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第十章 静电场中的能量
专题强化 静电场中的图像问题
探究点1 φ－x图像
φ－x图线
1．正负点电荷的φ－x图像(取无限远处电势为零)，如图1所示：
2．两个等量同种点电荷的φ－x图像，如图2所示：
3．两个等量同种点电荷中垂线上的φ－x图像，如图3所示：
图1 图2 图3
特点：两正点电荷连线上，中点电势最低；在两正点电荷连线的中垂线上，中点电势最高。关于中点左右对称或上下对称的点电势相等。
4．两个等量异种点电荷的φ－x图像，如右图所示：
特点：两点电荷连线的中垂面上的电势为零。
典题1：某静电场在x轴正半轴上的电势φ随x变化的关系如图所示，则( )
A．x1处跟x2处的电场强度方向不同
B．x1处跟x2处的电场强度大小相等
C．若把带正电的粒子从x1处移到x2处，电场力先做正功再做负功
D．同一个带正电的粒子在R处具有的电势能大于在x2处的电势能
?[思维点拨]
[思维点拨]
知道电势的正负、φ－x图像的斜率、面积的物理意义，最好找出对应的电荷分布模型。
答案：D
解析：φ随x变化的关系图像的斜率表示场强，x1和x2处的斜率都是负值，说明场强方向相同，故A错误；x1处的斜率大于x2处的斜率，说明x1处的电场强度大于x2处的电场强度，故B错误；从x1处到x2处，电势逐渐降低，则从x1处到x2处移动正电荷，电场力一直做正功，电势能一直减小，故C错误；根据Ep＝qφ可知，正电荷在R处具有的电势能为零，在x2处的电势小于零，所以正电荷在此具有的电势能小于零，电势能为标量，正负号表示大小，所以同一个带正电荷的粒子在R处具有的电势能大于在x2处的电势能，故D正确。故选D。
?[规律方法]
[规律方法]
在φ－x图像中可以判断电场类型，如图所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强电场。
φ－x图像的斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示场强的方向；正电荷从高电势向低电势移动，电场力做正功；电势能是标量，对正电荷来说，电势越高电势能越大。
跟踪训练1：(多选)两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系图像如图所示，其中P点电势最高，且AP＜BP，则( )
A．q1的电荷量大于q2的电荷量
B．从P点到B点，电场强度逐渐增大
C．q1和q2都是负电荷
D．在A、B之间将一负试探电荷从P点左侧移到右侧，电势能先减少后增加
答案：BCD
探究点2 Ep－x图像
典题2：一带负电粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x的变化关系如图所示，则粒子在从x1向x3运动的过程中，下列说法中正确的是( )
A．在x1处粒子速度最大
B．在x2处粒子加速度最大
C．在x3处电势最高
D．在x2处电势为零
?[思维点拨]
答案：C
?[规律方法]
[规律方法]
跟踪训练2：(多选)如图所示，空间中存在沿x轴的静电场，x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电荷量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，在
粒子沿x轴运动的过程中，其电势能Ep沿x轴的
变化如图所示，下列说法正确的是( )
答案：AC
探究点3 E－x图像
典题3：(多选)真空中相距为3a的两个点电荷M、N，分别固定于x轴上x1＝0和x2＝3a的两点上，在它们连线上各点场强随x变化关系如图所示，沿x轴正方向电场强度E为正，以下判断中正确的是( )
A．点电荷M、N一定为同种电荷
B．点电荷M、N所带电荷量的绝对值之比为4∶1
C．把一个检验电荷由x1位置静止释放，其加速度一直减小
D．把一个正检验电荷由x3＝a的位置静止释放，其电势能一直减小
?[思维点拨]
[思维点拨]
E是矢量，注意正负号表示方向，认识图线与x交点的意义和两条渐近线的物理意义。
答案：AB
?[规律方法]
[规律方法]
(1)图像中纵方向的渐近线表示对应的x轴的坐标点有点电荷，图线与x轴的交点表示该点的合场强为零。
(2)E－x图像反映了电场强度随位移变化的规律，E>0表示电场强度沿x轴正方向；E<0表示电场强度沿x轴负方向。
(3)E－x
图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图
所示)，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒
