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2025年4月月考 数学（答题卡） 三、解答题。 15题（13分） 16题 （15分）
准 考 证 号
姓名 班级
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条形码粘贴区域
(正面朝上，切勿贴出虚线方框)
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! 6 6 6 6 6 6
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! 8 8 8 8 8 8
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填涂样例 正确填涂 ! 错误填涂 # $ % 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔作解答题：字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
! A A A A A A A A A A A
! B B B B B B B B B B B
! C C C C C C C C C C C
! D D D D D D D D D D D
二、填空题
12． 13． 14．
1
! !
!
17题（15分） 18题（17分） 19题 （17分）
2
! !2025年4月份高二数学试卷
一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分
1．将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中,每个盒子中至少放1个球,则不同的放法有( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
2．甲,乙,丙3位同学到4个社区参加志愿服务,每人限去一个社区,不同方法的种数是( )
A.24 B.36 C.64 D.81
3．已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有( )
A.480种 B.560种 C.720种 D.840种
4．将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是( )
A.24 B.50 C.72 D.150
5．已知是函数的导函数,且,则( )
A.1 B.2 C. D.
6．曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.4 B.3 C.1 D.
7．若函数在上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知函数是定义在R上的偶函数,其导函数为,且当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是( )
A.所有可能的方法有种
B.若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C.若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
10．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A.若任意选科，选法总数为
B.若化学必选，选法总数为
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
11．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数存在三个不同的零点
B.函数既存在极大值又存在极小值
C.若时,,则t的最大值为2
D.当时,方程有且只有两个实根
三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分
12．将7张相同的电影票分给10个人,每人最多分到1张,则不同的分法种数为________.
13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为____________.（用数字作答）
14．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.则a的取值范围为__________.（结果用区间表示）
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明或演算步骤.）
15．（1）解方程：.
（2）计算：.
（3）解不等式.
16．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
17．已知函数.
（1）求曲线过点的切线方程;
（2）若,求c的取值范围.
18．已知函数在处取得极值-2.
（1）求a,b的值;
（2）求在上的最大值;
（3）若关于x的方程有三个不同的实根,求m的取值范围.
19．设函数.
(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求a的取值范围.2025年4月份高二数学试卷
一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分
1．将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中,每个盒子中至少放1个球,则不同的放法有( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
2．甲,乙,丙3位同学到4个社区参加志愿服务,每人限去一个社区,不同方法的种数是( )
A.24 B.36 C.64 D.81
3．已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛，并包揽了前7名（排名无并列），若甲、乙、丙中的两人占据前两名，则这7名同学获奖的名次情况共有( )
A.480种 B.560种 C.720种 D.840种
4．将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是( )
A.24 B.50 C.72 D.150
5．已知是函数的导函数,且,则( )
A.1 B.2 C. D.
6．曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.4 B.3 C.1 D.
7．若函数在上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知函数是定义在R上的偶函数,其导函数为,且当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．现安排高二年级A,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,每名同学只能选择一个工厂,且允许多人选择同一个工厂,则下列说法正确的是( )
A.所有可能的方法有种
B.若工厂甲必须有同学去,则不同的安排方法有37种
C.若同学A必须去工厂甲,则不同的安排方法有12种
D.若三名同学所选工厂各不相同,则不同的安排方法有24种
10．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )
A.若任意选科，选法总数为
B.若化学必选，选法总数为
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
11．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数存在三个不同的零点
B.函数既存在极大值又存在极小值
C.若时,,则t的最大值为2
D.当时,方程有且只有两个实根
三、填空题本题共3小题，每小题5分，共15分
12．将7张相同的电影票分给10个人,每人最多分到1张,则不同的分法种数为________.
13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为____________.（用数字作答）
14．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.则a的取值范围为__________.（结果用区间表示）
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明或演算步骤.）
15．（1）解方程：.
（2）计算：.
（3）解不等式.
16．将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
17．已知函数.
（1）求曲线过点的切线方程;
（2）若,求c的取值范围.
18．已知函数在处取得极值-2.
（1）求a,b的值;
（2）求在上的最大值;
（3）若关于x的方程有三个不同的实根,求m的取值范围.
19．设函数.
(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：若两个盒子中都放入2个球,则有3种不同的方法;
若一个盒子中放1个球,另一个盒子中放3个球,则有4种不同的方法.
故不同的放法有7种.
故选:C
2．答案：C
解析：不同方法的种数是：.
故选：C.
