第十章 第3节
课后知能作业
基础巩固练
1.如图所示，在某电场中画了三条电场线，a、b、c是同一条电场线上的三个点，b点是ac的中点，其电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec，电势分别为φa、φb、φc，已知a点的电势为φa＝20 V，c点的电势为φc＝0，下列说法正确的是( )
A．Ea>Eb>Ec B．Ea＝Eb＝Ec
C．φb>10 V D．φb<10 V
答案：C
解析：电场线疏密表示电场强度的大小，电场线越密电场强度越大，则Ea10 V，故C正确，D错误。
2.一电场等势面的分布情况如图所示，A、B、C和D分别为不同等势面上的点，则( )
A．A点的电场强度比B点的小
B．C点的电势比D点的高
C．将电子从D点移动到A点，电场力做功为15 eV
D．将电子从B点移动到C点，电势能减小5 eV
答案：D
解析：电场线与等势面垂直，电场线密的地方电场强度大，等势面密，电场线疏的地方电场强度小，等势面疏；故A点场强大，A错误；由图可知，C点电势为10 V，D点电势为15 V，C点的电势比D点的低，B错误；将电子从D点移动到A点，UDA＝φD－φA＝15 V，电场力做功WDA＝qUDA＝－15 eV，C错误；将电子从B点移动到C点，UBC＝φB－φC＝－5 V，WBC＝qUBC＝5 eV，WBC＝EpB－EpC，故电势能减小5 eV，D正确。故选D。
3.如图所示，A，B，C，D为匀强电场中相邻的四个等势面，一个电子垂直经过等势面D时，动能为20 eV，飞经等势面C时，电势能为－10 eV，飞至等势面B时速度恰好为零，已知相邻等势面间的距离均为5 cm，则下列说法错误的是( )
A．等势面A的电势为－10 V
B．等势面B的电势为零
C．电子再次飞经等势面D时，动能为10 eV
D．电子在等势面D时的电势能为－20 eV
答案：C
解析：电子从D到B的过程，根据动能定理得：－eUDB＝0－EkD，解得：UDB＝＝＝20 V，即D点电势高于B点电势，电场方向竖直向上，则电场强度为：E＝＝ V/m＝200 V/m，电子经过等势面C时的电势能为－10 eV，则C点的电势为φC＝＝＝10 V，所以C点与B点的电势差为UCB＝φC－φB＝EdCB，代入数据可得B点电势为0，因为CA间的电势差等于DB间的电势差，可知A点电势为－10 V，故A、B正确；整个过程中，只有电场力对电子做功，根据能量守恒定律得，电子再次经过D等势面时，动能不变，仍然为20 eV，故C错误；由前面的分析，可得D点的电势为20 V，所以电子在D点时具有电势能为EpD＝－e×20 V＝－20 eV，故D正确。本题选不正确的，故选C。
4.如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为( )
A．等于35 V B．大于35 V
C．小于35 V D．等于15 V
答案：C
解析：由图看出，ab段电场线比bc段电场线密，故ab段场强较大，根据公式U＝Ed可知，a、b间电势差Uab大于b、c间电势差Ubc，即：φa－φb>φb－φc，得到：φb<＝ V＝35 V。故选C。
5.如图所示，边长为1 m的正方体ABCD－EFGH所处空间中存在匀强电场(图中未画出)。已知A、B、F三点的电势分别为20 V、10 V、0，则下列判断正确的是( )
A．电场方向从F指向A
B．A、E两点电势差和H、D两点电势差相等
C．场强大小为10 V/m时，BCHE平面为等势面
D．场强大小可能为20 V/m
答案：C
解析：已知A、B、F三点的电势分别为20 V、10 V、0，根据匀强电场电势差与电场强度的关系可知φA－φE＝φB－φF，代入数据解得：φE＝10 V，则BE连线为等势线，电场线垂直等势线指向电势较低的方向，所以电场方向从A指向F，故A错误；根据匀强电场电势差与电场强度的关系可知A、E两点电势差和D、H两点电势差相等，故B错误；根据A项可知电场强度如图，则电场强度E＝＝ V/m＝10 V/m，此时BCHE平面为等势面，故C正确，D错误。
6.静电透镜是电子透镜的一种，它被广泛应用于电子器件(如阴极射线示波管)中。如图所示，虚线是某电子透镜中电场的等差等势线，一电子在该电场中的运动轨迹如图中实线所示，A、B、C分别是轨迹与等势线的交点。已知A点的电势为零，电子在A点的动能为32 eV，在B点的电势能为－15 eV，不计电子重力，下列说法正确的是( )
