南京一中2024-2025学年第二学期期中考试
高二数学 2025．4
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的方向向量为a＝(1，－1，λ)，平面α的一个法向量为n＝(－2，2，1)，若l⊥α，则λ的值为
A．－2 B．－ C．1 D．4
【答案】B
【解析】由l⊥α得a//n，所以，解得．故选B．
2．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
【答案】A
【解析】数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*．
3．曲线y＝2在x＝4处切线的斜率为
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】因为y′＝2·＝，所以曲线y＝2在x＝4处切线的斜率为．
4．现有3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为
A．144 B．72 C．36 D．12
【答案】A
【解析】先将3位老师排好，有A种排法，形成4个空；
再将3名学生插入4个空中，有A种排法，
故共有AA＝144(种)排法．
5．已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m －2m
则D(X)＝
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由分布列性质知，，解得，则，
则，，故选C．
6．若圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16上恰好有4个不同的点到直线l：y＝kx的距离为3，则实数k的取值范围是
A．(－，0) B．(0，)
C．(2－，2＋) D．(－2－，－2＋)
【答案】D
【解析】由圆上恰好有4个不同的点到直线的距离为3，
可知圆心到直线的距离，即1，
所以，解得，故选D．
7．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若∠FPA＝，则|PF|＝
A．2 B．2
C．2 D．4
【答案】D
【解析】如图，因为，所以，
设准线与轴交于点，因为，
所以．因为，所以，
所以在等边中，．故选D．
8．已知(x＋m)(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a8x8(m∈R)，若a1＝27，则(iai)的值为
A．3 B．22
C．43 D．45
【答案】C
【解析】已知，
而，．
．
等式两边对求导数可得， ，
再令，可得，即．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，则
A．当A，B独立时，P(A|B)＝P(A)
B．当A，B互斥时，P(A|B)＝P(B|A)
C．P(B|A)＋P(|A)＝P(A)
D．P(B|A)＋P(|A)＝1
【答案】ABD
【解析】若A，B独立，则，，A正确；
若A，B互斥，则，，，B正确；
因为，C错误，D正确．故选ABD．
10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，则
A．当a＝0时，f(x)在R上递增
B．当a＝2时，f(x)有3个零点
C．当a＝2时，f(x)关于(2，)对称
D．当a∈(－，)时，f(x)有2个极值点
【答案】AC
【解析】对于A，，恒成立，故在R上递增，A正确；
对于B，令，得x＝0或x＝3，
故B错误；
对于C，，，
故关于对称，C正确；
对于D，，当时，，
故恒成立，单调递增，无极值，故D错误． 故选AC．
11．定义：当n为奇数时，an＋an＋1＝k，当n为偶数时，an＋an＋1＝－k，k∈Z，则称{an}为“回旋数列”．若{bn}为“回旋数列”，b1＝1，k＝3，设{bn}的前n项和为Sn，从b1，b2，···，b2n中任意抽取两个数，设两个数之和大于0的概率为P2n，则
A．b8＝20
B．S2n＋1＝3n＋1
C．P50＝
D．P2n＞
【答案】ACD
【解析】因为数列为“回旋数列”，，
所以当为奇数时，；当为偶数时，，
当为奇数时，，，所以，
所以数列为等差数列，公差为，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，，所以，
所以数列为等差数列，公差为，
又，，故，所以当为偶数时，，
所以，故A正确；
，所以，
所以，故B错误；
从，，，中任意抽取两个数，有种取法，
其中两个数之和大于的取法包含取一个奇数项与它之后的所有偶数项，或取一个偶数项与它之后的所有偶数项，故有，
所以，所以，故C正确；
又，故D正确；故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知{an}为等差数列，且2a1＋a4＝6，则a2＝．
【答案】2
【解析】（方法一）设公差为d，则2a1＋a4＝2a1＋(a1＋3d)＝3(a1＋d)＝3a2＝6，所以a2＝2．
（方法二）因为2a1＋a4＝2a1＋(2a3－a2)＝2(a1＋a3)－a2＝3a2＝6，所以a2＝2．
13．现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有
种不同的分配方式．
【答案】90
【解析】有序部分均匀分组问题：最后2本平均分成两组，先选择，再倍缩，有·A＝90(种)．
14．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则·的取值范围是．
【答案】
【解析】（方法一）如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，
其中，，，，
，，，
当，且或时，取最大值4，
当，且时，取最小值2，所以的取值范围为．
（方法二）取CC1中点为D，由极化恒等式得，
又，，所以的取值范围为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在(x－)n的展开式中，已知前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）求展开式中二项式系数的最大值；
（2）求展开式中所有的有理项．
解：（1）展开式中第项为，…………………………2分
所以前三项系数的绝对值依次为，
依题意有，， ………………………………………………………………………3分
即，整理得，解得（舍去）或．…………………5分
由二项式系数的性质可知，展开式中二项式系数的最大值为．……………………7分
（2）由（1）知，，
又，由可得，………………………………………………10分
故展开式中的有理项为：
，，． …………………………………13分
16．（本小题满分15分）
假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球
