第22章二次函数练习题（含解析）人教版数学九年级上册期末试题选编

二次函数练习题
1．抛物线的顶点坐标（ ）
A．(-3，4) B．(-3，-4) C．(3，-4) D．(3，4)
2．二次函数y=x2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（0，﹣2） D．（0，2）
3．抛物线y＝+2向下平移1个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣1，1） D．（1，1）
4．把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
5．下列抛物线的顶点坐标为(4，－3)的是
A． B． C． D．
6．抛物线的对称轴是　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
7．将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式（　　）
A．y＝﹣x2﹣1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2 D．y＝﹣（x2+1）2
8．若要得到抛物线y=（x+5）2-3，可以将抛物线y=x2（ ）
A．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
9．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
10．图示为抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一交点为B（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是（　　）
A．x＞6 B．0＜x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
11．抛物线的顶点坐标为______________________________．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为(1，0)．下面的四个结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是_____(填写序号)．
13．抛物线（a>0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，则a的取值范围是____．
14．二次函数的最小值是_____．
15．函数的图象如图所示，则_____0．（填“>”，“=”，或“<”）
16．二次函数的最大值是________．
17．抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 -1 0 3
则抛物线的解析式是______________．
18．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=___．
19．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，其中的坐标为，与轴交于点，并经过点，是它的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）用配方法将二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
20．求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
21．已知二次函数的图象经过，两点．求这个二次函数的解析式；
22．已知二次函数的图象如图所示．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点．
23．如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、C（0，-3）两点．
（1）求抛物线解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，请直接写出y的取值范围．
24．如图，二次函数y1＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标．
25．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
26．文具店某种文具进价为每件20元，市场调查反映：当售价为每件30元时，平均每星期可售出140件；而当每件售价涨1元，平均每星期少售出10件，设每件涨价元，平均每星期的总利润为元．
（1）写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大？且每星期的最大利润是多少？
27．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大 最大生产总量是多少．
28．某食品零售店为食品厂代销一种盒装食品，当这种食品的单价定为7元时，每天卖出160盒，在此基础上，单价每提高1元，每天就会少卖20盒．若该食品每盒的成本为5元．设这种食品的单价为每盒元，零售店每天销售所获得的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）当食品单价定为多少时，该零售店每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
29．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？
30．如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数（）的图象经过A（0，4），B（2，0），C（-2，0）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点D（-4，0），将二次函数图象沿DA方向平移，使图象再次经过点B．
①求平移后图象顶点E的坐标；
②求图象A，B两点间的部分扫过的面积．
31．某超市按每件30元的价格购进某种商品，在销售的过程中发现，该种商品每天的销售量w（件）与销售单价x（元）之间满足关系w=﹣3x+150（30≤x≤50），如果销售这种商品每天的利润为y（元），那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
32．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y= 2x+160．若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
参考答案：
1．D【解析】根据抛物线顶点式的特点写出顶点坐标即可得.
因为是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3， 4），
故选D．
本题考查了抛物线的顶点，熟练掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键.
2．D【解析】已知二次函数y=x2+2为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
∵y=x2+2=（x-0）2+2，
∴顶点坐标为（0，2）．
故选：D．
3．D【解析】根据平移的规律即可得到平移后所得新的抛物线的顶点坐标．
解：抛物线y＝+2的顶点坐标是（1，2），将该顶点向下平移1个单位长度所得的顶点坐标是（1，1）．
故选：D．
本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
4．D【解析】根据平移的规则求解即可，平移的规则为：“上加下减，左加右减”．
解：把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，
故选：D
此题考查了二次函数图像的平移，掌握二次函数图像的平移规则是解题的关键．
5．C试题解析：C. 的顶点坐标为(4，－3).
故选C.
