广东省佛山市顺德区均安中学2024-2025学年高二下学期4月教学质量调研数学试题（含答案）

2024学年第二学期均安中学教学质量调研
高二数学
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列，，则是这个数列的（ ）
A 第21项 B. 第23项 C. 第25项 D. 第27项
2. 已知函数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元．
A. B. C. D.
4. 若函数的单调递减区间为，则实数的值为（ ）
A B. C. 3 D.
5. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A. B. C. D. 1
6. 设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（ ）
A. B. C. D.
7. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8. 已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2024项和（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A.
B. 中的最小值为
C. 使的的最大值为32
D.
11. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球…设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. ， D.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列中，已知，，则______．
13. 已知，则__________.
14. 已知数列满足，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为，则写错的是数列中第______项.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若第一象限内的点在曲线上，求到直线的距离的最小值；
（2）求曲线过点的切线方程．
16. 已知数列是等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若成等比数列，求的值；
（3）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
17. 已知在数列中，，且当时，.
（1）求的值
（2）求的通项公式；
（3）设，数列的前项和为，证明：.
18. 已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求的取值范围；
（3）试讨论函数的单调性.
19. 已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，求使取得最大值时的的值.
1-8：BADDBDBC
AD
AB
BCD
16
14.38
15.（1）设，由题意得，
当曲线在的切线与平行时，到的距离最小，
此时，
得，即，则
故到的距离的最小值为．
（2）设所求切线的切点为，
由（1）得，则，
解得，所以切点为，
切线的斜率为．
故所求的切线方程为，
即．
16.（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，
解得，，
所以.
（2）由（1）知，数列的通项公式为，
则，
又成等比数列，
所以，即，解得，
则，解得.
（3）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，
则，所以，
所以
.
17.（1）在数列中，，
又当时，，则，
联立，解得.
（2）数列中，当时，，
则，
又由（1）知，则，
所以，
则故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
则，所以.
（3）由（2）知，
则，
则数列的前项和为
，
又，则，
所以，
即.
18.（1）
，
当时，，，
所以在处的切线方程为，整理得.
（2）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，在处取得最小值，
所以，解得，
所以的取值范围为.
（3）当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得或，
令，解得，
所以在，上单调递增，上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，上单调递减.
19.（1）因为且，所以，
由，可得：，
两式相减得：，
因为，所以，，
又，综上，对任意的，，
所以是首项和公比均为的等比数列，所以，.
（2）由题意，，
①
②
①②得
所以，
（3）由（1）可得，所以，
时，由，可得；
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
所以，所以，
综上，或时，取得最大值.