山东省济南市2024-2025学年高一下学期4月期中学习质量检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省济南市2024-2025学年高一下学期4月期中学习质量检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 944.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-14 11:08:03 | ||
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文档简介
2025年4月济南市高一期中学习质量检测
数学试题
本试题共4页，共19题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题的答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5mm的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在平行四边形中，是对角线上靠近点三等分点，则（ ）
A. B.
C D.
3. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
4. 已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，，则的面积是（ ）
A. B. C. 12 D.
6. 已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
7. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（ ）
A 1 B. C. D.
8. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对者得6分，部分选对者得部分分，有错选的得0分．
9. 已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 对任意，都有
11. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，该几何体是一个半正多面体
B. 若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为
C. 若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为
D. 该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为______.
13. 如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.
14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．
15. 如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积．
16. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
17. 在锐角三角形中，分别为内角所对边，且.
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围.
18. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
（1）若，当k为何值时，与垂直？
（2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
（3）若的最小值为1，求的值.
19. 如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：.
（1）如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值；
（2）如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值；
（3）当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理.
D
A
A
C
B
C
D
D
AC
ABD
BCD
1
2
①. ##0.75 ②.
15.(1)由题意，，且为钝角，
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）.
故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里.
（2）由题意，.
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）.
故.
所以
所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.
16.（1）连接交于，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
17.（1）由题意得，
则由正弦定理得，
由于，所以，
所以，所以.
由于，所以，得.
又，故.
（2）根据，得，，
则的周长为
，
由为锐角三角形，得，所以，
则，，
所以，
故周长的取值范围是.
18.（1）因为，
所以由余弦定理得，即，所以.
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值.
则的最小值为2.
（3）设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．
19.（1）法1：取的中点，连接，如图所示，
则，于是是二面角的平面角，
设，则，
由余弦定理得，
故
法2：利用三面角余弦定理，设二面角的平面角为，则有，
计算得，故
（2）二面角平面角的大小为，利用三面角余弦定理得
，计算得，
于是.
由于，则
，
即当时，三棱锥体积的最大值为
（3）如图过射线上一点在面作交于点，
在面内作交于点，连接，
则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式相减得：，
则，
两边同除以，得：
，
从而得证.
数学试题
本试题共4页，共19题，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，座号填写在答题卡和试卷的指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题的答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，用0.5mm的黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在平行四边形中，是对角线上靠近点三等分点，则（ ）
A. B.
C D.
3. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
4. 已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，，则的面积是（ ）
A. B. C. 12 D.
6. 已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
7. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则其内切球半径是（ ）
A 1 B. C. D.
8. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对者得6分，部分选对者得部分分，有错选的得0分．
9. 已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 对任意，都有
11. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图，在一个棱长为4的正方体中，，，过三点可做一截面，类似地，可做8个形状完全相同的截面.关于该几何体，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，该几何体是一个半正多面体
B. 若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为
C. 若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为
D. 该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设为实数，且，虚数为方程的一个根，则的值为______.
13. 如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.
14. 某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．
15. 如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里．为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）已知与互补，求四个小岛所形成的四边形的面积．
16. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
17. 在锐角三角形中，分别为内角所对边，且.
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围.
18. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
（1）若，当k为何值时，与垂直？
（2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
（3）若的最小值为1，求的值.
19. 如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：.
（1）如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值；
（2）如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值；
（3）当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理.
D
A
A
C
B
C
D
D
AC
ABD
BCD
1
2
①. ##0.75 ②.
15.(1)由题意，，且为钝角，
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）.
故，小岛A与小岛D之间的距离为2海里.
（2）由题意，.
在中，由余弦定理，，
得，解得或（舍去）.
故.
所以
所以，四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里.
16.（1）连接交于，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
17.（1）由题意得，
则由正弦定理得，
由于，所以，
所以，所以.
由于，所以，得.
又，故.
（2）根据，得，，
则的周长为
，
由为锐角三角形，得，所以，
则，，
所以，
故周长的取值范围是.
18.（1）因为，
所以由余弦定理得，即，所以.
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值.
则的最小值为2.
（3）设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．
19.（1）法1：取的中点，连接，如图所示，
则，于是是二面角的平面角，
设，则，
由余弦定理得，
故
法2：利用三面角余弦定理，设二面角的平面角为，则有，
计算得，故
（2）二面角平面角的大小为，利用三面角余弦定理得
，计算得，
于是.
由于，则
，
即当时，三棱锥体积的最大值为
（3）如图过射线上一点在面作交于点，
在面内作交于点，连接，
则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式相减得：，
则，
两边同除以，得：
，
从而得证.
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