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第十章 静电场中的能量
第2节 电势差
核心素养 学习重点、难点
物理观念 知道电势差概念，知道电势差的正负表示两点间电势的高低关系。理解等势面概念。会画常见电场的等势面。 重点：静电力做功公式WAB＝qUAB的具体应用。
难点：静电力做功公式中正负号的应用与正负号物理意义的理解。
科学思维 推导静电力做功跟电势差的关系式，会用公式计算静电力所做的功。
科学探究 通过论证等势面一定垂直于电场线，体会反证法在推理过程中的应用。
科学态度
与责任 通过地势与电势的类比，领会知识的相通性，学会比较知识的共同点与不同点，掌握研究物理问题的方法。
探究点1 电势差
●新知导学
探究：(1)①如图所示，分别选取地面和B所在的平面为参考平面，A、B两点的高度差是否改变？
②选取不同的参考平面，从A到B重力做的功是否改变？
③影响重力做功大小的是A、B两点的高度值，还是A、B两点之间高度的差值呢？
(2)如图，某个电荷在确定的电场中由A点移动到B点，影响静电力做功多少的因素是A点或B点的电势值呢？还是A、B两点之间电势的差值呢？
?[提示]
[提示]
(1)①不变。
②不变。
③高度的差值。
(2)A、B两点之间电势的差值。
●基础梳理
1．电势差定义：电场中两点间电势之差，叫作__________，也叫________。单位为________，符号为V。
2．电势差表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有UAB＝φA－φB和_______________，故UAB＝－UBA。
3．静电力做功与电势差的关系
电势差
电压
伏特
UBA＝φB－φA
qUAB
[判断正误]
(1)电势差与电势一样，是相对量，都与零电势点的选取有关。( )
(2)电势差是一个标量，但是有正值和负值之分。( )
(3)若电场中两点间的电势差UAB＝1 V，则将单位正电荷从A点移到B点，静电力做功为1 J。( )
(4)将电荷量为q的电荷从A点移到B点与将电荷量为－q的电荷从B点移到A点，静电力所做的功相同。( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
●重难解读
对电势差的几点认识
(1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。
(2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。
(3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。
(4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。
类型一 静电力做功与电势差的关系
典题1：对于电场中A、B两点，下列说法中正确的是( )
B．A、B两点间的电势差UAB与移动电荷的电荷量q无关
C．把负电荷从A点移到B点电场力做正功，则有UAB＞0
D．电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时静电力做的功
?[思维点拨]
[思维点拨]
在用公式运算时注意电势差和功的对应关系及符号的代入
答案：B
?[规律方法]
跟踪训练1：关于电势、电势差和电势能这三个物理量，下面说法中正确的是( )
A．电荷在高电势处具有较大的电势能
B．电场中确定的两点间的电势差与零电势位置的选取无关
C．电势是描述电场力的性质的物理量
D．电势、电势差、电势能都是矢量
答案：B
解析：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小，故A错误；电势差由电场及电场中两点的位置决定，与有无试探电荷无关，与零电势位置的选取也无关，故B正确；电势是描述电场的能的性质的物理量，故C错误；电势有正负，电势的正负号的意义是表示相对于零电势的电势高低，不表示方向；电势差的正负表示两点电势高低，不表示方向；电势能的正负号的意义是表示相对于零电势能的电势能大小，电势能没有方向。所以电势、电势差、电势能都是标量，故D错误。故选B。
类型二 电势与电势差的关系
典题2：在匀强电场中把2.0×10－9 C的正电荷从A点移到B点，静电力做功1.6×10－7 J。再把这个电荷从B点移到C点，静电力做功－4.0× 10－7 J。
(1)A、B、C三点中，哪点电势最高？哪点最低？
(2)A、B间，B、C间，A、C间的电势差各是多少？
(3)把－1.5×10－9 C的电荷从A点移到C点，电场力做多少功？
(4)根据以上所得结果，定性地画出电场分布的示意图，标出A、B、C三点可能的位置。
?[思维点拨]
[思维点拨]
由两点间的电势差去判定这两个点的电势高低，由两点间的电势高低去判定这两个点的电势差的大小。
答案：(1)C点 B点 (2)80 V －200 V －120 V
