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第九章 静电场及其应用
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热点专练1 静电力平衡问题
1.(2024·新课标卷，5)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则( )
A．两绳中的张力大小一定相等
B．P的质量一定大于Q的质量
C．P的电荷量一定小于Q的电荷量
D．P的电荷量一定大于Q的电荷量
答案：B
答案：D
3.(2024·江苏卷，1)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的场强大小关系是( )
A．Ea＝Eb B．Ea＝2Eb
C．EaEb
答案：D
4.(2023·海南卷，8)如图所示，一光滑绝缘轨道水平放置，直径上有A、B两点，AO＝2 cm，OB＝4 cm，在AB固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷，现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷)，已知AP∶BP＝n∶1，试求Q1∶Q2是( )
A．2n2∶1
B．4n2∶1
C．2n3∶1
D．4n3∶1
答案：C
热点专练2 电场强度的合成与分解
答案：＜ kg·m3·s－4·A－2
6．(2022·山东卷，3)半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于OC延长线上距O点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为( )
答案：C
7.(多选)(2021·河北卷，10)如图，四个电荷量均为q(q>0)的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为(4l,0)、(－4l,0)、(0，y0)和(0，－y0)，其中x轴上的两个点电荷位置固定，y轴上的两个点电荷可沿y轴对称移动(y0≠0)，下列说法正确的是( )
A．除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零
B．当y0取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点
C．当y0＝8l时，将一带负电的试探电荷由点(4l,5l)移至点(0， －3l)，静电力做正功
D．当y0＝4l时，将一带负电的试探电荷放置在点(l，l)处，其所受到的静电力方向与x轴正方向成45°倾斜向上
答案：ACD
解析：根据场强叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，选项A正确；因为在x轴上的两个点电荷在O点的合场强为零，在y轴上的两电荷，无论y0取什么值，因为关于原点对称，则在O点的合场强也为零，在横轴和纵轴上除原点外，出现合场强为零的点，根据对称性可知，一定是成对出现的，关于原点对称，所以算上原点，合场强为零的点是奇数个，不会是2个，选项B错误；由几何关系可知，坐标为(4l,5l)的A点在第一象限内所在的虚线的垂直平分线上；坐标为(0，－3l)的B点在第三象限内所在的虚线的垂直平分线上，且到达虚线的距离相等，由电势叠加可知，B点的电势高于A点，则带负电的试探电荷在A点的电势能较大，从A点到B点电势能减小，可知电场力做正功，选项C正确；
8.(多选)(2021·湖北卷，11)如图所示，一匀强电场E大小未知、方向水平向右。两根长度均为L的绝缘轻绳分别将小球M和N悬挂在电场中，悬点均为O。两小球质量均为m、带等量异号电荷，电荷量大小均为q(q>0)。平衡时两轻绳与竖直方向的夹角均为θ＝45°。若仅将两小球的电荷量同时变为原来的2倍，两小球仍在原位置平衡。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( )
答案：BC
答案：B第九章 素能测评卷
(时间：75分钟，满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意)
1．关于点电荷和元电荷的下列说法中正确的是( )
A．点电荷和元电荷都是指电荷量小体积小的带电体
B．点电荷带电荷量通常取e＝1.60×10－19 C