子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、
动能变化、电势能变化等情况。
跟踪训练3：(多选)在x轴上电场强度E与x的关系如图所示，O为坐标原点，a、b、c为x轴上的点，a、c之间的距离为d，a、c两点的电场强度大小均为E0，则下列说法中正确的是( )
A．φb＞φa＝φc＞φO
B．φO＞φa＞φb＞φc
C．将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d|
D．将质子从a点移到c点，质子的电势能增加
答案：BC
解析：在E－x图像中，图像与x轴所围面积表示电势差，由图可以看出x轴上Oc段与图线所围面积大于ac段与图线所围面积，ac段与图线所围面积大于bc段与图线所围面积，即UOc＞Uac＞Ubc＞0，所以φO＞φa＞φb＞φc，故B正确，A错误；ac段与图线所围面积大于E0d，即Uac＞E0d，所以将质子从a点移到c点，电场力做功大于|eE0d|，故C正确；将质子从a点移到c点，电场力做正功，质子的电势能减少，D错误。
探究点4 其他图像问题
典题4：(多选)两个等量同种电荷固定于光滑水平面上，其连线的中垂线(在水平面内)上有A、B、C三点，如图甲所示，一个电荷量为2× 10－5 C、质量为1 g的小物块从C点静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是( )
A．小物块带正电
B．A、B两点间的电势差UAB
＝－500 V
C．小物体由C点到A点电势能先减小再增大
D．B点为中垂线上电场强度最大的点，电场强度E＝100 V/m
答案：ABD
跟踪训练4：如图，电场中一正离子只受电场力作用从A点运动到B点。离子在A点的速度大小为v0，速度方向与电场方向相同。能定性反映该离子从A点到B点运动情况的速度—时间(v－t)图像是( )
答案：C
解析：电场中正离子只受电场力作用从A点运动到B点的过程中，电场力对离子做正功，速度增大，电场力提供加速度qE＝ma，场强减小，加速度减小，v－t图像中斜率表示加速度的大小，C对。
典题5：一个带负电的粒子从x＝0处由静止释放，仅受电场力作用，沿x轴正方向运动，加速度a随位置变化的关系如图所示，x2－x1＝x3－x2可以得出( )
A．在x1和x3处，电场强度相同
B．从x1到x3过程中，电势先升高后降低
C．粒子经x1和x3处速度等大反向
D．粒子在x2处电势能最大
答案：B
跟踪训练5：如图甲所示，一带正电的小球用绝缘细线悬挂在竖直向上的、范围足够大的匀强电场中，某时刻剪断细线，小球开始向下运动，通过传感器得到小球的加速度随下行速度变化的图像如图乙所示。已知小球质量为m，重力加速度为g，空气阻力不能忽略。下列说法正确的是( )
A．小球运动的速度一直增大
B．小球先做匀加速运动后做匀速运动
C．小球刚开始运动时的加速度大小a0＝g
D．小球运动过程中受到的空气阻力与速度大小成正比
答案：D
典题6：如图甲所示，光滑绝缘细杆竖直放置，距细杆右侧d的A点处有一固定的正点电荷，细杆上套有一带电小环，设小环与点电荷的竖直高度差为h，将小环无初速度地从h高处释放后，在下落至h＝0的过程中，其动能Ek随h的变化曲线如图乙所示，则下列判断中正确的是( )
A．小环带负电
B．从h高处下落至h＝0的过程中，小环电势能一直增大
C．从h高处下落至h＝0的过程中，小环先后经过了减速、加速、再减速三个阶段
D．小环将做以O点为中心的往复运动
答案：B
解析：若小环带负电，重力和静电力对小环都做正功，小环的动能一直增大，与图乙不符，所以小环带正电，故A错误；结合动能随着h的变化图像可知，小环带正电，从h高处下落至h＝0的过程中，小环所受的电场力为斥力，电场力一直做负功，小环的电势能一直增大，故B正确；结合动能随着h的变化图像可知：从h高处下落至h＝0的过程中，经过了加速、减速、再加速三个阶段，故C错误；过了O点后，电场力、杆对小环的支持力以及重力的合力向下，小环一直向下做加速运动，不会以O点为中心往复运动，故D错误。故选B。
跟踪训练6：(多选)如图甲所示，绝缘、光滑水平面上方，有水平向右的匀强电场，电场强度大小为E。在水平面右端固定一轻弹簧，一带电物块(可视为质点)质量为m，电量为＋q，将带电物块由静止释放，以物块出发点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立坐标系，物块动能Ek与它通过的距离x之间的关系如图乙，其中坐标x1处为弹簧原长位置，O～x1段为直线，坐标x2处动能最大，坐标x4处动能为零。下列说法正确的是( )
答案：AC