(3)1.8×10－7 J (4)见解析
(3)负电荷从A移动到C时，静电力做功：
WAC＝q′UAC＝(－1.5×10－9)×(－120)J＝1.8×10－7 J
(4)A、B、C三点在电场的示意图可能是：
φC＞φA＞φB，UCA＞UAB。
?[规律方法]
[规律方法]电势和电势差的比较
电势φ 电势差U
联
系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位 相同，均为V
标矢性 都是标量，但均有正负
物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量
跟踪训练2：某点电荷形成的电场中某区域的电场线如图所示，A、B是电场中的两点。一个电荷量q＝－4×10－8 C的点电荷在A点所受电场力FA＝2×10－4 N，将该点电荷从A点移到B点，电场力做功W＝8× 10－7 J，求：
(1)A点电场强度；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)若取A点为零电势位置，求该点电荷在B点电势能。
答案：(1)5×103 N/C，方向由B指向A
(2)－20 V (3)－8×10－7 J
(3)若取A点为零电势位置，则有UAB＝φA－φB
结合(2)解得φB＝20 V
该负点电荷在B点电势能Ep＝qφB
解得Ep＝－8×10－7 J。
探究点2 等势面
●新知导学
探究：(1)类比地图上的等高线，简述什么是等势面？
(2)当电荷从同一等势面上的A点沿等势面移到B点时，电荷的电势能是否变化？静电力做功情况如何？
?[提示]
[提示]
(1)电场中电势相等的各点构成的面。
(2)不发生变化。静电力不做功。
●基础梳理
等势面
1．定义：电场中电势________的各点构成的面叫作等势面。
2．等势面与电场线的关系
(1)在同一等势面上移动电荷时静电力__________，电荷的电势能不变。
(2)电场线跟等势面________，并且由电势______的等势面指向电势______的等势面，由此可以绘制电场线，从而可以确定电场的大致分布。
相同
不做功
垂直
高
低
●重难解读
1．等势面的特点及应用
(1)等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱，由等差等势面的疏密可以定性分析场强大小。
(2)任意两个等势面都不相交。
2.几种常见电场的等势面(如图所示)
(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面。
(2)等量异种点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线。
(3)等量同种点电荷的等势面
①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低。
②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低。从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高。
(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面。
类型 等势面
典题3：某平面区域内一静电场的等势线分布如图中虚线所示，一正电荷仅在电场力作用下由a运动至b，设a、b两点的电场强度分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，该电荷在a、b两点的速度分别为va、vb，电势能分别为Epa、Epb，则( )
A．Ea>Eb
B．φa＞φb
C．va>vb
D．Epa>Epb
?[思维点拨]
[思维点拨]
由运动轨迹去判断受力方向从而去判定提供电场电荷电性。
答案：C
解析：等势面的疏密反映电场强度的大小，所以Ea＜Eb，A错误；如图所示，运动轨迹与等势面的交点A处，电场线与等势面垂直，物体做曲线运动合外力指向轨迹凹侧，所以在A点所受电场力水平向左，又因为带正电，所以A点的电场线水平向左，从而判断出电场线指向左侧，所以φb＞φa，B错误；正电荷在电势高的地方电势能大，所以在b点的电势能大于a点的电势能，则Epa?[规律方法]
[规律方法]
以下是有关电场的等势面和电势变化情况
匀强电场
正点电荷电场
负点电荷电场
等势面的特点
(1)在等势面上移动电荷时，静电力不做功。
(2)电场线跟等势面垂直，且由高电势指向低电势。
(3)两个相邻等势面间的电势差是相等的，这样的等势面叫作等差等势面。
等量同种电荷电场
等量异种电荷电场
跟踪训练3：(多选)空间有一沿x轴方向的电场，x轴上各点电势φ随位置的变化情况如图所示，图像关于O点中心对称。下列说法正确的是( )
A．O点的电场强度沿x轴正方向
B．－x1和x1两点在同一等势面上
C．－x1与x1两点电场强度相同
D．将负电荷从x1移到x2过程中，电荷的电势能一直增大
