自治区月考）是内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：是内一点，，
则，
设，由，可得，
在中，由正弦定理可得，
则，即，
即，解得．
故答案为：D.
【分析】在中，分别利用正弦定理，结合化简整理求解即可.
9．（2024高一下·广西壮族自治区月考）若，则下列结论正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若，则
C．若在复平面内对应的点位于第一象限，则
D．若，则
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、若为实数，则，故A正确；
B、，若，则，解得，故B错误；
C、若在复平面内对应的点位于第一象限，则，
解得，故C错误；
D、易知，若，则，解得，
则，，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数为实数可得即可判断A；利用利用复数相等求出K即可判断B；由所在象限得到不等式组求出即可判断C；根据复数的加法运算结合复数相等求出，再利用复数模长公式求解即可判断D.
10．（2024高一下·广西壮族自治区月考）一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是（ ）
A．“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件
B．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件
C．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件
D．“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件
【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意可得：参观博物馆的基本事件有：
，，，，，；
A、 “周六至少有一名女生去参观博物馆”包含的基本事件为，，，，，而“周六只有一名男生去参观博物馆”含一个基本事件是对立事件，故A正确；
B、“周六只有一人去参观博物馆”包含的基本事件为，，；
而“周日只有一人去参观博物馆”含，，，是对立事件，故B正确；
C、“周六只有一人去参观博物馆”包含的基本事件为，，等
而“周日有两人去参观博物馆”包含，，等3个基本事件，两者不是互斥事件，故C错误；
D、因每人只去一天，故“女生B周六去参观博物馆”与 “女生B周日去参观博物馆”是互斥事件，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，写出所有的基本事件，根据选项中涉及的事件，表示出其包含的基本事件，利用事件对立与互斥的定义判断即可.
11．（2024高一下·广西壮族自治区月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ）
A．直线平面
B．在三棱柱中，点的曲率为
C．在四面体中，点的曲率小于
D．二面角的大小为
【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、取的中点，连接，如图所示：
因为D，E，F分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，所以四边形为平行四边形，，而平面，平面，
则平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，故A正确；
B、在直三棱柱中，，
则点的曲率为，解得，由，得，
而，因此点的曲率为，故B正确；
C、过作，交的延长线于，连接，如图所示：
由平面ABC，平面ABC，可得，，平面，
则平面，平面，因此，，，
又，则，，
在四面体中，点的曲率为，故C错误；
D、由C选项可知：为二面角的平面角，因为，
所以，则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用面面平行的判定性质即可判断A；利用曲率的定义计算即可判断BC；作出二面角的平面角并求得其大小即可判断D.
12．（2024高一下·广西壮族自治区月考）复数的虚部为 ．
【答案】2
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，虚部为2．
故答案为：2.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则求出复数，再利用虚部的定义求解即可.
13．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知向量．若，则 ；若，则向量与的夹角为 .
【答案】3；
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： 向量 ，
若，则，解得；
若，则，解得，即，，
则，即．
故答案为：3；.
【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解；利用向量垂直的坐标表示求得，再由向量夹角的坐标公式计算即可.
14．（2024高一下·广西壮族自治区月考）为促进学生德 智 体 美 劳全面发展，某校开发出文化艺术课程 科技课程 体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为.已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 .
【答案】0
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
化简得，
易知，得，
又因为，
所以这5个数的绝对值不超过4，所以，即，
当时，，无解；
当时，，
由，，得这四个平方数只能为，
则，符合题意，；
当时，，无解，
综上，.
故答案为：0.
【分析】由题意，根据5个班级参加科技课程的人数的平均数、方差求得，分析可得，分取11，12，13讨论求解即可.
15．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.
（1）求第届亚运会中国队获得的金牌数的极差；
（2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；
（3）设第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：易知金牌数的最大值为201，最小值为94，则第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为；
（2）解：剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：；
（3）解：可判断出，理由如下：
因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据金牌数据结合极差定义求解即可；
（2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，计算平均数即可；
（3）通过折线图观察比较出第届亚运会中国队获得的金牌数与第届亚运会中国队获得的金牌数的波动情况判断即可.
（1）由题意知：第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为.
（2）剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：.
（3）可判断出，理由如下：
因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以.
16．（2024高一下·广西壮族自治区月考）在中，.