C．体积很大的带电体也能看成是点电荷，带电荷量可以是4.0×10－17 C
D．电荷量e的数值最早是由科学家库仑用实验测得的
答案：C
解析：元电荷是指最小的电荷量单位，而点电荷是指只有当带电体所带电荷量及形状体积与所研究的问题相比可忽略不计时，才可看作点电荷，不一定是电荷量小体积小的带电体都可看作是点电荷，选项A错误；元电荷e＝1.60×10－19 C，选项B错误；体积很大的带电体所带电荷量与所研究的问题相比可忽略不计时，也能看成是点电荷；带电体所带电荷量都是1.60×10－19 C的整数倍，则带电荷量可以是4.0×10－17 C，选项C正确；电荷量e的数值最早是由科学家密立根用实验测得的，选项D错误。故选C。
2．下列说法中正确的是( )
A．根据E＝可知，电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比
B．电场中某点的电场强度E＝，与试探电荷的受力大小及带电荷量无关
C．电场中某点的电场强度方向即试探电荷在该点的受力方向
D．公式E＝和E＝只适用点电荷形成的电场
答案：B
解析：根据比值定义法，由E＝可知，电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力无关，只是在数值上等于二者比值而已。故A错误，B正确；电场中某点的电场强度方向即带正电的试探电荷在该点的受力方向。故C错误；公式E＝是定义式适用于任何电场，E＝为真空中点电荷的决定式只适用点电荷形成的电场。故D错误。故选B。
3．导体达到静电平衡时，下列说法正确的是( )
A．导体内部没有电场
B．电荷只分布在导体的内、外表面
C．导体内部的合电场强度E为零
D．导体表面和内部的合电场强度均为零
答案：C
解析：金属导体在点电荷附近，出现静电感应现象，导致电荷重新分布。因此在金属导体内部出现感应电荷的电场，正好与点电荷的电场叠加，内部电场强度处处为零，导体表面电场强度不为零，故A、D错误，C正确；金属导体的内部电场强度处处为零，导体内部不再有电荷定向移动，净电荷分布在导体外表面，故B错误。故选C。
4．如图所示，较厚的空腔球形导体壳中有一个正点电荷，则图中a、b、c、d各点的电场强度大小关系为( )
A．Ea>Eb>Ec>Ed B．Ea>Ec＝Ed>Eb
C．Ea>Ec>Ed>Eb D．Ea答案：C
解析：当静电平衡时，空腔球形导体壳内壁感应出负电荷，外壁感应出正电荷，感应电荷形成的电场与点电荷形成的电场叠加，导致空腔球形导体壳内(阴影部分)场强为零。如图画出电场线的大致分布。由于a处电场线较密，c处电场线较疏，d处电场线更疏，b处场强为零，则Ea>Ec>Ed>Eb，故选C。
5．如图所示是某静电场的一部分电场线分布情况，下列说法中正确的是( )
A．这个电场可能是负点电荷的电场
B．点电荷q在A点受到的电场力比在B点受到的电场力大
C．负电荷在B点受到的电场力的方向沿电场线的切线方向
D．点电荷q在A点的瞬时加速度比在B点的瞬时加速度小(不计重力)
答案：B
解析：负电荷电场中的电场线是从无穷远出发指向负电荷的直线，而该电场线是曲线，所以A错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以EA＞EB，依据F＝qE，则有点电荷q在A点受到的电场力比在B点受到的电场力大，故B正确；电场线的切线方向为该点场强的方向，所以负电荷在B点受到的电场力的方向沿电场线切线的反方向，故C错误；根据牛顿第二定律，可知，电场力越大，产生加速度也越大，则点电荷q在A点的瞬时加速度比在B点的瞬时加速度大，故D错误。故选B。
6．均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，O为球心，直线ab是过球体中心的一条水平线，球体表面与直线ab交于C、D两点，直线ab上有两点P、Q，且PC＝DQ＝R。现垂直于CD将球面均分为左右两部分，并把右半部分移去，左半球面所带电荷仍均匀分布，此时P点电场强度大小为E，则Q点的电场强度大小为( )
A．－E B．－E
C． D．＋E
答案：A
解析：先将带电球体补全，一半径为R的球体表面均匀带有正电荷，电荷量为q，在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场，则在P、Q两点所产生的电场为E0＝＝，左半球面所带电荷在P点的电场强度大小为E，由对称性可知去掉的右半球面所带电荷在Q点的电场强度大小为E，则EQ＝E0－E＝－E。故选A。