答案：AC
解析：电场强度指向电势减弱最快的方向，故O点的电场强度沿x轴正方向，故A正确；电势是标量，－x1和x1两点处电势不同，一正一负，不在同一等势面，故B错误；φ－x图像斜率表示电场强度，由图知，－x1与x1两点斜率相同，则电场强度相同，故C正确；将负电荷从x1移到x2过程中，电势先减小后增大，则电势能先增大后减小，故D错误。故选AC。
?[思考讨论]
[思考讨论]
电势的高低跟重力场中位置的高低的含义有相似之处。例如，某处位置的高低跟放在该处物体的质量无关，某点电势的高低跟放在该点的试探电荷的电荷量无关。由于电荷有正负之分，这就造成了二者的含义有所不同。
请讨论，它们有哪些不同。例如，质量相等的物体，处于较高位置的重力势能较大，那么电荷量数值相等的正负电荷，处于电势较高位置的电势能一定较大吗？
提示：对于正点电荷，其电势能的正负跟电势的正负相同；对于负点电荷，其电势能的正负跟电势的正负相反。电势能的正负值是表示大小的。
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对静电力做功与电势差的关系的进一步理解
(1)静电力做功由电荷量及两点间电势差决定，与路径无关。
(2)公式WAB＝qUAB与公式W＝qELcos θ具有的优势是不必考虑静电力的大小和电荷的移动路径。特别是当静电力为变力时，静电力做功不能用W＝qELcos θ来计算，只能用WAB＝qUAB来计算。
(3)两种计算方法：带正负号进行计算，把电荷q的电性和两点间的电势差U的正负代入；将绝对值代入公式进行运算，q、U都取绝对值，算出的功也是绝对值，至于电场力做的是正功还是负功，可以根据电荷受力方向以及电荷的运动方向进行判断。
(4)在系统中只有静电力做功的情况下，电势能和动能之间互相转化，总能量保持不变。
(5)在系统中只有重力和静电力做功，没有其他力做功的情况下，电势能和机械能之间互相转化，总能量保持不变。
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1．关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是( )
A．UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B．UAB和UBA是相等的，它们关系有UAB＝UBA
C．φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D．零电势点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
答案：D
解析：UAB表示A点相对于B点的电势差UAB＝φA－φB，A错误；UBA表示B点相对于A点的电势差UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B错误；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错误；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D正确。故选D。
2．某棵大树被雷电击中：此时以大树为中心的地面上形成了电场，该电场中三个等势面分布及电场中M、N两点的位置如图所示，虚线是一组等间距同心圆，M、N两点在同一半径上。下列说法正确的是( )
A．M点比N点电势低
B．电场强度的方向由N点指向M点
C．M、N两点间的电势差为50 kV
D．电子由M移到N点，电场力做功50 keV
答案：C
解析：由图可知，φM＝－300 kV，φN＝－350 kV，则M、N两点间的电势差为UMN＝φM－φN＝50 kV，故A错误，C正确；沿电场方向，电势在降低，则电场强度的方向由M点指向N点，故B错误；电子由M移到N点，电场力做功WMN＝qUMN＝－50 keV，故D错误。故选C。
3．如图所示为处于等边三角形顶点的两个正点电荷与一个负点电荷形成的电场的等势面，相邻等势面之间的电势差相等。已知两个正点电荷的电荷量均为Q1，负点电荷的电荷量为－Q2，O点为两个正点电荷连线的中点，A、O、B及两点电荷在同一直线上，且A、B两点关于O点对称，以无穷远处为零势能面，A、B、C分别在对应的等势面上，电势已在图中标注。下列说法正确的是( )
A．O点没有电场线，电场强度为零
B．A、B两点的电场强度相同
C．A、C之间的电势差为10 V
D．一电子仅受电场力作用由B点运动到C点，其动能减少40 eV
答案：D
解析：两个正点电荷在O处的合场强为零，负点电荷在O处的场强不为零，根据场强的叠加知O点场强不为零，故A错误；电场线垂直于等势面，根据对称性可知，A、B两点的电场强度大小相等，由于负点电荷的存在，A点叠加后的场强方向斜向左上方，B点叠加后的场强方向斜向右上方，方向不同，也不相反，故B错误；A、C之间的电势差UAC＝φA－φC＝25 V－(－15 V)＝40 V，故C错误；电子在B点的电势能为EpB＝－25 eV，电子在C点的电势能为EpC＝15 eV，将一电子由B点移动到C点，其电势能变化量为ΔEp＝EpC－EpB＝15 eV＋25 eV＝40 eV，由于仅受电场力作用，质子的动能和电势能之和保持不变，所以该质子仅受电场力由B点移动到C点，其动能减少40 eV，故D正确。故选D。