（1）求角的大小；
（2）若在边上，，且，求的面积.
【答案】（1）解：由，可得：，
即，由正弦定理得，
由余弦定理得，因为，所以；
（2）解：如图所示：
因为，所以，
在中，由正弦定理可得，则，即则，
则，，
故.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简求角即可；
（2）在中，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可.
（1）由题意得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得.
因为，所以.
（2）如图，
因为，所以.
在中，由正弦定理得，
解得，
则或（舍去），
得，则.
故.
17．（2024高一下·广西壮族自治区月考）暑假将至，小梁计划外出旅游，翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱，但因时间太久，小梁已经忘记了密码，只记得这个密码是一个三位数，并且每个数位上的数字都是7，8，9中的一个．
（1）若小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率；
（2）若在小梁通过技术获得了这个密码的首位数字后，小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码正确的概率．
【答案】（1）解： 所有的密码情况有，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，共27种．
不妨设正确的密码为，则恰有两位数字正确的密码包括：
，，，，，共6种，
所以输入一次密码，这个密码中恰有两位数字正确的概率为．
（2）解： 不妨设正确的密码为，小梁通过技术获得了这个密码的首位数字为9，
则小梁尝试输入一次密码，所有可能为，，，，，，，，，共9种，
所以小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码正确的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）写出所有的密码情况，设定一个正确密码，由古典概型的概率公式求解即可；
（2）按要求列出确定首位密码后的所有密码情况，即可得解.
18．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中.
（1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
（2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器 小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.
【答案】（1）解：一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
（2）解：一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为：
；
二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为
，
则，
因为，所以，
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）由题意，计算两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再求两个生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件数即可；
（2）计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率，从而得到，结合，求出，与35比较判断即可.
（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为.
（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为
.
二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为
.
故.
因为，所以.
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.
19．（2024高一下·广西壮族自治区月考）如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.
（1）证明：.
（2）证明：平面平面.
（3）若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.
【答案】（1）证明：连接，与交于点，如图所示：
因为平面平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，
又因为平面，所以，
所以，即
（2）证明：延长交于点，连接，
由中位线性质可得，因为，所以，
因为平面平面，
所以平面，
所以为的中点，则，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面
（3）解：设，因为，所以，则，，
设点到平面的距离为与平面所成的角为，则，
因为，
，所以，解得，
，
当且仅当，即时等号成立，此时与平面所成的角最大，
则的体积
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，与交于点，证明线面垂直，利用垂直条件及题意证明即可；
（2）证明出平面中的两条相交直线均平行于平面即可；
（3）先求出，再求出的体积即可.
（1）证明：如图，连接，与交于点，
因为平面平面，所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，
因为平面，所以，
所以，即.
（2）证明：延长交于点，连接，
由中位线性质可得，因为，所以，
因为平面平面，
所以平面，
所以为的中点，则，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面.
（3）设.因为，所以，则，.
设点到平面的距离为与平面所成的角为，
则，
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大，
的体积
1 / 1广西重点高中2023-2024学年高一下学期5月阶段性联合调研考试数学试题
1．（2024高一下·广西壮族自治区月考）样本数据的中位数是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．10.5
2．（2024高一下·广西壮族自治区月考）为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知在软件的控制台中，输入“，）”，按回车键，得到的4个1~20范围内的不重复的整数随机数为，则这4个整数的标准差为（ ）
A． B． C．40 D．10
4．（2024高一下·广西壮族自治区月考）如图所示，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·广西壮族自治区月考）一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在内的频率为0.75，则样本中的数据在内的个数为（ ）
A．225 B．295 C．235 D．305
6．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（ ）
A．12 B．10 C．2 D．11
7．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·广西壮族自治区月考）是内一点，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·广西壮族自治区月考）若，则下列结论正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若，则
C．若在复平面内对应的点位于第一象限，则
D．若，则
10．（2024高一下·广西壮族自治区月考）一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是（ ）
A．“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件
B．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件
C．“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件
D．“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件
11．（2024高一下·广西壮族自治区月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（ ）
A．直线平面
B．在三棱柱中，点的曲率为
C．在四面体中，点的曲率小于
D．二面角的大小为
12．（2024高一下·广西壮族自治区月考）复数的虚部为 ．
13．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知向量．若，则 ；若，则向量与的夹角为 .