7．如图，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝ B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝ D．a、b的电荷异号，k＝
答案：D
解析：根据同种电荷相斥，异种电荷相吸，且小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线，可知，a、b的电荷异号，对小球c受力分析，如图所示。因ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm，因此ac⊥bc，那么两力的合成构成矩形，依据相似三角形之比，则有＝＝，根据库仑定律有Fa＝k，Fb＝k，综上所得＝×＝，故D正确，A、B、C错误。
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多个选项符合题意，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，错选或不答的得0分)
8.如图所示为静电除尘示意图，在M、N两点间加高压电源时，金属管内空气电离，电离的电子在电场力的作用下运动，遇到烟气中的煤粉，使煤粉带负电荷，因而煤粉被吸附到管壁上，排出的烟就清洁了。下列说法正确的是( )
A．N接电源的正极 B．M接电源的正极
C．电场强度Em＞En D．电场强度Em＜En
答案：AC
解析：电子附在煤粉上，使煤粉带上负电荷，煤粉吸附在管壁上，说明管壁带正电荷，N接电源正极。选项A正确，B错误；构建类似于点电荷的辐射电场，越靠近金属丝的电场强度越大，即Em＞En，选项C正确，D错误。故选AC。
9.如图所示，用两根等长的轻质细绝缘线M、N把带电小球甲悬挂在水平天花板上，两线之间的夹角为θ＝74°。小球甲电荷量为q＝1.0×10－6 C，质量为m＝0.25 kg，小球甲的正下方l＝0.1 m处固定有一带等量同种电荷的小球乙。小球甲、乙均可视为点电荷，已知静电力常量k＝9×109 N·m2/C2，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则( )
A．小球甲、乙之间的库仑力大小为0.9 N
B．细线N的拉力大小为1 N
C．剪断细线M瞬间，小球甲的加速度大小为1.92 m/s2
D．剪断细线M瞬间，细线N的拉力大小为1.28 N
答案：ABD
解析：小球甲、乙之间的库仑力F＝k＝0.9 N，选项A正确；对小球甲受力分析，根据平衡条件有2Tcos 37°＋F＝mg，解得细线N的拉力大小T＝1 N，选项B正确；剪断细线M瞬间，甲的加速度方向与细线N垂直，根据牛顿第二定律mgcos 37°＝Fcos 37°＋T′，mgsin 37°－Fsin 37°＝ma，联立解得T′＝1.28 N，a＝3.84 m/s2，选项C错误、D正确。故选ABD。
10.如图所示为某一点电荷所形成的一簇电场线，a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，其中b虚线是以点电荷为圆心的一段圆弧，AB的长度等于BC的长度，且三个粒子的电荷量大小相等，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．a一定是正粒子的运动轨迹，b和c一定是负粒子的运动轨迹
B．a一定是负粒子的运动轨迹，b和c一定是正粒子的运动轨迹
C．a虚线对应的粒子的加速度越来越小，c虚线对应的粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子的加速度大小不变
D．b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量
答案：CD
解析：由三个粒子的运动轨迹可知，a粒子受向左的电场力，b和c受到向右的电场力，由于电场线的方向未知，所以不能确定粒子的电性，故A、B均错误；由于电场线的疏密表示电场强度的大小，粒子只受电场力，故a虚线对应的粒子所受的电场力越来越小，则其加速度越来越小，c虚线对应的粒子的加速度越来越大，b虚线对应的粒子的加速度大小不变，但方向在变化，故C正确；a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹，且三个粒子的电荷量大小相等，故它们所受的静电力大小相等，由于b粒子做圆周运动，说明向心力等于静电力，C粒子做向心运动，故静电力大于需要的向心力，根据向心力公式F＝知b虚线对应的粒子的质量比c虚线对应的粒子的质量大，故D正确。故选CD。