与4个红球，这些小球除颜色外完全相同．
（1）从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率；
（2）每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两
球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
（3）若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随
机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率．
解：（1）记“取到红球”为事件A，
则，
即取到红球的概率为．…………………………………………………………………………4分
（2）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，……………………………………………………7分
．
即所求概率为．………………………………………………………………………………10分
（3）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则．
即所求概率为．………………………………………………………………………………15分
17．（本小题满分15分）
已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，且C过点（2，）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点D(0，2)的直线l与C相交于不同的两点E，F，若△OEF的面积不小于2，求
直线l斜率的取值范围．
解：（1）因为两条渐近线互相垂直，所以＝tan＝1，即b＝a，…………………………………2分
又过点（2，），所以－＝1，
解得a＝b＝，所以双曲线C的方程为－＝1．…………………………………………5分
（2）依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理得(1－k2)x2－4kx－6＝0．
因为直线l与双曲线C相交于不同的两点E，F，
所以 ……………………………………7分
所以k∈(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)．
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，…………………………………9分
所以EF＝＝·＝·．
而原点O到直线l的距离d＝，
所以S△OEF＝d·EF＝···＝．…………………………12分
若△OEF的面积不小于2，即S△OEF≥2，则≥2，
化简得k4－k2－2≤0，解得－1≤k2≤2，所以－≤k≤．………………………………14分
综上，直线l的斜率的取值范围为[－，－1)∪(－1，1) ∪(1， ]． …………………15分
18．（本小题满分17分）
如图①，在△ABC中，B＝90°，AB＝4，BC＝2，D，E分别是边AB，AC的中点，现将△ADE沿着DE折起，使点A到达点P的位置，并连接PB，PC，得到四棱锥P－BCED，如图②，设平面PDE∩平面PBC＝l．
（1）求证：l//DE；
（2）求证：平面PBD⊥平面PDE；
（3）若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD的夹角．
解：（1）因为D，E分别是边AB，AC的中点，所以，
又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， ………………………………2分
又平面PDE，平面平面，所以．………………………………4分
（2）因为，所以，由（1）知，，所以，
在图①中，，所以． ………………………………………………………6分
又，BD，平面PBD，所以平面PBD．
又平面PDE，所以平面PBD⊥平面PDE． ……………………………………………8分
（3）如图，过点B作，垂足为F．
由（2）知，平面PBD⊥平面PDE，又平面平面，平面，
所以平面PDE，所以点B到平面PDE的距离即为BF的长，即． ………10分
在中，，所以．
又，所以是边长为2的等边三角形．
取BD的中点O，连接OP，则，．
由（1）知，平面PBD，又平面PBD，所以．
又，BD，平面BCED，所以平面BCED． ………………………12分
（方法一）以O为原点，OB，OP所在直线分别为x轴、z轴，过O与DE平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面PEC的法向量为，则，
令，得，，所以是平面PEC的一个法向量．…………14分
又平面PBD，所以平面PBD的一个法向量为，
所以，………………………………………………………16分
所以平面PEC与平面PBD的夹角为．………………………………………………………17分
（方法二）以D为原点，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴，且以过点D与OP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设平面PEC的法向量为，则，
令，得，，所以是平面PEC的一个法向量．…………14分
又是平面PBD的一个法向量，
所以，………………………………………………………16分
所以平面PEC与平面PBD的夹角为．………………………………………………………17分
19．（本小题满分17分）
已知函数f(x)＝x2－x－alnx．
（1）当a＝－1时，求f(x)＜0的解集；
（2）若f(x)有极值，求实数a的取值范围；
（3）设a∈N*，若f(x)＞(a－3)x，求a的最大值．
解：（1）当a＝－1时，因为f(x)＝x2－x＋lnx，x＞0，
所以f '(x)＝2x－1＋＝＝＞0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．………………………………………………………………2分
又f(1)＝0，
所以当x∈(0，1)时，f(x)＜f(1)＝0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)＝0，
故f(x)＜0的解集为(0，1)．………………………………………………………………………4分
（2）因为f(x)＝x2－x－alnx有极值，
所以f '(x)＝2x－1－＝在(0，＋∞)上有变号零点， ………………………………6分
即2x2－x－a＝0在(0，＋∞)上有变号零点．
因为y＝2x2－x－a的对称轴为x＝＞0，所以△＝1＋8a＞0，
所以a＞－．………………………………………………………………………………………8分