A．电子一定是从A点运动到C点
B．电子在经过C点时的动能为62 eV
C．B点的电势低于A点电势
D．电子在关于等势线d对称的两点所受电场力相同
答案：B
解析：分析可知粒子可能是从A点运动到C点，也可能是从C点运动到A点，故A错误；电子只在电场力作用下运动，则电子的电势能和动能之和不变，为32 eV，又由于图中为等差等势线，电子在B点的电势能为－15 eV，B点的电势为15 V，A点的电势为零，则等势线g的电势为30 V，则电子在C点的电势能为－30 eV，因此动能为62 eV，故B正确；B点的电势为15 V，高于A点电势，故C错误；电子在关于等势线d对称的两点所受电场力大小一定相同，但方向不一定相同，故D错误。
能力提升练
7.如图，在匀强电场中，场强方向与△abc所在平面平行，ac⊥bc，∠abc＝60°，＝0.2 m，一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从a移到b，电场力做功为零；同样的电荷从a移到c，电场力做功为1×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向分别为( )
A．500 V/m，沿ab由a指向b
B．500 V/m，垂直ab向上
C．1 000 V/m，沿ac由a指向c
D．1 000 V/m，垂直ab向上
答案：D
解析：正电荷从a移到b，电场力做功为零，ab两点电势相等，故ab应为等势线；因电场线与等势面相互垂直，故过c做ab的垂线，一定是电场线；正电荷从a到c过程，ac两点间的电势差Uac＝＝ V＝100 V，即a点电势高于c点的电势，故电场线垂直于ab向上；ac间沿电场线的距离d＝·cos 60°＝0.2×0.5 m＝0.1 m；由E＝可知：电场强度E＝ V/m＝1 000 V/m。故D正确，A、B、C错误。故选D。
8．如图所示，梯形abcd位于某匀强电场所在平面内，两底角分别为60°、30°，cd＝2ab＝4 cm，a、b两点的电势分别为4 V、0，将电荷量q＝1.6×10－3 C的正电荷由a点移动到d点，需克服电场力做功6.4×10－3 J，则该匀强电场的电场强度( )
A．垂直ab向上，大小为400 V/m
B．垂直bc斜向上，大小为400 V/m
C．平行ad斜向上，大小为200 V/m
D．平行bc斜向上，大小为200 V/m
答案：B
解析：本题考查匀强电场电势差与电场强度的关系。根据电场力做功确定两点间电势差，结合匀强电场中电势差与电场强度关系，确定等势点、等势面，从而确定电场方向，再计算电场强度的大小。Uad＝＝－ V＝－4 V，因为φa＝4 V，所以φd＝8 V，如下图所示，过b点作be∥ad交cd于e，有Uab＝Ude，解得φe＝4 V，又因为cd＝2ab，即e点是dc的中点，所以φe＝＝4 V，解得φc＝0，所以bc在同一等势面上，由几何关系知，eb⊥bc，由电场线与等势面垂直知，电场强度方向垂直bc斜向上，大小为E＝＝ V/m＝400 V/m，B正确，A、C、D错误。
9．平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为100 V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示，空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高，则下列说法正确的是( )
A．b、c两点的电势差Ubc＝0
B．a点场强大小大于100 V/m
C．a点场强方向水平向右
D．a点的电势低于c点
答案：B
解析：b、c两点的电势差Ubc＝200 V－300 V＝－100 V，故A错误；等差等势面密集的地方，场强越大，所以a点场强大小大于100 V/m，故B正确；电场线与等势面垂直，并且沿着电场线方向电势逐渐降低，所以a点场强方向竖直向下，故C错误；ac两点在同一等势面上，电势相等，故D错误。故选B。
10.如图所示，以O点为圆心，以R＝0.20 m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4 V、4 V、－4 V，则下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强E＝40 V/m
B．该匀强电场的场强E＝80 V/m
C．d点的电势为－2 V
D．d点的电势为－4 V
答案：D