三、非选择题(本题共5小题，共54分)
11．(8分)如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电金属小球B(视为质点)，用长为l的绝缘细线固定在左边一檐角，使其刚好贴着正面绝缘墙壁。在正面墙壁上画好一个量角刻度尺。取一个与小球B完全相同(除电荷量外)的小球A，A连接绝缘细杆，手提绝缘细杆让小球A上下移动至小球A、B在同一水平线上且平衡时，读出小球B偏离竖直方向的夹角θ＝30°。静电力常量为k，重力加速度大小为g，求：
(1)绝缘细线的拉力大小；
(2)小球A所带的电荷量Q。
答案：(1) (2)
解析：(1)对小球B受力分析有T＝＝；
(2)对小球B受力分析有
k＝mgtan θ，
解得Q＝。
12．(8分)如图，A、B、C、D是正方形的四个顶点，在A点和C点放有电荷量都为q的正电荷，在B点放了某个未知电荷q′后，恰好D点的电场强度等于0。求放在B点的电荷电性和电荷量。
答案：带负电，2q
解析：设正方形边长为l，A、C点的电荷在D点的场强均为E＝k，
则A、C点的电荷在D点的合场强为
E′＝＝，
因为D点的电场强度恰好等于零，则B点的点电荷在D点的场强与A、C点的电荷在D点的合场强等大反向，因此B点的点电荷带负电，且B点的点电荷在D的电场强度大小是E′＝k，
解得q′＝2q。
13.(12分)如图所示，一质量m＝2×10－4 kg，电荷量q＝＋3×10－9 C的带电小球A用长为10 cm的轻质绝缘细线悬挂于O点，另一带电荷量未知的小球B固定在O点正下方绝缘柱上(A、B均可视为点电荷)。当小球A平衡时，恰好与B处在同一水平线上，此时细线与竖直方向的夹角θ＝37°。已知重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
(1)小球A受到的静电力大小；
(2)小球A所在位置的场强大小和方向；
(3)小球B的电荷量Q。
答案：(1)1.5×10－3 N
(2)5×105 N/C 方向水平向右
(3)2×10－7 C
解析：(1)小球A受重力、绳子的拉力和B球的斥力，根据平衡可知，A球受到水平向右的静电力为：F＝mgtan θ＝1.5×10－3 N；
(2)根据电场强度定义式可知：E＝，
解得电场强度大小为E＝5×105 N/C，
方向水平向右；
(3)根据库仑定律得F＝
解得小球B的电荷量为Q＝2×10－7 C。
14.(12分)如图所示，两异种点电荷的电荷量均为Q，绝缘竖直平面过两点电荷连线的中点O且与连线垂直，平面上A、O、B三点位于同一竖直线上，AO＝BO＝L，点电荷到O点的距离也为L。现有电荷量为－q、质量为m的小物块(可视为质点)，从A点以初速度v0向B滑动，到达B点时速度恰好减为零。已知物块与平面的动摩擦因数为μ。求：
(1)A点的电场强度的大小；
(2)物块运动到B点时加速度的大小和方向；
(3)物块通过O点的速度大小。
答案：(1)
(2)－g，方向竖直向上
(3)v0
解析：(1)正、负点电荷在A点产生的场强大小E0＝k＝k
A点的电场强度的大小E＝E0＝；
(2)由牛顿第二定律得μqE－mg＝ma
解得a＝－g，方向竖直向上；
(3)小物块从A到B过程中，设克服阻力做功Wf，
由动能定理得2mgL－Wf＝0－mv
小物块从A到O过程中mgL－Wf＝mv2－mv
解得v＝v0。
15．(14分)如图所示，在范围足够大的场强大小为E的匀强电场区域中的O点固定一电荷量为＋Q的点电荷，以O点为圆心、r为半径作一圆，a、b、c、d为圆周上的点且ac、bd为相互垂直的两条直线(其中一条沿水平方向)。当把一不计重力、带电荷量为＋q的试探电荷放在d点时，电荷恰好静止。则：
(1)匀强电场场强E的大小、方向如何？
(2)试探电荷放在c点时，受力Fc的大小、方向如何？
(3)试探电荷放在b点时，受力Fb的大小、方向如何？
答案：(1)k，方向沿db方向
(2)k，方向与ac方向成45°角斜向左下
(3)2k，方向沿db方向
解析：(1)如图所示
试探电荷放在d点时，由题意可知
F1＝，F2＝qE
因为电荷恰好静止，所以F1＝F2
得E＝k
场强方向沿db方向。
(2)如图所示
试探电荷放在c点时
Ec＝＝E＝k
Fc＝qEc＝k
方向与ac方向成45°角斜向左下。
(3)如图所示
试探电荷放在b点时
Eb＝E2＋E＝2E＝2k
Fb＝qEb＝2k
方向沿db方向。
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