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内化知识 对点验收
1.(多选)真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着平行x轴方向的电场，x轴上各点的电势φ随位置x变化的关系图像如图所示，x＝0处电势为6 V。一个带负电粒子从x＝1 cm处由静止释放，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．x＝2 cm处的电势为零，电场强度大小也为零
B．x＝－1 cm的电场强度小于x＝1 cm处的电场强度
C．粒子沿x轴负方向运动过程中，电势能先变大后变小
D．粒子沿x轴负向运动到的最远位置处的坐标为x＝－1.5 cm
答案：BD
解析：φ－x图像的斜率等于电场强度，可知x＝2 cm处的电势为零，电场强度大小不为零，选项A错误；x＝－1 cm处直线的斜率小于x＝1 cm处直线的斜率，可知x＝－1 cm处的电场强度小于x＝1 cm处的电场强度，选项B正确；粒子沿x轴负方向运动过程中，由于电势先升高后降低，则带负电的粒子电势能先减小后变大，选项C错误；由能量关系，粒子沿x轴负向运动到的最远位置处的电势能等于x＝1 cm处的电势能，则运动到的最远位置处的电势等于x＝1 cm处的电势，则该位置坐标为x＝－1.5 cm，选项D正确。故选BD。
2.x轴上固定着两个点电荷A、B，两点电荷分别位于xA＝0、xB＝4d处，两者所在区域为真空，在两者连线上某点的电场强度E与该点位置的关系如图所示。选取x轴正方向为场强的正方向，无限远处电势为零。以下说法正确的是( )
A．点电荷A、B均带正电
B．点电荷A、B所带电荷量的绝对值之比为1∶9
C．x＝d处电势为零
D．将电子从x＝5d处无初速度释放，其电势能一直增加
答案：B
A．试探电荷带负电
B．A、B、C三点的电势关系：φA<φB<φC
C．A、B、C三点的电场强度关系：EC＝3EA＝1.5EB
D．该图线的斜率代表负点电荷的电荷量与试探电荷质量的比值
答案：C
4．一带电粒子在电场中仅受电场力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图所示。下列图像中合理的是( )
答案：D第十章 专题强化
课后知能作业
基础巩固练
1．空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是( )
A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向
B．E＝5 V/m，方向指向第一象限
C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向
D．E＝500 V/m，方向指向第三象限
答案：D
解析：在沿y轴方向，电势为40 V时，此时距离O点的距离为10 cm，而沿x轴方向，电势为40 V时，此时距离O点的距离为 cm，此两点为等势点，电场强度的方向垂直于两者连线且指向第三象限，由E＝计算可得电场强度大小为500 V/m，方向与x轴负方向成53°，指向第三象限，故A、B、C错误，D正确。
2.如图所示，该图像为x轴上各点的电场强度与各点位置坐标关系图像。取x轴正方向为电场强度的正方向，无穷远电势为零。A、B、C三点均在x轴上，坐标如图。由C点静止释放一个负点电荷，下列判断正确的是( )
A．该点电荷沿x轴正方向运动
B．该点电荷在坐标原点的电势能最小
C．A、B两点间电势差为－0.2 V
D．x轴上坐标原点电势最低
答案：B
解析：由电场强度与各点位置坐标关系图像可知，由C点静止释放一个负点电荷，该点电荷将围绕x轴上O点来回运动，A错误；该点电荷从C点到O点的过程中，电场力做正功，电势能减小，从O点再向右运动的过程中，电场力做负功，电势能增加，故在坐标原点的电势能最小，B正确；根据公式，由E－x图像与坐标轴所围的面积表示电势差可得UAB＝0，C错误；由于无穷远电势为零，由图像可知，x轴上坐标原点电势最高，D错误。故选B。
3．有一静电场，其电场强度方向平行于x轴，其电势φ随坐标x变化的图线如图所示，则下图中能正确表示该静电场的场强E随x的变化图像是(设场强沿x正方向取正值)( )
答案：A
解析：电场强度方向平行于x轴，电势φ随坐标x变化的图线的斜率的意义反映了电场强度。沿着电场线方向电势降低，则x轴上0～2 mm间场强E1＝ V/m＝2×104 V/m，沿x轴正方向电势升高，电场强度方向沿x轴负向；2～10 mm间场强E2＝ V/m＝－1×104 V/m，沿x轴正方向电势降低，电场强度方向沿x轴正向；10～12 mm间场强E3＝ V/m＝2×104 V/m，沿x轴正方向电势升高，电场强度方向沿x轴负向。故选A。