点睛：抛物线对称轴为直线顶点坐标为
6．C【解析】直接利用对称轴公式求得对称轴即可．
抛物线y＝ax2 4ax 3a的对称轴是x＝
故选C．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的对称轴公式．
7．A【解析】根据平移的性质求出平移后的二次函数的解析式即可．
解：将二次函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式y＝﹣x2﹣1，
故选：A．
此题考查了二次函数的平移问题，解题的关键是掌握二次函数图象平移的性质．
8．B【解析】根据抛物线的平移规律解答．
解：将抛物线y=x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线y=（x+5）2-3，
故选：B．
此题考查了抛物线平移的规律：抛物线，h值左减右加，k值上加下减，熟记规律是解题的关键．
9．C试题解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点．
10．D【解析】由抛物线与x轴的一个交点（6，0）和对称轴x=2可以确定另一交点坐标为（-2，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
解：∵抛物线与x轴的一个交点（6，0）
而对称轴x＝2
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣2，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣2或x＞6
故选D
本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
11．(1，8)【解析】根据题意可知，本题考察二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
12．①②④．【解析】利用二次函数对称性以及结合的符号与x轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为(1，0)，
∴A(﹣3，0)，
∴AB＝4，故选项①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴＞0，故选项②正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a，b同号，
∴ab＞0，故选项③错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c此时最小，为负数，故选项④正确；
故答案为：①②④
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练运用二次函数的图象与性质，正确判断的符号是解题关键．
13．0＜a＜3∵二次函数的图象与坐标轴分别交于点(0, 3)、( 1,0)，
∴c= 3，a b+c=0，
即b=a 3，
∵顶点在第四象限，
，，
又∵a>0，
∴b<0，
∴b=a 3<0，即a<3，
故
故答案为：
二次函数的顶点坐标为：
14．5．二次函数的性质．
【解析】∵，∴当时，函数有最小值5．
15．【解析】根据函数图像判断出的符号，即可求解．
解：由二次函数的图像可得，开口向下，与轴交点在轴上方
∴，
∴
故答案为
此题考查了二次函数图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图像与系数的关系．
16．-3【解析】二次函数的顶点式y=a(x h)2+b在x=h时有最值，a>0时有最小值为b，a<0时有最大值为b，即可得出答案．
解：∵a= 1<0，
∴y有最大值，
当时，y有最大值为-3．
故答案为：-3．
本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键．
17．【解析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案．
根据题意，得：
将代入到，得：
∴
∴
故答案为：．
本题考查了二次函数、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
18．－1【解析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值．
由图可知，对称轴为x=1，
根据二次函数的图象的对称性，
，
解得，x2=－1．
考点：抛物线与x轴的交点
此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．
19．（1）；（2）；；（3）存在，【解析】（1）用待定系数法求解，把已知三点代入二次函数解析式，解方程组即可．
（2）利用配方法将抛物线方程转化为顶点式，直接写出点M的坐标．
（3）如图中，由A、B关于对称轴对称，连接BC交对称轴于P，连接PA，此时PA+PC的值最小．求出直线BC的解析式，即可解决问题．
解：（1）∵，，三点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴顶点坐标为．
（3）存在，理由如下：
∵点和点关于抛物线的对称轴对称，
∴连结与对称轴交于点，此时的值最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，则．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
20．顶点坐标为：（1，-4），对称轴为x=1.【解析】把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标与对称轴．
解：∵，
把二次函数化为顶点式为：；
∴顶点坐标为：（1，-4），
∴对称轴为x=1.
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练把二次函数的一般式化为顶点式．
21．．【解析】把A、的坐标代入函数解析式，转化为方程组求解，即可确定函数解析式．
解：把A、的坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
所以二次函数的解析式为：．
本题考查考了用待定系数法求二次函数解析式及解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法是解题的关键是．
22．(1)
(2)3
【解析】（1）根据题意得：图象的顶点坐标为，设，再把代入，即可求解；
（2）设向上平移n个单位，得，将代入，即可求解．
(1)
解：根据题意得：图象的顶点坐标为，
可设，
∵抛物线经过点，
∴将代入，得：，
∴这个二次函数的表达式为；
(2)
解：设向上平移n个单位，得，
将代入，
得，
解得，
故答案为：3．
本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
23．（1），顶点坐标为：；（2）．【解析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再化成顶点式即可解答；
（2）根据函数图像直接写出y的取值范围．
解：（1）将和代入
解得：
抛物线的解析式为：
顶点坐标为：；
（2）如图：∵
∴A(-1,0),B(3,0)
∵0＜x＜3,
∴当x=-1，函数有最小值-4
当x=3时，函数有最大值0
∴．
本题考查了运用待定系数法确定二次函数的解析式和顶点坐标以及根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围，确定函数解析式和根据图像确定函数值的取值范围是解答本题的关键．
24．（1）抛物线的解析式为y1＝x2+2x﹣3；（2）A的坐标为（﹣3，0）【解析】（1）把B（1，0），C（0，-3）分别代入y1=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，求出b、c即可；
（2）令y1=0，得到x2+2x-3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标．
解：（1）由二次函数y1＝x2+bx+c的图象经过B（1，0）、C （0，﹣3）两点，
得 ，
解这个方程组，得，
∴抛物线的解析式为y1=x2+2x﹣3；
（2）令y1＝0，得x2+2x﹣3=0，
解这个方程，得x1=﹣3，x2=1，
∴此二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣3，0）．
本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式．
25．（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤90.【解析】(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
本题主要考查二次函数的应用.