4．关于电势差的说法中，正确的是( )
A．两点间的电势差等于电荷从其中一点移到另一点时，电场力所做的功
B．1 C电荷从电场中一点移动到另一点，如果电场力做了1 J的功，这两点间的电势差就是1 V
C．在两点间移动电荷时，电场力做功的多少跟这两点间的电势差无关
D．两点间的电势差的大小跟放入这两点间的电荷的电荷量成反比
答案：B第十章 第2节
课后知能作业
基础巩固练
1．下列各物理量中，与试探电荷有关的量是( )
A．电场强度E B．电势φ
C．电势能Ep D．电势差U
答案：C
解析：电势、电势差、电场强度都是表述电场本身性质的物理，与试探电荷无关。
2．将一个电荷量为q的正电荷在匀强电场中从A点移到B点，电场力做功W，则A、B两点之间的电势差等于( )
A． B．
C．qW D．0
答案：A
解析：根据电场力做功的公式：W＝qUAB，所以UAB＝，故A正确。
3．电场中有a、b两点，已知φa＝－500 V，φb＝1 500 V，将电荷量为q＝－4×10－9 C的点电荷从a移到b时，电场力做功为( )
A．负功8×10－6 J B．正功8×10－6 J
C．负功4×10－6 J D．正功4×10－6 J
答案：B
解析：电场力做功W＝qUab＝q(φa－φb)＝－4×10－9×(－2 000)J＝8×10－6 J，电场力做正功，故B正确，A、C、D错误。故选B。
4．在电场中A、B两点间的电势差为UAB＝75 V，B、C两点间的电势差为UBC＝－100 V，则A、B、C三点电势高低关系为( )
A．φA>φB>φC B．φC>φA>φB
C．φC>φB>φA D．φA<φC<φB
答案：B
解析：由题意，UAB＝φA－φB＝75 V，则得：φA>φB；UBC＝φB－φC＝－100 V，则得φB<φC；又UAC＝UAB＋UBC＝(75－100)V＝－25 V，则得：φA<φC；故有：φC>φA>φB。故A、C、D错误，B正确。故选B。
5.如图，带箭头的实线表示某静电场的电场线，虚线表示其等势面。已知a、b、c三点的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec，电势分别为φa、φb、φc，则( )
A．EaEb，φa>φb
C．Ea>Eb，φa<φb D．Ea＝Ec，φb＝φc
答案：B
解析：由图示可知，a处的电场线密，b处的电场线稀疏，因此a点的电场强度大，b点的场强小，即Ea>Eb；沿着电场线的方向，电势逐渐降低，则a点的电势高于c点的电势，即φa>φc；b、c两点在同一等势面上，电势相等，φb＝φc，则φa>φb。故B正确，A、C、D错误。故选B。
6．空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则( )
A．e点的电势大于0
B．a点和b点的电场强度相同
C．b点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加
答案：D
解析：根据电场等势面的图像可以知道，该电场是等量异种电荷的电场，选无穷远处电势为0，则中垂面是等势面，电势为0，故A错误；等量异种电荷的电场，它具有对称性，a点和b点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误；沿着电场线的方向电势降低，b点离正电荷的距离更近，所以b点的电势较高，高于d点的电势，故C错误；a点离正电荷近，a点电势高于c点，根据负电荷在电势高处电势能小，知负电荷从a点移到c点，电势能增加，故D正确。故选D。
能力提升练
7.根据α粒子散射实验，卢瑟福提出了原子的核式结构模型，如图所示虚线表示原子核所形成的电场的等势线，且三个等势线之间距离相等，实线表示一个α粒子(带正电)的运动轨迹。在α粒子从a运动到b、再运动到c的过程中，下列说法中正确的是( )
A．加速度先变小，后变大
B．bc两点间电势差为ba两点间电势差的2倍
C．电势能先增大，后减小
D．a点动能大于c点动能
答案：C
解析：由题可知，可视为点电荷形成电场，由牛顿第二定律k＝ma，在α粒子从a运动到b、再运动到c的过程中，距离先减小后增大，所以加速度先变大后变小，A错误；点电荷形成的电场中，越靠近场源电荷，电场强度越大，则由公式U＝Ed，图中两等势面间的距离相等，但是电场强度不恒定，所以不满足两倍关系，B错误；电场是由原子核形成的，即场源电荷带正电，运动电荷α粒子也带正电，所以电场力是排斥力，所以靠近过程电场力做负功，远离过程电场力做正功，因此电势能先增大后减小，C正确；越靠近正场源电荷，电势越高，则φa>φc，据Wac＝qUac，又α粒子的q为正，Uac为正，所以电场力做正功，动能增加，因此a点动能小于c点动能，D错误。故选C。