3．答案：C
解析：甲、乙、丙中选两人占前两名，有种情况，其余五名可任意排列，
故所有的情况有种.
故选：C.
4．答案：D
解析：可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，
若分组为1、1、3，则有；
若分组为1、2、2，则有；
则不同分法为种.
故选：D
5．答案：A
解析：由可得,
故,解得,
故选：A.
6．答案：D
解析：对函数求导得,故所求切线斜率为,切点坐标为,
所以,曲线在处的切线方程为,
该切线交x轴于点,交y轴于点,
因此,曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选：D.
7．答案：B
解析：,又在上单调递增,故在上恒成立,
而时,易见,只需要即可,故.
故选：B.
8．答案：D
解析：令,则,
当时,,所以当时,,
即在上是增函数,由题意是定义在R上的偶函数,所以,
所以,所以是偶函数,在单调递减,
所以,,
即不等式等价为,
所以,解得或,
所以不等式的解集为.
故选：D.
9．答案：BD
解析：A.三位同学依次选择都有4种方法,根据乘法原理有种方法;
B.所有选法是64种,甲工厂没有同学去有种
故甲工厂必须有同学去有种,
C.同学A必须去工厂甲,另外两名同学到工厂各有4种方法,故有种;
D.三名同学所选工厂各不相同,不同的安排方法有种.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，则选法总数为，故A错误；首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、生物3门科目中选择1门，则选法总数为，故B正确；分政治、地理都选和政治、地理仅选一门两种情况，则选法总数为，故C错误；物理必选，分化学、生物都选和化学、生物仅选一门两种情况，则选法总数为，故D正确.
故选BD.
11．答案：BCD
解析：由函数,可得,
令,解得或,
当时,;当时,;当时,,
所以函数在,单调递减,在上单调递增,
当,函数取得极小值;
当,函数取得极大值,
当时,,当时,,
作出函数的图象,如图所示,结合图象得：
对于A中,函数存在两个不同的零点,所以A不正确;
对于B中,函数既存在极大值又存在极小值,所以B正确;
对于C中,当时,,可得,所以t的最大值为2,所以C正确;
对于D中,若方程有且只有两个实根,
即与的图象有两个不同的交点,可得,所以D正确.
故选：BCD.
12．答案：120
解析：依题意可得不同的分法种数为.
故答案为:120
13．答案：600
解析：先选司机有种，再选副驾，
若副驾坐人，则有种；
若副驾不坐人，则有种，
故不同的坐法种数为.
故答案为：600
14．答案：
解析：依题，
因为有两个不同的极值点，
所以有两个不等实根.
即函数与图像在上有两个不同交点，
令过原点且与图像相切的直线斜率为k，
由图可知，，
设切点为，则，
又，所以，解得，
于是，所以.
故答案为：
15．答案：（1）10
（2）或
解析：（1）因为，所以.
又因为，所以，解得.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以.
因为，所以，即，解得，
所以，又，所以或.
16．答案：（1）256（种）
（2）24（种）
（3）144（种）
（4）12（种）
解析：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.
（2）这是全排列问题，共有（种）放法.
（3）方法1：先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个
盒子，有种投放方法，故共有（种）放法.
方法2：先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，
把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，
所以共有（种）放法.
（4）方法1：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，
余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，
故共有（种）放法.
方法2：恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，
第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，
由分步计数原理得，共有（种）放法.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设切点为,则,得,
则切线的斜率,
所以切线方程为,即,
因为切线过点,所以,化简得,
解得,
所以切线方程为,即;
（2）由,得,
令,则
,
当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
所以,
所以,
即c的取值范围为.
18．答案：（1）,
（2）
（3）
解析：（1）因为,所以,
因为在处取得极值,所以,且,
故且,解得,;
（2）由（1）知,所以
令,则或,当时,,当时,,所以在区间是减函数在区间,是增函数.
所以,在区间上,当时,取得最大值为;
（3）由（2）知在时取得最大值为,在时取极小值,
若关于x的方程有三个不同的根,则,
得,所以m的取值范围是.
19．答案：(1)6，单调递增区间为，，单调递减区间为
(2)答案见解析：
(3)
解析：(1)，
，解得，
此时，
令，有或，
令，有，
所以是的极值点，满足题意，
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是.
(2)由(1)知，
当即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当即时，
由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，
由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，
单调递减区间为；
当即时，由得，
得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，当时，在上单调递增，无递减区间，
当时，的单调递增区间为和，
单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)由题意
当时，令，有，
令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.
