湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期期中联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是( )
A. B.
C. D.
2.已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+an+1+an+2=2,则a2 025=( )
A.4 B.2
C.-2 D.-4
3.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是( )
A.an=(10n-1) B.an=(10n-1)
C.an= D.an=(10n-1)
4、现有一球形气球,在吹气过程中,气球的体积V(单位:L)与直径d(单位:dm)的关系式为V=,当d=2 dm时,气球体积的瞬时变化率为( )
A.2π B.π
C. D.
5、若两曲线y=ln x-1与y=ax2存在公切线,则正实数a的取值范围是( )
A.(0,2e] B.
C. D.[2e,+∞)
6、如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7、(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是( )
A.60 B.80
C.84 D.120
8、甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有( )
A.20种 B.16种
C.12种 D.8种
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、(多选题)如果函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则以下关于函数y=f(x)的判断正确的是( )
A.在区间(2,4)上单调递减
B.在区间(2,3)上单调递增
C.-3是极小值点
D.4是极大值点
10、(多选题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(-2)为函数的极小值
C.f(x)有两个极小值
D.f(-1)为f(x)的极小值
11、(多选题)已知(1-2x)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,则下列结论正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
B.展开式中所有奇次项的系数的和为
C.展开式中所有偶次项的系数的和为
D.=-1
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、已知等差数列{an}的项数为奇数,其中所有奇数项和为290,所有偶数项和为261,则该数列的项数为 。
13、已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且x≤1时,f(x)=ex+x-1,则曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为 。
14、(x+1)2的展开式中,x3的系数是 。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15、（本小题满分15分）
在数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,Sn+1=4an+2,a1=1。
(1)设cn=,求证数列{cn}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式。
16、（本小题满分15分）
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=,且满足(n-1)·Sn+2nan+1=0。
(1)设bn=,证明:{bn}是等比数列;
(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:Tn<2。
17、（本小题满分15分）
已知函数f(x)=2sin x-sin 2x。
(1)当0≤x≤π时,求f(x)的最大值;
(2)当时,证明:f(x)>ln(x+1)。
18、（本小题满分15分）
已知函数f(x)=ex+sin x-1。
(1)判定函数f(x)在上的零点个数;
(2) x≥0,f(x)+mx≥0恒成立,求实数m的取值范围。
19、（本小题满分17分）
有6名同学报名参加3个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法(6名同学不一定都能参加)
(1)每人只参加一项,每项人数不限;
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项;
(3)每项限报一人,但每人参加的项目不限。高二数学试题答案
一、选择题：
1、C 解析 由已知,得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,a3=,所以+(-1)4,a4=3,所以3a5=3+(-1)5,所以a5=,所以。故选C。
2.D 解析 因为a1=2,a2=4,an+an+1+an+2=2,所以an+2=2-an+1-an,则a3=2-a2-a1=-4,a4=2-a3-a2=2,a5=2-a4-a3=4,…,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2 025=a675×3=a3=-4。故选D。
3.C 解析 根据题意,数列9,99,999,9 999,…的第n项为10n-1,则数列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的第n项为×(10n-1)=1-,则数列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一个通项公式是an=。故选C。
4、A 解析 设V=f(d)=,则f'(d)=,所以当d=2 dm时,气球体积的瞬时变化率为f'(2)=2π。故选A。
5、B 解析 设公切线与曲线y=ln x-1和y=ax2的切点分别为(x1,ln x1-1),(x2,a),其中x1>0,对于y=ln x-1有y'=,则y=ln x-1的切线方程为y-(ln x1-1)=(x-x1),即y=+ln x1-2。对于y=ax2有y'=2ax,则y=ax2的切线方程为y-a=2ax2(x-x2),即y=2ax2x-a,所以则-=ln x1-2,即ln x1(x1>0)。令g(x)=2x2-x2ln x,则其定义域为(0,+∞),g'(x)=3x-2xln x=x(3-2ln x),令g'(x)=0,得x=,当x∈(0,)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g()=e3,故06、A 解析 由题意知,只有在x=-1处满足f'(-1)=0,且其两侧导数值符号为左负右正。故选A。
7、D 解析 因为(1+x)n的展开式的通项Tr+1=xr,所以(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是
+…++…++…++…+=…==120。故选D。
8、B 解析 因为乙和丙之间恰有2人,所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位,①当乙丙及中间2人占据首四位,此时还剩末位,故甲在乙丙中间,排乙丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8种方法;②当乙丙及中间2人占据尾四位,此时还剩首位,故甲在乙丙中间,排乙丙有种方法,排甲有种方法,剩余两个位置两人全排列有种排法,所以有=8种方法。由分类加法计数原理可知,一共有8+8=16种排法,故选B。