解析：a、c两点之间的电势差U＝4 V－(－4 V)＝8 V，a、c两点之间沿电场线方向的距离d＝2Rsin 60°＝R，该匀强电场的场强E＝＝40 V/m，A、B错误；b、d之间沿电场线方向的距离d′＝2Rcos 60°＝R，b、d之间电势差U′＝Ed′＝8 V，由φb－φd＝8 V，可得d点的电势为φd＝－4 V，C错误，D正确。故选D。
11.如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2。下列说法正确的是( )
A．此匀强电场的电场强度方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为W1＋W2
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的电场强度大小一定为
D．若W1＝W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
答案：D
解析：题中条件不全，依照题意，无法确定电场方向，故A错误；粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1，根据功能关系则φaq－φbq＝W1，该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2，根据功能关系则φcq－φdq＝W2，则该粒子从M点移动到N点φMq－φNq＝q－q＝，则电场力做正功W＝，故B错误；无法判断电场方向，无法确定电场强度大小，故C错误；若W1＝W2，则φa－φb＝φc－φd，UaM＝Uac＝Ubd＝UbN，故D正确。
12.如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，边长为2 cm，已知A、B、C三点的电势分别为φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，电场方向与正方形所在平面平行，由此可知
(1)求D点电势；
(2)匀强电场的场强大小；
(3)在图中画出匀强电场的电场线。
答案：(1)9 V (2)300 V/m (3)见解析图
解析：(1)匀强电场中，沿着任意方向每前进相同的距离，电势变化都相等，故连接AC，将AC三等分，标上三等分点E、F，则根据匀强电场中沿电场线方向相等距离，电势差相等可知，E点的电势为3 V，F点的电势为9 V，连接BE，则BE为一条等势线，根据几何知识可知，DF∥BE，则DF也是一条等势线，所以D点电势φD＝9 V。
(2)如图作出一条过A点的电场线，根据几何知识得：AE＝a，
在△AEB中，由正弦定理得：
＝，
而UAB＝E·ABsin α，
AB＝a＝2 cm，
联立解得：E＝300 V/m。
(3)结合(1)可得电场线如图所示。
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第十章 静电场中的能量
第3节 电势差与电场强度的关系
探究点 匀强电场中电势差与
电场强度的关系
●新知导学
探究：(1)如图1，若沿场强方向移动电荷，从力的角度和能量的角度，静电力做功为多少？对比两个结果，能得出什么结论？
(2)如图2，若不沿场强方向移动电荷，有和上一步同样的结果吗？
图1
图2
?[提示]
[提示]
(1)力的角度：W＝Fd＝qEd
能量的角度：W＝qUAB
两式可得，UAB＝Ed，即两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积。
(2)力的角度：
W＝EqLcos θ＝qEd
能量的角度：
W＝qUAB
由两式可得，UAB＝Ed
●基础梳理
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中两点间的电势差等于________与这两点___________的距离的乘积。
2．公式：UAB＝________。
(1)静电力做正功，电势能________；
(2)静电力做负功，电势能________。
电场强度
沿电场方向
Ed
减少
增加
伏每米
[判断正误]
(1)公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差。( )
(2)由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点的电势差越大。( )