（3）由f(x)＞(a－3)x，得x2＋(2－a)x－alnx＞0，
设g(x)＝x2＋(2－a)x－alnx，a∈N*，x＞0，
则g'(x)＝2x＋(2－a)－＝＝，
令g'(x)＝0，得x＝－1(舍去)，或x＝．………………………………………………………10分
当x∈(0，)时，g'(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，g'(x)＞0，g(x)单调递增，
所以g(x)min＝g()＝－＋a－aln＝a(－＋1－ln)．………………………………………12分
因为g(x)＞0，所以g(x)min＝a(－＋1－ln)＞0，即－＋1－ln＞0．
令h(x)＝－＋1－ln，x＞0，
因为y＝－＋1与y＝－ln在(0，＋∞)上都单调递减，
所以h(x)＝－＋1－ln在(0，＋∞)上单调递减，
又h(2)＝＞0，h(3)＝－ln＝(1－ln)＜0，
所以h(x)在(0，＋∞)存在唯一的零点x0∈(2，3)．……………………………………………15分
当x∈(0，x0)时，h(x)＞h(x0)＝0，
所以由－＋1－ln＞0可得0＜a＜x0，
又a∈N*，x0∈(2，3)，所以a的最大值为2． ………………………………………………17分南京一中2024-2025学年第二学期期中考试
高二数学 2025．4
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l的方向向量为a＝(1，－1，λ)，平面α的一个法向量为n＝(－2，2，1)，若l⊥α，则λ的值为
A．－2 B．－ C．1 D．4
2．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是
A．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
3．曲线y＝2在x＝4处切线的斜率为
A．4 B．2 C． D．
4．现有3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为
A．144 B．72 C．36 D．12
5．已知随机变量X的分布列为
X 0 2 4
P m －2m
则D(X)＝
A． B． C． D．
6．若圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16上恰好有4个不同的点到直线l：y＝kx的距离为3，则实数k的取值范围是
A．(－，0) B．(0，)
C．(2－，2＋) D．(－2－，－2＋)
7．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若∠FPA＝，则|PF|＝
A．2 B．2
C．2 D．4
8．已知(x＋m)(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a8x8(m∈R)，若a1＝27，则(iai)的值为
A．3 B．22
C．43 D．45
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，P(A)＞0，P(B)＞0，则
A．当A，B独立时，P(A|B)＝P(A)
B．当A，B互斥时，P(A|B)＝P(B|A)
C．P(B|A)＋P(|A)＝P(A)
D．P(B|A)＋P(|A)＝1
10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，则
A．当a＝0时，f(x)在R上递增
B．当a＝2时，f(x)有3个零点
C．当a＝2时，f(x)关于(2，)对称
D．当a∈(－，)时，f(x)有2个极值点
11．定义：当n为奇数时，an＋an＋1＝k，当n为偶数时，an＋an＋1＝－k，k∈Z，则称{an}为“回旋数列”．若{bn}为“回旋数列”，b1＝1，k＝3，设{bn}的前n项和为Sn，从b1，b2，···，b2n中任意抽取两个数，设两个数之和大于0的概率为P2n，则
A．b8＝20
B．S2n＋1＝3n＋1
C．P50＝
D．P2n＞
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知{an}为等差数列，且2a1＋a4＝6，则a2＝．
13．现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有
种不同的分配方式．
14．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝AA1＝2，点P为侧面ABB1A1上的任意一点，则·的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在(x－)n的展开式中，已知前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）求展开式中二项式系数的最大值；
（2）求展开式中所有的有理项．
16．（本小题满分15分）
假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球与2个红球，第二个盒子里装有2个白球
与4个红球，这些小球除颜色外完全相同．
（1）从两个盒子中分别取出一个球，求取到红球的概率；
（2）每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两
球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
（3）若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随
机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率．
17．（本小题满分15分）
已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，且C过点（2，）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点D(0，2)的直线l与C相交于不同的两点E，F，若△OEF的面积不小于2，求
直线l斜率的取值范围．
18．（本小题满分17分）
如图①，在△ABC中，B＝90°，AB＝4，BC＝2，D，E分别是边AB，AC的中点，现将△ADE沿着DE折起，使点A到达点P的位置，并连接PB，PC，得到四棱锥P－BCED，如图②，设平面PDE∩平面PBC＝l．
（1）求证：l//DE；
（2）求证：平面PBD⊥平面PDE；
（3）若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD的夹角．
19．（本小题满分17分）
已知函数f(x)＝x2－x－alnx．
（1）当a＝－1时，求f(x)＜0的解集；
（2）若f(x)有极值，求实数a的取值范围；
（3）设a∈N*，若f(x)＞(a－3)x，求a的最大值．