二、选择题：
9、BD 解析 函数y=f(x)在区间(2,4)上f'(x)>0,则函数f(x)在区间(2,4)上单调递增,故A不正确,B正确;C项,由题中图象知当x=-3时,函数f'(x)取得极小值,但是函数y=f(x)没有取得极小值,故C错误;D项,当x=4时,f'(x)=0,当20,函数y=f(x)单调递增,当x>4时,f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减,故4是函数f(x)的极大值点,故D正确。故选BD。
10、BC 解析 由题图知,当x∈(-∞,-2)时,g(x)>0,所以f'(x)<0,当x∈(-2,0)时,g(x)<0,所以f'(x)>0,当x∈(0,1)时,g(x)<0,所以f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g(x)>0,所以f'(x)>0。所以f(x)在(-∞,-2),(0,1)上单调递减,在(-2,0),(1,+∞)上单调递增。故AD错误,BC正确。故选BC。
11、ACD 解析 对于A,(1-2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数的和为22 023,故A正确;对于B,令f(x)=(1-2x)2 023,则a0+a1+a2+a3+…+a2 023=f(1)=-1,a0-a1+a2-a3+…-a2 023=f(-1)=32 023,所以展开式中所有奇次项的系数的和为,展开式中所有偶次项的系数的和为,故B错误,C正确;对于D,a0=f(0)=1,+…+-a0=-1,故D正确。故选ACD。
三、填空题：
12、 19 解析 设等差数列{an}的前n项和为Sn,项数为2k-1,则,解得k=10,则项数为2×10-1=19。
13、 2x+y-4=0 解析 解法一:P(2,f(2))关于直线x=1的对称点为(0,f(0)),即点(0,0),当x≤1时,f'(x)=ex+1,f'(0)=2,所以f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,其关于直线x=1对称的直线方程即所求方程为2x+y-4=0。
解法二:设点M(x1,y1),N(x2,y2)分别为函数f(x)的图象上关于直线x=1对称的两点,且x1≤11时,f(x)=e2-x-x+1,所以f(2)=e2-2-2+1=0,f'(x)=-e2-x-1,所以f'(2)=-e2-2-1=-2,所以曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=-2(x-2),即2x+y-4=0。
14、 15 解析 的展开式的通项为Tk+1=x5-2k,(x+1)2=x2+2x+1,当在(x2+2x+1)中取x2时,令5-2k=1,解得k=2,则有x2x=10x3;当在(x2+2x+1)中取2x时,令5-2k=2,无解;当在(x2+2x+1)中取1时,令5-2k=3,解得k=1,则有1×x3=5x3。所以(x+1)2的展开式中,含x3的项为10x3+5x3=15x3,所以x3的系数是15。
四、解答题：
15、解 (1)证明:在数列{an}中, n∈N*,Sn+1=4an+2,则当n≥2时,Sn=4an-1+2,两式相减,得an+1=4an-4an-1。因为cn=,即an=2ncn,所以2n+1cn+1=4×2ncn-4×2n-1cn-1,整理得cn+1=2cn-cn-1,即cn+1+cn-1=2cn,所以数列{cn}是等差数列。
(2)由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,又a1=1,所以a2=5,c1=,c2=,因此,等差数列{cn}的公差d=,即{cn}是以为首项,为公差的等差数列,所以cn=(n-1)=,即,则an=(3n-1)·2n-2,所以数列{an}的通项公式为an=(3n-1)·2n-2。
16、证明 (1)因为(n-1)Sn+2nan+1=0,而an+1=Sn+1-Sn,所以(n-1)Sn+2n(Sn+1-Sn)=0,所以,即bn+1=bn,而b1=S1=a1=,所以数列{bn}是以为首项,为公比的等比数列。
(2)由(1)知,所以Sn=,所以an+1=。当n=1时,c1==1,所以T1<2。当n≥2时,cn=,所以Tn=1++…++…+<2。综上,Tn<2。
17、解 (1)f'(x)=2cos x-2cos 2x=2cos x-2(2cos2x-1)=(-cos x+1)(4cos x+2)。当0≤x≤π时,令f'(x)>0,得-(2)证明:设g(x)=f(x)-ln(x+1)=2sin x-sin 2x-ln(x+1),则g'(x)=-4cos2x+2cos x+2-时,1->0,所以g'(x)>-4cos2x+2cos x+1,又-4cos2x+2cos x+1=-4,所以-4cos2x+2cos x+1>0,所以g'(x)>0在区间上恒成立。所以g(x)在区间上单调递增,所以g(x)≥g-0.739>0,所以当时,f(x)>ln(x+1)。
18、【分析】 对于第(2)问:设g(x)=ex+sin x+mx-1(x≥0),因为g(0)=0,g(x)≥0,所以一定存在x0>0,使g(x)在(0,x0)上单调递增,否则不满足g(x)≥0。又g'(x)=ex+cos x+m,所以g'(0)=m+2≥0,即m≥-2。这可能就是所要求的范围,下面给予证明。
【解】 (1)由题意得f'(x)=ex+cos x,当x∈时,易得函数f'(x)单调递增,而f'(-π)=e-π-1<0,f'>0,故存在x0∈,使f'(x0)=0,当x∈[-π,x0)时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0,而f(-π)=e-π-1<0,f-2<0,所以函数f(x)在上无零点。当x∈时,f'(x)=ex+cos x>0,所以函数f(x)在上单调递增,又f(0)=0,所以函数f(x)在上有1个零点。综上所述,函数f(x)在上有1个零点。
(2)设g(x)=ex+sin x-1+mx(x≥0),则g(0)=0,g'(x)=ex+cos x+m,g'(0)=m+2。由于g″(x)=ex-sin x>0,所以g'(x)在[0,+∞)上单调递增。若m≥-2,则有g'(x)≥g'(0)≥0,此时g(x)在[0,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(0)=0符合题意。若m<-2,则g'(0)<0,在x>0时,存在一个区间(0,x0),使得g'(x)<0。此时有g(x0)<0与题意不符。故m<-2时不合题意。综上可知,实数m的取值范围是[-2,+∞)。
19、解 (1)每人都可以从三个竞赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数为36=729。
(2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目只有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数为6×5×4=120。
(3)每项限报一人,每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这6名同学中选出一人参赛,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法种数为63=216。