(4)公式中的d是匀强电场中A、B所在的两等势面之间的距离。( )
(5)在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点沿电场方向的距离的乘积。( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
●重难解读
对公式U＝Ed的理解
2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离，在匀强电场中，沿任意方向上以及与之平行的方向上、相等的长度上，电势降落相等。例如在图中MN方向上，相等长度电势降落相等。
类型一 匀强电场中电势差与电场强度的关系
典题1：如图，A、B、C三点在匀强电场中，AC⊥BC，∠CAB＝37°，BC＝10 cm，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，静电力不做功；从B移到C，静电力做功为－8×10－3 J，则该匀强电场的电场强度大小和方向是(cos 37°＝0.8)( )
A．800 V/m，垂直AC向下
B．800 V/m，垂直AC向上
C．10 000 V/m，垂直AB斜向下
D．10 000 V/m，垂直BC斜向上
?[思维点拨]
[思维点拨]
对题目关键词的理解“匀强电场”“静电力不做功”。
答案：C
?[规律方法]
跟踪训练1：如图，A、B、C三点在匀强电场中，AC垂直于BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为－8×10－5 J；从B移到C，电势能减少2× 10－5 J。若A点的电势为零，以下说法正确的是( )
A．AB间的电势差为－6 V
B．C点的电势为8 V
C．该匀强电场的场强大小为20 V/m
D．该匀强电场的场强方向从B指向C
答案：C
典题2：在圆锥体空间的顶点O固定一正点电荷，
底面圆周上有三点a、b、c，O′是底面圆心，OO′
与底面垂直，d点为Oc的中点。在该点电荷所产生的
电场中，下列判断正确的是( )
A．a、b、c三点的电场强度相同
B．O点与d点的电势差和d点与c点电势差的关系为UOd＝Udc
C．带正电的试探电荷沿直线从a移动至O′过程中受到的电场力逐渐增大，电势能也逐渐增大
D．带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中电势能不变
?[思维点拨]
[思维点拨]
看点电荷离源电荷的距离变化去判定做功情况，再去判定电势情况。
答案：C
斥力作用，电荷克服电场力做功，其电势能增大，故C正确；带负电的试探电荷沿直线从a移动至b过程中，其到O点的距离先减小后增大，根据库仑定律可知，试探电荷受到的电场力先增大后减小，负电荷受到引力作用，电场力对负电荷先做正功，后做负功，则电势能先减小后增大，故D错误。故选C。
?[规律方法]
[规律方法]
U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
(1)在非匀强电场中，U＝Ed中的E可理解为距离为d的
两点间电场强度的平均值。
(2)当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强
度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密。
跟踪训练2：如图是静电除尘原理图，M、N是直流高压电源的两极，设法使电场中的尘埃带上负电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的。图示位置的a、b、c三点在同一直线上，且ab＝bc。下列说法正确的是( )
A．M是直流高压电源的正极
B．a点的电势高于c点的电势
C．a点的电场强度大于c点的电场强度
D．c、b间的电势差Ucb等于b、a间的电势差Uba
答案：C
解析：因到达集尘极的尘埃带负电荷，那么电场强度的方向向左，因此电场线方向向左，则知M是直流高压电源的负极，故A错误；由于电场强度的方向向左，根据沿着电场线方向电势是降低的，因此电场中a点的电势低于c点的电势，故B错误；电场方向由集尘极指向放电极，电场线的分布由集尘极会聚于放电极，结合电场线的疏密来体现电场的强弱，那么电场中c点的场强小于a点的场强，故C正确；假设电场是匀强电场，由于|ab|＝|bc|，那么b、a间的电势差Uba等于c、b间的电势差Ucb，但由于电场是非匀强电场，且有Ea>Eb>Ec，即沿着ca方向，电场强度越来越大，由电势差与电场强度的关系式有Uba＝E|ab|>Ucb＝E|bc|，可知电场中c、b间的电势差Ucb小于b、a间的电势差Uba，故D错误。故选C。