26．（1）()；（2）定价为32元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1440元．【解析】（1）根据销售总利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（2）根据二次函数的顶点坐标即可求解．
解：（1）
答：与的函数关系式为
自变量的取值范围是.
（2）
所以顶点坐标为
当时,有最大值为1440
答：定价为32元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1440元.
此题考查二次函数的应用，解题的关键是根据销售问题列出等量关系．
27．（1）y=-4x2+64x+30 720；（2）增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976个．【解析】（1）生产总量=每台机器生产的产品数×机器数；
（2）根据函数性质求最值．
解：（1）根据题意得：
y=（80+x）（384-4x）=-4x2+64x+30720（0＜x＜96）；
（2）∵y=-4x2+64x+30720=-4（x2-16x+64）+256+30720=-4（x-8）2+30976，
∴当x=8时，y有最大值30976，
则增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大总量是30976件．
认真审题，表示函数关系式是关键．
28．（1）；（2）当食品单价定为每盒10元时，该零售店每天销售获得的利润最大，最大利润是500元【解析】（1）设这种食品的单价为每盒元，零售店每天销售所获得的利润为y元，根据题意得，售价为元，销售量为，进而写出y与x之间的函数关系式，根据销售量大于0，即可求得的取值范围；
（2）根据（1）的关系式，化为顶点式，根据二次函数的性质即可求得最大值
解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式为：
，
整理得：．
∵，解得：，
∴．
故y与x之间的函数关系式为．
（2）将化为顶点式为：
∵，开口向下，且对称轴为，
当时，．
故当食品单价定为每盒10元时，该零售店每天销售获得的利润最大，最大利润是500元．
本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质以及根据题意列出函数关系式是解题的关键．
29．（1），x的取值范围是；（2）能够通过此隧道．【解析】（1）根据所建坐标系设解析式为y=ax2，由A点或B的坐标易求解析式，根据隧道口的有限性结合图象易知x的取值范围；
（2）能否通过是比较当x=1.4时[5-（-y）]的值与1的大小．
（1）设所求函数的解析式为．
由题意，得函数图象经过点B（3，-5），
∴-5=9a．
∴．
∴所求的二次函数的解析式为．
x的取值范围是．
（2）当车宽2.8米时，此时CN为1.4米，对应，
EN长为，车高米，∵，
∴农用货车能够通过此隧道．
30．（1）y=-x2+4;(2) E（5，9）；（3）30.【解析】用待定系数法即可求得二次函数解析式.
①求出直线DA的解析式，设E（m，m+4），根据顶点式写出平移之后的二次函数解析式．把点的坐标代入求出的值，即可求出顶点E的坐标.
②连接AB，过点B作BL∥AD交平移后的抛物线于点G，连结EG，四边形ABGE的面积就是图象A，B两点间的部分扫过的面积．求出四边形的面积即可.
（1）把代入，得
，
解得，
．
（2）①设直线DA的解析式为y=kx+d(k≠0)，
把A（0，4），D（-4，0）代入得，
，
解得：，
∴y=x+4，
设E（m，m+4），
平移后的抛物线的解析式为：．
把B（2，0）代入得：
解得：舍去，
∴E（5，9）．
②如图，连接AB，过点B作BL∥AD交平移后的抛物线于点G，连结EG，
∴四边形ABGE的面积就是图象A，B两点间的部分扫过的面积．
过点G作GK⊥x轴于点K，过点E作EI⊥y轴于点I，直线EI，GK交于点H．
由点A（0，4）平移至点E（5，9），可知点B先向右平移5个单位，再向上平移5个单位至点G．
∵B（2，0），∴点G（7，5），
∴GK=5，OB=2，OK=7，
∴BK=OK-OB=7-2=5，
∵A（0,4），E（5,9），
∴AI=9-4=5，EI=5，
∴EH=7-5=2，HG=9-5=4，
∴S四边形ABGH=S矩形IOKH
答：图象A，B两点间的部分扫过的面积为30.
31．销售单价定为40元时，每天的利润最大，最大利润是300元．【解析】根据题意可以求得y关于x的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题，注意x的取值范围．
解：由题意可得，
，
∵30≤x≤50，
∴x=40时，y取得最大值，此时y=300，
即销售单价定为40元时，每天的利润最大，最大利润是300元．
32．当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元【解析】根据利润=（售价-成本）×销售量，可用x表达利润W，再利用二次函数的最值问题求解即可．
解：设销售单价为x元，该商品每天获得的利润为w元．
由题意可知：W=（x-30）（-2x+160）
=-2x2+220x+4800
=-2（x-55）2+1250；
∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w有最大值，此时w=1200．
∴当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．