4．如图甲所示，A、B为电场中一直线上的两个点，带正电的点电荷只受电场力的作用，从A点以某一初速度做直线运动到B点，其电势能Ep随位移x的变化关系如图乙所示。则从A到B过程中，下列说法正确的是( )
A．点电荷的速度先增大后减小
B．空间电场是某负点电荷形成的
C．点电荷所受电场力先增大后减小
D．空间各点的电势先升高后降低
答案：D
解析：根据电势能Ep随位移x的变化图像可知点电荷运动过程中电势能先增大后减小，所以电场力先做负功再做正功，点电荷的动能先减小再增大，速度先减小后增大，故A错误；点电荷带正电，且电场力先做负功再做正功，所以电场强度的方向先向左再向右，空间电场可能是由某正点电荷形成的，故B错误；电势能Ep－x曲线的斜率表示电场力，可知电场力先减小后增大，故C错误；根据Ep＝qφ，正点电荷的电势能先增大后减小，所以从A到B，空间各点的电势先升高后降低，故D正确。
5.空间中一静电场的某物理量在x轴上分布情况如图所示，其中OA＝OB，则( )
A．若为E－x图像，则φA＝φB
B．若为E－x图像，则将一电子由A沿x轴移向B，电场力先做负功再做正功
C．若为φ－x图像，则EA、EB相同
D．若为φ－x图像，在A自由释放一质子，其仅在电场力作用下运动到B，加速度先变小后增大
答案：D
解析：若为E－x图像，由图像知，A到B电场强度一直是负值，表明电场方向一直是沿x轴负方向，沿电场线方向电势逐渐降低，因此A到B电势是升高的，则φA<φB，A、B之间电场方向一直是沿x轴负方向，电子受到的电场力方向指向x轴正方向，所以电场力一直做正功，故A、B错误；若为φ－x图像，其斜率代表电场强度，则A、B两点电场强度大小相等，但方向相反，故C错误；若为φ－x图像，A到O电势降低，电场方向指向x轴正方向，在A点静止释放质子所受电场力方向指向x轴正方向，质子将向x轴正方向运动，由图像斜率变化可知电场强度先变小，在O点为零，O到B过程电场反向逐渐变大，所以质子的加速度先变小后变大，故D正确。故选D。
6．在绝缘粗糙的水平面上相距为6L的A、B两处分别固定正点电荷，其电荷量分别为QA、QB，两点电荷的位置坐标如图甲所示。图乙是A、B连线之间的电势φ与位置x之间的关系图像，图中x＝L点为图线的最低点，若将质量为m、电荷量为＋q的带电小球(可视为质点)在x＝2L的C点由静止释放，其向左运动，则在接下来的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球一定能到达x＝－2L点处
B．小球在x＝L处的加速度最小
C．小球在向左运动过程中动能先增大后减小
D．电荷量QA∶QB＝2∶1
答案：C
解析：若水平面光滑根据动能定理得qU＝0，知U＝0，所以小球能运动到电势与出发点的电势相等的位置，由于x＝－2L处的电势高于x＝2L，所以不能到达x＝－2L点处，根据能量守恒定律可知，若水平面粗糙，则小球到达最左端的位置会比光滑时的还要近，故A错误；据φ－x图像切线的斜率等于场强E，则知x＝L处场强为零，所以在C处场强向左，小球向左加速运动，由于在运动过程中受到摩擦力，且摩擦力向右，大小不变，故在x＝L右侧某位置，合力为零，此时速度最大，加速度最小，所以小球向左做加速运动后做减速运动，故动能先增大后减小，故B错误，C正确；x＝L处场强为零，根据点电荷场强则有＝，解得QA∶QB＝4∶1，故D错误。
能力提升练
7.沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点O运动到位置x3过程中，下列说法不正确的是( )
A．粒子先加速后减速运动
B．粒子的电势能一直减小
C．坐标原点O和位置x2的电势差UOx2＝
D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量
答案：A
解析：由坐标原点O运动到位置x3过程中，电场方向一直为正方向，电场力方向与速度方向相同，电场力对粒子做正功，粒子速度一直增大，电势能一直减小，粒子的动能增加量等于电势能的减小量，故A错误，B、D正确；坐标原点O和位置x2间的电势差为图像与x轴所围成的面积，则有UOx2＝，故C正确。故选A。
8．如图所示，等量异种点电荷固定在x轴上且关于坐标原点O对称，取无穷远处电势为零，下列关于x轴上各点的电场强度和电势与x的关系正确的是( )
答案：A
解析：由于沿电场线电势降低，根据等量异种点电荷电场线的分布规律，两点电荷连线中垂线为等势线，即该等势线的电势与无穷远相等，根据题意中垂线电势为0，故A正确，B错误；电场线分布的密集程度表示电场的强弱，电场线切线方向表示电场的方向，根据等量异种点电荷的电场线的分布特征，可知，图中两点电荷之间电场方向向右，为正值，大小先减小后增大，正电荷左侧电场方向向左，为负值，负电荷右侧电场方向向左，为负值，故C、D错误。故选A。