8.某电场的等势面如图所示，A、B、C是等势面上的三点，下列说法正确的是( )
A．负点电荷在A点受到的电场力小于在C时的电场力
B．将正点电荷从A点移到C点，电场力做负功
C．负点电荷在A点的电势能小于在B点的电势能
D．正点电荷在B点的电势能大于在C点的电势能
答案：D
解析：如图为等差等势面，其疏密反应电场强度的大小，故A点电场强度大于C点电场强度，根据F＝Eq知，负点电荷在A点受到的电场力大于在C时的电场力，故A错误；将正点电荷从A点移到C点，电势降低，正电荷电势能减小，电场力做正功，故B错误；A、B在同一等势面上，电势能相等，故C错误；B点电势大于C点电势，正点电荷在B点的电势能大于在C点的电势能，故D正确。故选D。
9．(多选)电缆周围的电场分布对电缆的电气化强度影响很大。如图所示为电缆终端周围的电场分布情况，图中虚线为等势线，实线为电场线，下列说法正确的是( )
A．电场中b点的场强小于c点的电场强度
B．将一电子放在c点，电子的电势能为－30 eV
C．将一质子由a点经b点移至c点，电场力先做正功后做负功
D．在b点由静止释放一带正电的粒子，粒子将沿电场线运动
答案：AB
解析：电场线的疏密表示电场强度的大小，b点疏密程度小于c点疏密程度，所以b点的场强小于c点的电场强度，故A正确；根据Ep＝qφ，可知将一电子放在c点，电子的电势能为Ep＝－e×30 V＝－30 eV，故B正确；由图可知Uab<0，Ubc>0，可知将一质子由a点经b点移至c点，电场力先做负功后做正功，故C错误；由于b点电场线不是直线，所以在b点由静止释放一带正电的粒子，粒子并不会沿电场线运动，故D错误。故选AB。
10. (多选)如图所示，实线为某静电场中的一簇电场线，其中过a、b、c三点的电场线为一条直线，且b为ac的中点。虚线为某一带电粒子进入该电场后仅在电场力作用下的运动轨迹，粒子依次通过三条电场线上的d、b、e三处位置。下列说法中正确的是( )
A．该粒子带正电
B．带电粒子在e点的加速度大于它在d点的加速度
C．ab两点之间的电势差Uab小于bc两点之间的电势差Ubc
D．带电粒子从d点运动到e点的过程中电势能一直在减小
答案：AC
解析：带电粒子在静电场中做曲线运动，合力指向轨迹内侧，粒子仅受电场力作用，可知带电粒子在b点所受电场力方向水平向右，与电场强度方向相同，可知该带电粒子带正电，故A正确；电场线分布的疏密程度反映了电场的强弱，d点附近电场线分布比e点的更密集，d点的场强大于e点的场强，因此粒子在d点所受到的电场力大于在e点所受到的电场力，根据F＝Eq＝ma，可知粒子在d点的加速度大于它在e点的加速度，故B错误；电场线分布的疏密程度反映了电场的强弱，c点附近电场线分布比a点的更密集，则c点的场强大于a点的场强，那么ab之间的平均电场强度小于bc之间的平均电场强度，根据U＝Ed，可知，ab两点之间的电势差Uab小于bc两点之间的电势差Ubc，故C正确；根据上述可知，带电粒子从d点运动到e点的过程中，电场力对带电粒子做负功，则其电势能一直在增大，故D错误。故选AC。
11．带电荷量为＋3×10－6 C的粒子只在静电力作用下先后经过电场中的A、B两点，静电力做功6×10－4 J，已知B点电势为50 V，则
(1)A、B两点间的电势差是多少？
(2)A点的电势是多少？
(3)电势能变化了多少？
(4)动能变化了多少？
答案：(1)200 V (2)250 V
(3)减少了6×10－4 J
(4)增加了6×10－4 J
解析：(1)根据电场力做功与电势差的关系WAB＝qUAB
可得A、B两点间的电势差
UAB＝＝ V＝200 V。
(2)已知B点电势为50 V，且有
UAB＝φA－φB＝200 V。
可得A点的电势为φA＝250 V。
(3)根据ΔEp＝－WAB＝－6×10－4 J
可得电势能减少了6×10－4 J。
(4)根据动能定理可得
ΔEk＝WAB＝6×10－4 J
可知动能增加了6×10－4 J。
12．如图所示，一电荷量为Q的正点电荷固定在倾角为30°的光滑绝缘斜面底部的C点，斜面上有A、B两点，且A、B和C在同一直线上，A和C相距为2L，B为AC中点。现将一带正电q、质量为m的小球从A点由静止释放，当带电小球运动到B点时速度正好又为零，已知带电小球在A点处的加速度大小为，静电力常量为k，求：
(1)小球运动到B点时的加速度大小。
(2)B和A两点间的电势差。
答案：(1)g (2)
解析：(1)小球在A点受到的库仑力为FA＝k
根据牛顿第二定律可得
mgsin 30°－FA＝maA＝m·
小球在B点受到的库仑力为
FB＝k
根据牛顿第二定律可得
FB－mgsin 30°＝maB
联立解得小球运动到B点时的加速度大小为aB＝g。
(2)小球从A到B过程，根据动能定理可得
mgLsin 30°＋qUAB＝0
解得UAB＝－
则B和A两点间的电势差为
UBA＝－UAB＝。
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