几何解题策略
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几何解题策略（一）
（一） ( 三角形全等.gsp )三角形全等
例1. 如图7，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是等腰三角形，顶角 ∠BDC=120 ，M，N分别是线段AB，AC上的点，且∠MDN=60 ，求△AMN的周长
例2.如图，已知点O是正△ABC内一点，∠AOB,∠BOC,∠AOC的角度之比为6∶5∶4.则在以OA、OB 、OC为边的三角形中，这三边所对的角度之比为_____________.
例3.已知：如图，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点，求证：PM＝PN
例4. 已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，点O是正方形BCDE对角线的交点
求证：AO是∠A的平分线
例5.如图在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取点K与点M（点M在点A与点K之间），同时使∠MCK=45，求证：KM 2 = AM 2 + BK 2
例6.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，BC=AB，OC交⊙O于点F，直线AF交BC于E.求证：BE=CF
例7.如图，P是等边△ABC外部一点，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=_________.
例8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，顶角 ∠A=20 ，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC
例9.如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44 ，M为△ABC内一点，且∠MCA=30 ，
∠MAC=16 ，求∠MBC的度数。
例10.如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论。
例11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，连结EF，设线段EF的中点为M，求证：MA=MD.
例12..菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的点，已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40，若既约分数为矩形ABCD的周长，求m+n的值。
例13.如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．
例14.如图，任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点，求证：KL∥AE，KL=AE.
（二）三角形相似
例1.如图，设正△ABC的边长为a，M，N分别是AB，AC的中点，D为MN上任一点，BD，CD的延长线分别交AC，AB于点E，F，则________.
例2.过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线，分别与边BC，AD及AB的延长线交于E，F，G求证：GO2=GE·GF
例3.已知：△ABC中最大角A是最小角C的2倍，三边长是连续整数
求：△ABC的各边长
例4.正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ面积是
S1＝1，S2＝3，S3＝1。那么正方形OPQR的边长是（ ）
（A） （B） (C)2 (D)3
例5. 如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
例6. 如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
例7.如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：PB2＋QC2=PM2＋QM2．
例8.如图，P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，
求证：
例9已知⊙O内切于△ABC，过圆心O的直线交AB、AC于E、F两点，且AE=AF，OE=OF，若EF=6，则BE·CF=_________.
例10.在圆上有三点A，B，C，过C的切线与弦AB的延长线交于D，弦AE∥CD，EB的延长线交切线于F，求证：CD·BE=CF·AB
例11．如图，在以O为圆心的圆中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC相交于点F，且OF=FC，弦DE与弦AC相交于点G，
（1）求证：AG=GC
（2）若AG=，AH∶AB=1∶3，求和.
例12.如图，ABCDEF是正六边形，M，N是CD、DE的中点，线段AM与BN相交于点P，则_______.
例13.如图，在△ABC中，分别以△ABC的边AB为底边向外作等腰△DAB，以AC为底边向内作等腰△FAC，使∠DAB=∠CAF=α（定值）
求证：（1）直线DF与BC所成的一个角恰为α
（2）当线段BC的长为定值时，线段DF的长也为定值。
例14.如图，O是四边形ABCD对角线的交点，已知∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，，求BC的长。
例15.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，且CD=DE，
（1） 求证：
（2） 若△ABC的面积为50，求△ACD的面积。
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（一） ( 三角形全等.gsp )三角形全等
例1. 如图7，△ABC是边长为1的正三角形，△BDC是等腰三角形，顶角 ∠BDC=120 ，M，N分别是线段AB，AC上的点，且∠MDN=60 ，求△AMN的周长
例2.如图，已知点O是正△ABC内一点，∠AOB,∠BOC,∠AOC的角度之比为6∶5∶4.则在以OA、OB 、OC为边的三角形中，这三边所对的角度之比为_____________.
例3.已知：如图，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点，求证：PM＝PN
例4. 已知：△ABC中，∠A＝Rt∠，点O是正方形BCDE对角线的交点
求证：AO是∠A的平分线
例5.如图在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取点K与点M（点M在点A与点K之间），同时使∠MCK=45，求证：KM 2 = AM 2 + BK 2
例6.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，BC=AB，OC交⊙O于点F，直线AF交BC于E.求证：BE=CF
例7.如图，P是等边△ABC外部一点，且PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB=_________.
例8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，顶角 ∠A=20 ，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC
例9.如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44 ，M为△ABC内一点，且∠MCA=30 ，
∠MAC=16 ，求∠MBC的度数。
例10.如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论。
例11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，连结EF，设线段EF的中点为M，求证：MA=MD.
例12..菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的点，已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40，若既约分数为矩形ABCD的周长，求m+n的值。
例13.如图2-44所示．ABCD是梯形， AD∥BC， AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．
例14.如图，任意五边形ABCDE中，M、N、P、Q分别是AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点，求证：KL∥AE，KL=AE.
（二）三角形相似
例1.如图，设正△ABC的边长为a，M，N分别是AB，AC的中点，D为MN上任一点，BD，CD的延长线分别交AC，AB于点E，F，则________.
例2.过四边形ABCD的对角线交点O画CD的平行线，分别与边BC，AD及AB的延长线交于E，F，G求证：GO2=GE·GF
例3.已知：△ABC中最大角A是最小角C的2倍，三边长是连续整数
求：△ABC的各边长
例4.正方形OPQR内接于△ABC，已知△AOR，△BOP，△CRQ面积是
S1＝1，S2＝3，S3＝1。那么正方形OPQR的边长是（ ）
（A） （B） (C)2 (D)3
例5. 如图 2-77所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．
例6. 如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．
例7.如图2-80所示．P，Q分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM．求证：PB2＋QC2=PM2＋QM2．
例8.如图，P为△ABC的中位线DE上的一点，BP交AC于N，CP交AB于M，
求证：
例9已知⊙O内切于△ABC，过圆心O的直线交AB、AC于E、F两点，且AE=AF，OE=OF，若EF=6，则BE·CF=_________.
例10.在圆上有三点A，B，C，过C的切线与弦AB的延长线交于D，弦AE∥CD，EB的延长线交切线于F，求证：CD·BE=CF·AB
例11．如图，在以O为圆心的圆中，弦CD垂直于直径AB，垂足为H，弦BE与半径OC相交于点F，且OF=FC，弦DE与弦AC相交于点G，
（1）求证：AG=GC
（2）若AG=，AH∶AB=1∶3，求和.
例12.如图，ABCDEF是正六边形，M，N是CD、DE的中点，线段AM与BN相交于点P，则_______.
例13.如图，在△ABC中，分别以△ABC的边AB为底边向外作等腰△DAB，以AC为底边向内作等腰△FAC，使∠DAB=∠CAF=α（定值）
求证：（1）直线DF与BC所成的一个角恰为α
（2）当线段BC的长为定值时，线段DF的长也为定值。
例14.如图，O是四边形ABCD对角线的交点，已知∠BAD+∠BCA=180°，AB=5，AC=4，AD=3，，求BC的长。
例15.如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，且CD=DE，
（1） 求证：
（2） 若△ABC的面积为50，求△ACD的面积。
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