14．（2024高一下·广西壮族自治区月考）为促进学生德 智 体 美 劳全面发展，某校开发出文化艺术课程 科技课程 体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为.已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 .
15．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.
（1）求第届亚运会中国队获得的金牌数的极差；
（2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；
（3）设第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，第届亚运会中国队获得的金牌数的方差为，不通过计算，试比较与的大小，并说明理由.
16．（2024高一下·广西壮族自治区月考）在中，.
（1）求角的大小；
（2）若在边上，，且，求的面积.
17．（2024高一下·广西壮族自治区月考）暑假将至，小梁计划外出旅游，翻出自己曾经买的一个带数字密码锁的密码箱，但因时间太久，小梁已经忘记了密码，只记得这个密码是一个三位数，并且每个数位上的数字都是7，8，9中的一个．
（1）若小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码中恰有两位数字正确的概率；
（2）若在小梁通过技术获得了这个密码的首位数字后，小梁尝试输入一次密码，求输入的这个密码正确的概率．
18．（2024高一下·广西壮族自治区月考）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于的零件用于小型机器中.
（1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
（2）若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器 小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.
19．（2024高一下·广西壮族自治区月考）如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.
（1）证明：.
（2）证明：平面平面.
（3）若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：从小到大排列：，这组数据的中位数是.
故答案为：D.
【分析】将数据从小到大排列，即可求出中位数.
2．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：易知分层抽样比为，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为.
故答案为：A.
【分析】根据分层抽样比与总体抽样比相等求解即可.
3．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解： 随机数为 的平均数为：，
则这4个整数的标准差为.
故答案为：B.
【分析】先求随机数的平均数，再根据标准差的公式计算即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：.
故选：C.
【分析】由题意，根据平面向量基本定理求解即可.
5．【答案】C
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】解：样本容量为600，数据在内的频率为0.75，
则数据在内的频数为，
故样本中数据在内的个数为．
故答案为：C.
【分析】先求数据在内的频数，去掉内的频数即可得样本中的数据在内的个数 .
6．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得.
故答案为：B.
【分析】根据总平均数等于总数据和除以总数据的个数列式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，可得点为的外心，
因为，所以，所以，则四边形为菱形，
设，则，
因为，所以在上的投影向量为.
故答案为：A.
【分析】由题意可得点为的外心，四边形为菱形，再求在上的投影向量即可.
8．【答案】D
【知识点】两角和与差的正切公式；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：是内一点，，
则，
设，由，可得，
在中，由正弦定理可得，
则，即，
即，解得．
故答案为：D.
【分析】在中，分别利用正弦定理，结合化简整理求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、若为实数，则，故A正确；
B、，若，则，解得，故B错误；
C、若在复平面内对应的点位于第一象限，则，
解得，故C错误；
D、易知，若，则，解得，
则，，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据复数为实数可得即可判断A；利用利用复数相等求出K即可判断B；由所在象限得到不等式组求出即可判断C；根据复数的加法运算结合复数相等求出，再利用复数模长公式求解即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：由题意可得：参观博物馆的基本事件有：
，，，，，；
A、 “周六至少有一名女生去参观博物馆”包含的基本事件为，，，，，而“周六只有一名男生去参观博物馆”含一个基本事件是对立事件，故A正确；
B、“周六只有一人去参观博物馆”包含的基本事件为，，；
而“周日只有一人去参观博物馆”含，，，是对立事件，故B正确；
C、“周六只有一人去参观博物馆”包含的基本事件为，，等
而“周日有两人去参观博物馆”包含，，等3个基本事件，两者不是互斥事件，故C错误；
D、因每人只去一天，故“女生B周六去参观博物馆”与 “女生B周日去参观博物馆”是互斥事件，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，写出所有的基本事件，根据选项中涉及的事件，表示出其包含的基本事件，利用事件对立与互斥的定义判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、取的中点，连接，如图所示：
因为D，E，F分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，所以四边形为平行四边形，，而平面，平面，
则平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，故A正确；
B、在直三棱柱中，，
则点的曲率为，解得，由，得，
而，因此点的曲率为，故B正确；
C、过作，交的延长线于，连接，如图所示：
由平面ABC，平面ABC，可得，，平面，
则平面，平面，因此，，，
又，则，，
在四面体中，点的曲率为，故C错误；
D、由C选项可知：为二面角的平面角，因为，
所以，则，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用面面平行的判定性质即可判断A；利用曲率的定义计算即可判断BC；作出二面角的平面角并求得其大小即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，虚部为2．
故答案为：2.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算法则求出复数，再利用虚部的定义求解即可.