类型三 匀强电场中电势差与电场强度的计算
典题3：如图所示，在水平地面的上方空间存在一个水平向右的匀强电场，有一带电小球(可视为质点)从距地面高为h＝1 m的O点由静止释放，沿与水平地面成45°角的方向做直线运动，最终落在地面上的A点。已知小球质量为m＝0.5 kg，带电荷量为q＝5×10－2 C，g＝ 10 m/s2，不计空气阻力，求：
(1)匀强电场的场强大小为多少；
(2)OA之间的电势差为多少；
(3)带电小球到达地面时的速度为多少。
?[思维点拨]
[思维点拨]
(1)带电小球沿直线运动，其所受的重力和电场力的合力沿直线方向，作出重力和电场力的合力，再求匀强电场的场强大小。
(2)根据公式U＝Ed求解OA之间的电势差。
(3)根据动能定理求带电小球到达地面时的速度。
?[规律方法]
[规律方法]
解答本题的关键要掌握物体做直线运动的条件：合外力方向与速度方向在同一直线上，通过分析小球的受力来求解电场力大小。
跟踪训练3：如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点。某匀强电场的电场线平行于该三角形平面，现将电荷量为1×10－8 C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6 J，将另一电荷量为1× 10－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功为3×10－6 J。
答案：(1)电场线方向为由A指向BC连线的中点 300 V 300 V 0 (2)1×104 V/m
素养能力提升
拓展整合 启智培优
电场强度三种求解方法的比较
课堂效果反馈
内化知识 对点验收
1．下列关于静电场的说法正确的是( )
A．在点电荷形成的电场中没有场强相同的两点，但有电势相同的两点
B．正电荷只受电场力作用时，一定从高电势向低电势运动
C．场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强一定为零
D．初速度为零的正电荷在电场力作用下一定沿电场线运动
答案：A
解析：在点电荷形成的电场中没有场强相同的两点，有的方向不同，有的大小不同，但有电势相同的两点，在以点电荷为球心的同一球面上各点电势均相同，故A正确。正电荷只受电场力作用时，若正电荷有初速度，则正电荷有可能从低电势向高电势运动，故B错误。场强为零处，电势不一定为零，例如，等量同种电荷连线的中点处；电势为零处，场强不一定为零，例如，等量异种电荷连线的中垂线上各点，故C错误。如果电场线为直线，初速度为零的正电荷才在电场力作用下沿电场线运动，故D错误。故选A。
2.如图所示，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝53°，BC＝20 cm。A、B、C三点的电势分别为0、0、160 V，则该匀强电场的场强大小和方向是( )
A．800 V/m，垂直AC向左
B．800 V/m，垂直AC向右
C．1 000 V/m，垂直AB斜向上
D．1 000 V/m，垂直AB斜向下
答案：D
3.如图，△abc中bc＝4 cm，∠acb＝30°。匀强电场的电场线平行于△abc所在平面，且a、b、c点的电势分别为6 V、－3 V、6 V。下列说法中正确的是( )
A．电场强度的方向沿ac方向
B．电场强度的大小为450 V/m
C．电子从a点移动到b点，电场力做功为18 eV
D．电子从c点移动到b点，电势能增加了18 eV
答案：B
4.如图所示，平行直线AA′、BB′、CC′、DD′、EE′，分别表示电势－4 V、－2 V、0、2 V、4 V的等势面，若AB＝BC＝CD＝DE＝2 cm，且与直线MN成30°角，则( )
A．该电场是匀强电场，电场强度大小E＝2 V/m
B．该电场是匀强电场，电场强度垂直于AA′，
且指向右下
C．该电场是匀强电场，距C点距离为2 cm的所有
点中，最高电势为2 V，最低电势为－2 V
D．该电场是匀强电场，距C点距离为2 cm的所有
点中，最高电势为4 V，最低电势为－4 V
答案：D