9．(多选)一带正电微粒只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能随位移x变化的关系如图所示，其中O～x1段是曲线，x1～x2段是平行于x轴的直线，x2～x3段是倾斜直线，则下列说法正确的是( )
A．O～x1段电势逐渐升高
B．O～x1段微粒做加速度逐渐减小的加速运动
C．x1～x2段电场强度为零
D．x2～x3段的电势沿x轴均匀减小
答案：ACD
解析：电势能Ep＝φq，由于粒子带正电，O～x1段电势能变大，所以电势升高，A正确；根据静电力做功与电势能变化的关系ΔEp＝EqΔx，图像斜率反映场强大小，O～x1段图像斜率变小，场强变小，受力减小，加速度逐渐变小，由于电势能增加，静电力做负功，则微粒做减速运动，即微粒做加速度减小的减速运动，B错误；x2～x3段斜率为0，场强为零，C正确；x2到x3，电势能均匀减小，微粒带正电，所以电势沿x轴均匀减小，D正确。
10．(多选)沿电场中某条电场线方向建立x轴，该电场线上各点电场强度E随x的变化规律如图所示，x轴正方向为电场强度E的正方向，坐标轴上的点O、x1、x2和x3分别与x轴上O、A、B、C四点相对应，相邻两点间距相等。一个带正电的粒子从O点由静止释放，运动到A点的动能为Ek，仅考虑静电力作用，则下列说法正确的是( )
A．从O点到C点，电势先升高后降低
B．粒子先做匀加速运动，后做变加速运动
C．粒子运动到C点时动能大于3Ek
D．粒子在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量
答案：CD
解析：由O点到C点，沿电场方向，电势一直降低，A错误；电场强度大小一直在变化，静电力也就在不断变化，带正电的粒子的加速度在不断变化，做变加速运动，B错误；根据E随x的变化规律可知，由A到C电场强度平均值大于OA段电场强度平均值，A到C静电力做功大于2Ek，则粒子运动到C点时动能大于3Ek，C正确；粒子在AB段平均静电力大于BC段平均静电力，则AB段静电力做的功大于BC段静电力做的功，所以在AB段电势能减少量大于BC段电势能减少量，D正确。
11．(多选)如图所示，有一均匀对称带负电花环和一质量为m的带正电小球，小球由静止从花环正上方某一高处的A点落下，穿过花环中心又下落到与A对称的A′点。在这个过程中，若取花环中心为坐标原点且重力势能为零，无限远处电势为零，竖直向下为x轴正方向，则关于小球的加速度a、重力势能Ep、电势能εp、机械能E，这四个物理量与小球的位置坐标x的关系图像可能正确的是( )
答案：AD
解析：花环中心电场强度为零，无限远处电场强度为零，所以从中心到无限远处电场强度是先增加再减少。加速度是重力和静电力的合力与质量的比值，在花环上方，重力和静电力都向下，且静电力可能先增加再减小，所以加速度可能先增加再减小，在花环下方，重力向下，静电力向上，且静电力可能先增加再减小，合力可能先减小再增加，所以加速度可能先减小再增加，A正确；从A到A′重力做正功，重力势能减小，B错误；从A到A′静电力先做正功再做负功，所以电势能先减小再增加，但由于场强不均匀，所以静电力做功及电势能变化也不均匀，C错误；由机械能守恒的条件可知，除重力之外的其他力做功影响机械能的变化，静电力先做正功再做负功，所以机械能先增加再减小，小球在花环上方下落过程中静电力可能先变大再变小，在花环下方下落过程中静电力可能先变大再变小，这种变化情况是有可能的，D正确。
12．(多选)如图甲所示，a、b是点电荷电场中同一电场线上的两点，一个带电粒子在a点由静止释放，仅在静电力作用下从a点向b点运动，粒子的动能与位移之间的关系如图乙所示，则下列说法中正确的是( )
A．带电粒子与场源电荷带异种电荷
B．a点电势比b点电势高
C．a点场强比b点场强大
D．带电粒子在a点的电势能比在b点的电势能大
答案：CD
解析：粒子从a点向b点运动，Ek－x图像的切线斜率减小，根据动能定理，则有qE·x＝Ek，电场强度减小，因此a点更靠近场源电荷，则a点场强比b点场强大，若场源电荷是正电荷，则粒子带正电，若场源电荷是负电荷，则粒子带负电，它们带同种电荷，故A错误，C正确；由于不能确定场源电荷的性质，所以也不能确定电场线的方向，不能确定a点电势与b点电势的高低，故B错误；带电粒子仅在静电力作用下从a点运动到b点，静电力做正功，电势能减小，所以带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，故D正确。
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