13．【答案】3；
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解： 向量 ，
若，则，解得；
若，则，解得，即，，
则，即．
故答案为：3；.
【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解；利用向量垂直的坐标表示求得，再由向量夹角的坐标公式计算即可.
14．【答案】0
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：，
化简得，
易知，得，
又因为，
所以这5个数的绝对值不超过4，所以，即，
当时，，无解；
当时，，
由，，得这四个平方数只能为，
则，符合题意，；
当时，，无解，
综上，.
故答案为：0.
【分析】由题意，根据5个班级参加科技课程的人数的平均数、方差求得，分析可得，分取11，12，13讨论求解即可.
15．【答案】（1）解：易知金牌数的最大值为201，最小值为94，则第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为；
（2）解：剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：；
（3）解：可判断出，理由如下：
因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据金牌数据结合极差定义求解即可；
（2）剔除第届亚运会中国队获得的金牌数数据，计算平均数即可；
（3）通过折线图观察比较出第届亚运会中国队获得的金牌数与第届亚运会中国队获得的金牌数的波动情况判断即可.
（1）由题意知：第届亚运会中国队获得的金牌数的极差为.
（2）剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数为：.
（3）可判断出，理由如下：
因为第届亚运会中国队获得的金牌数的波动性，明显比第13~15届亚运会中国队获得的金牌数的波动性大，所以.
16．【答案】（1）解：由，可得：，
即，由正弦定理得，
由余弦定理得，因为，所以；
（2）解：如图所示：
因为，所以，
在中，由正弦定理可得，则，即则，
则，，
故.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简求角即可；
（2）在中，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可.
（1）由题意得，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得.
因为，所以.
（2）如图，
因为，所以.
在中，由正弦定理得，
解得，
则或（舍去），
得，则.
故.
17．【答案】（1）解： 所有的密码情况有，，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，共27种．
不妨设正确的密码为，则恰有两位数字正确的密码包括：
，，，，，共6种，
所以输入一次密码，这个密码中恰有两位数字正确的概率为．
（2）解： 不妨设正确的密码为，小梁通过技术获得了这个密码的首位数字为9，
则小梁尝试输入一次密码，所有可能为，，，，，，，，，共9种，
所以小梁尝试输入一次密码，输入的这个密码正确的概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）写出所有的密码情况，设定一个正确密码，由古典概型的概率公式求解即可；
（2）按要求列出确定首位密码后的所有密码情况，即可得解.
18．【答案】（1）解：一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
（2）解：一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为：
；
二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为
，
则，
因为，所以，
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】（1）由题意，计算两个生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再求两个生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件数即可；
（2）计算出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率和二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率，从而得到，结合，求出，与35比较判断即可.
（1）一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为；
二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为，
则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为.
（2）一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于的频率为
.
二区生产车间生产的零件尺寸大于的频率为
.
故.
因为，所以.
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二.
19．【答案】（1）证明：连接，与交于点，如图所示：
因为平面平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，
又因为平面，所以，
所以，即
（2）证明：延长交于点，连接，
由中位线性质可得，因为，所以，
因为平面平面，
所以平面，
所以为的中点，则，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面
（3）解：设，因为，所以，则，，
设点到平面的距离为与平面所成的角为，则，
因为，
，所以，解得，
，
当且仅当，即时等号成立，此时与平面所成的角最大，
则的体积
【知识点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，与交于点，证明线面垂直，利用垂直条件及题意证明即可；
（2）证明出平面中的两条相交直线均平行于平面即可；
（3）先求出，再求出的体积即可.
（1）证明：如图，连接，与交于点，
因为平面平面，所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，则，
因为平面，所以，
所以，即.
（2）证明：延长交于点，连接，
由中位线性质可得，因为，所以，
因为平面平面，
所以平面，
所以为的中点，则，
因为平面平面，所以平面，
因为，所以平面平面.
（3）设.因为，所以，则，.
设点到平面的距离为与平面所成的角为，
则，
因为，
，
所以，得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时与平面所成的角最大，
的体积
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